吳舜曉，黃仰博，聶俊偉，歐 鋼

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410073)

衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)到達(dá)地面時(shí)非常微弱，極易受到有意或無意干擾，軍用接收機(jī)系統(tǒng)和航空應(yīng)用系統(tǒng)通常采用自適應(yīng)天線陣技術(shù)來提高其抗干擾能力［1］。為同時(shí)利用空域與時(shí)域自由度，抗干擾天線陣通常采用空時(shí)自適應(yīng)處理［2］(Space-Time Adaptive Processing，STAP)算法。對(duì)于接收衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的天線陣列，由于導(dǎo)航信號(hào)用于測(cè)距，傳統(tǒng)的窄帶假設(shè)不再適應(yīng)現(xiàn)實(shí)要求，需采用可描述整個(gè)通道內(nèi)各頻率點(diǎn)處陣列響應(yīng)的寬帶模型［3-4］。針對(duì)陣列的寬帶模型，需要通過增加時(shí)序抽頭個(gè)數(shù)來提高STAP處理的自由度，由此可以更好地補(bǔ)償各陣元接收信號(hào)群時(shí)延差異，達(dá)到更好地抑制干擾和增強(qiáng)有用信號(hào)的效果［5-6］。設(shè)陣元個(gè)數(shù)為N，每個(gè)陣元后的抽頭個(gè)數(shù)為K，則對(duì)于功率倒置、最大信干噪比等常用空時(shí)自適應(yīng)處理準(zhǔn)則，直接全精度求解自適應(yīng)權(quán)值向量需要對(duì)(N·K)×(N·K)維的采樣協(xié)方差矩陣求逆，其計(jì)算復(fù)雜度為O［(N·K)3］?？梢娫黾訒r(shí)域抽頭個(gè)數(shù)，將使得STAP處理的計(jì)算量及相應(yīng)的工程實(shí)現(xiàn)代價(jià)急劇增大，限制了其在機(jī)載、彈載等小型化武器平臺(tái)上的廣泛應(yīng)用。

針對(duì)STAP中矩陣求逆計(jì)算量大的問題，早期的文獻(xiàn)從準(zhǔn)最優(yōu)的角度提出了以多級(jí)維納濾波為代表的降秩、降維方法［7］。近年來，隨著數(shù)字信號(hào)處理實(shí)現(xiàn)技術(shù)的發(fā)展，直接快速實(shí)現(xiàn)矩陣求逆運(yùn)算變?yōu)榭赡?，Rosado等在2012年提出了直接在可編程門陣列(Field Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA)中實(shí)現(xiàn)矩陣求逆的方法［8］。為達(dá)到更好的抗干擾性能，適應(yīng)更嚴(yán)苛的應(yīng)用環(huán)境，采用直接對(duì)采樣協(xié)方差矩陣求逆方法(Sample Matrix Inversion，SMI)的STAP正逐漸取代準(zhǔn)最優(yōu)方法，任磊等對(duì)用數(shù)字信號(hào)處理器(Digital Signal Processor，DSP)實(shí)現(xiàn)SMI進(jìn)行了深入的研究［9］。為進(jìn)一步減少實(shí)現(xiàn)代價(jià)，大量文獻(xiàn)針對(duì)減少矩陣求逆的計(jì)算量和實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)展開了研究。Zhu等針對(duì)無線通信應(yīng)用環(huán)境下協(xié)方差矩陣的特點(diǎn)提出了加速矩陣求逆的算法［10］。針對(duì)雷達(dá)信號(hào)處理中的采樣協(xié)方差矩陣具有Hermite對(duì)稱性的特點(diǎn)，高飛、Yang等提出了矩陣求逆的并行實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)和快速求逆算法［11-12］。然而，上述傳統(tǒng)矩陣求逆方法的計(jì)算量仍然與K3成正比，其計(jì)算量仍然會(huì)隨著抽頭個(gè)數(shù)的增加而快速增長(zhǎng)。針對(duì)此問題，本文通過提出新的協(xié)方差矩陣近似估計(jì)方法，以使得采樣協(xié)方差矩陣具有便于實(shí)現(xiàn)求逆運(yùn)算的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。根據(jù)在平穩(wěn)條件下協(xié)方差矩陣可表示為塊Toeplitz矩陣的特性，新的協(xié)方差矩陣估計(jì)方法可保證所得到的采樣協(xié)方差矩陣同時(shí)為塊Toeplitz矩陣與Hermite矩陣，且對(duì)于通常的導(dǎo)航應(yīng)用來說，此種近似對(duì)抗干擾性能的影響很小。在此基礎(chǔ)上通過運(yùn)用塊Toeplitz矩陣低復(fù)雜度求逆算法，使得矩陣求逆問題的計(jì)算量與K2成正比。

1 協(xié)方差矩陣特性分析

1.1 空時(shí)濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

圖1所示為N個(gè)陣元，每個(gè)陣元后有K個(gè)時(shí)延抽頭的GNSS抗干擾空時(shí)濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。在空間傳播的射頻信號(hào)經(jīng)過各個(gè)天線陣子接收、射頻前端等處理后得到復(fù)基帶信號(hào)。各路復(fù)基帶信號(hào)再被依次延時(shí)到各抽頭上，各抽頭上的信號(hào)與相應(yīng)的權(quán)值相乘后再通過求和得到陣列的輸出y。設(shè)射頻前端的帶寬為B，空時(shí)濾波器處理的數(shù)據(jù)率為，則要求抽頭時(shí)間間隔T略小于設(shè)陣元的編號(hào)為1，2，…，N，抽頭按照先后順序編號(hào)為1，2，…，K，陣元m后第u個(gè)抽頭處的采樣值序列為xmu［k］，與之對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)求共軛以后為wmu。

用向量X表示各抽頭上的數(shù)據(jù)，向量W表示與各抽頭對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，則整個(gè)陣列的輸出可表示為:

式中，上標(biāo)H表示對(duì)矩陣進(jìn)行共軛轉(zhuǎn)置操作，下文中都采用此符號(hào)。將陣列信號(hào)看成多維隨機(jī)變量，則其協(xié)方差矩陣為:

圖1 空時(shí)濾波結(jié)構(gòu)Fig.1 Space-time filtering structure

空時(shí)權(quán)值求解中通常需要求解如式(3)所示的線性方程組［11］:

其中b為由抗干擾準(zhǔn)則所決定的約束向量。式(3)的解為，因此通過求協(xié)方差矩陣的逆來求解式(3)是SMI方法的關(guān)鍵步驟。本文采用按照先陣元編號(hào)，后抽頭先后順序排列向量X中各變量，即

相應(yīng)地，W中各變量的排列順序如下:

1.2 平穩(wěn)條件下的協(xié)方差矩陣特性

為了便于發(fā)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的特征，先在一種較理想的條件下進(jìn)行分析。為此，假設(shè)各陣元上的信號(hào)滿足平穩(wěn)性條件，即各陣元上的信號(hào)是平穩(wěn)的且各陣元信號(hào)之間也是聯(lián)合平穩(wěn)的。在平穩(wěn)性條件成立的前提下，任意兩個(gè)抽頭處數(shù)據(jù)的互相關(guān)值，僅取決于信號(hào)到達(dá)這兩個(gè)抽頭的時(shí)延差。易知任意抽頭處的信號(hào)相對(duì)于參考陣元上參考抽頭信號(hào)的時(shí)延均由兩部分構(gòu)成，一部分由陣元空間位置確定，另一部由信號(hào)所經(jīng)過的抽頭個(gè)數(shù)決定，由此第m個(gè)陣元后的第u個(gè)抽頭處的時(shí)延為:

式(6)中函數(shù)δ(·)表示由陣元位置決定的時(shí)延。由此可知對(duì)于任意兩個(gè)抽頭處的信號(hào)xmu與xnv，其時(shí)延差為δ(m)-δ(n)+T(u-v)，即時(shí)延差的值僅取決于m，n與u-v。因此協(xié)方差矩陣中的構(gòu)成元素E(xmu xnv)的取值僅由m，n與u-v決定。設(shè)第u個(gè)抽頭處各陣元信號(hào)構(gòu)成的向量為X u，第v個(gè)抽頭處各陣元信號(hào)構(gòu)成的相位為X v，即:

易知X u與X v的互相關(guān)矩陣僅與u-v有關(guān)，不妨設(shè)i=v-u，由此可表示為:

易知，X u與X v均為X中的子塊，由此可知R i是R xx中的N×N子塊，且其排列如式(9)所示:

1.3 采樣協(xié)方差矩陣計(jì)算

在實(shí)際的工程應(yīng)用中需要利用采樣值近似計(jì)算得到的協(xié)方差矩陣估計(jì)值，即采樣協(xié)方差矩陣。雖然平穩(wěn)性假設(shè)不會(huì)嚴(yán)格成立，但在一次權(quán)值更新周期這樣短的時(shí)間內(nèi)，此假設(shè)可近似認(rèn)為成立，因此可參照式(8)和式(9)的形式來估計(jì)協(xié)方差矩陣。此時(shí)只需要將式(8)中R i的數(shù)學(xué)期望運(yùn)算用求平均值的運(yùn)算來替代即可。設(shè)在一個(gè)權(quán)值更新周期中用L個(gè)采樣值參與估算協(xié)方差矩陣，則R i的第m行n列元素可按照式(10)近似計(jì)算

本文算法中的采樣協(xié)方差矩陣的計(jì)算方式為:先用式(10)得到R i的估計(jì)值，再將其帶入式(9)中得到采樣協(xié)方差矩陣。下文中，為書寫方便，采樣協(xié)方差矩陣及其構(gòu)成子塊仍然用R xx與R i表示。容易驗(yàn)證本文算法所提的采樣協(xié)方差矩陣即是塊Toeplitz矩陣又是Hermite矩陣。

易知，與傳統(tǒng)的采樣協(xié)方差矩陣計(jì)算方法相比，本文的計(jì)算方法為保證所得結(jié)果的塊Toeplitz結(jié)構(gòu)，對(duì)參與求平均運(yùn)算采樣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間進(jìn)行了平移，且平移范圍不超過K個(gè)采樣點(diǎn)。因此，只要K?L的條件成立，不管平穩(wěn)性假設(shè)是否成立，都能保證本文算法得到的采樣協(xié)方差矩陣與傳統(tǒng)方法得到的采樣協(xié)方差矩陣高度近似，因而性能差異小。通常情況下，為獲得高抗干擾性能，采樣協(xié)方差矩陣的計(jì)算由硬件電路完成，在一個(gè)權(quán)值更新周期內(nèi)的全部數(shù)據(jù)都被用于計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣。例如:假設(shè)數(shù)據(jù)采樣率為20MHz，權(quán)值更新周期為1ms，則L的取值為20 000，然而一般情況下受實(shí)現(xiàn)資源的制約，通常有K〈20成立。因此，對(duì)于導(dǎo)航抗干擾應(yīng)用來說K?L很容易滿足，大多數(shù)情況下都可采用塊Toeplitz結(jié)構(gòu)的采樣協(xié)方差矩陣來求解空時(shí)權(quán)值。

2 自適應(yīng)權(quán)值求解

在得到了具有塊Toeplitz和Hermite結(jié)構(gòu)特性的采樣協(xié)方差矩陣以后，本節(jié)首先利用塊Toeplitz矩陣的快速求逆算法［13］得到求逆過程的迭代表示，然后結(jié)合其Hermite特性實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步優(yōu)化。

2.1 塊Toep litz矩陣的方程組迭代求解

本節(jié)將文獻(xiàn)［13］中的算法應(yīng)用到求解式(3)以得到自適應(yīng)權(quán)值，這里僅列出主要結(jié)果。將權(quán)值向量和約束向量寫成分塊形式，即

式中:A i為1×N的行向量，對(duì)應(yīng)于各陣元在抽頭i處的加權(quán)系數(shù);B i也為1×N的行向量。由此可將最優(yōu)權(quán)值的求解問題表示為:

設(shè)L p+1，p=1，2，…，K-1的第一行子塊為R0，R-1至R-p且第一列子塊為R0，R1至R p的塊Toeplitz矩陣，即

為方便表述，對(duì)于構(gòu)成元素均為N×N矩陣的任意分塊矩陣C，引入兩個(gè)算符:一個(gè)為，表示對(duì)矩陣中的子塊進(jìn)行轉(zhuǎn)置操作，即中第(i，j)子塊，正好是C中的第(j，i)子塊;另一個(gè)為，表示交換矩陣中同一行中各子塊的先后順序，即若設(shè)

利用上述符號(hào)，L p+1可表示為如下的迭代表達(dá)式:

式(14)中:

顯然，當(dāng)取p=K時(shí)，所得方程即為式(12)的方程。為便于表述算法迭代過程，先定義如下變量和算符。

設(shè)I與Z分別為C N×N中的單位矩陣與零矩陣。在第p步迭代中，將式(15)的解拆分為p個(gè)C1×N中的向量，即

對(duì)于t=1，2，…，K-1定義迭代初始化及后續(xù)各步驟中的中間變量，包括:

1)N×N的矩陣Q(t)與S(t)，其逆矩陣分別表示為Q-1(t)與S-1(t);

2)由t個(gè)N×N的子矩陣塊排成一行得到的矩陣I s(t)與F q(t)。對(duì)于此兩個(gè)矩陣序列，定義算符(·)n表示取其中的第n個(gè)子塊，例如:(I s(t))1表示取I s(t)中的第1個(gè)子塊，(F q(t))t-1表示取F q(t)中的第t-1個(gè)子塊。

利用塊Toeplitz矩陣快速求逆算法的空時(shí)權(quán)值迭代求解流程如圖2所示。初始化階段由求解取p=1與p=2時(shí)式(15)的方程構(gòu)成，后續(xù)的K-2個(gè)迭代步驟對(duì)應(yīng)于求解p=3，4，…，K時(shí)式(15)的方程。

在上述流程的初始化步驟中，先求解p=1時(shí)的方程，具體計(jì)算過程為:

再求解p=2時(shí)的方程，此時(shí)可部分地利用上一個(gè)步驟所得結(jié)果和中間變量，具體計(jì)算過程如下。

圖2 塊Toeplitz矩陣快速求逆的空時(shí)權(quán)值求解流程Fig.2 Solve the space-time weights by fast algorithm for block Toeplitz matrix inversion

在迭代處理的方程求解中，不是直接對(duì)矩陣進(jìn)行求逆，而是利用中間變量的遞推關(guān)系先計(jì)算出中間變量，再根據(jù)中間變量計(jì)算出方程的解。設(shè)迭代變量為h=1，2，…，K-1，則每一次迭代包括以下三步計(jì)算過程。

1)按照式(19)計(jì)算中間變量

2)計(jì)算解向量中的最后一個(gè)1×N子塊，計(jì)算公式如下。

3)計(jì)算解向量的前h+1個(gè)1×N子塊，即對(duì)于l=1，2，…，h+1執(zhí)行以下計(jì)算

2.2 利用共軛對(duì)稱性的優(yōu)化

上一節(jié)迭代求解空時(shí)權(quán)值的算法僅利用了協(xié)方差矩陣為分塊Toeplitz矩陣的特點(diǎn)，沒有利用其Hermite對(duì)稱性。利用的對(duì)稱性，參照文獻(xiàn)［13］中的推導(dǎo)方法可知與互為共軛轉(zhuǎn)置;Q(p)，S(p)，)均為Hermite矩陣。根據(jù)上述特點(diǎn)，本文算法可進(jìn)一步采用如下簡(jiǎn)化處理:

2)計(jì)算Q-1(p)，S-1(p)時(shí)可只計(jì)算其下三角部分，上三角部分利用Hermite矩陣的對(duì)稱性得到;

3)對(duì)Q-1(p)，S-1(p)進(jìn)行求逆計(jì)算Q(p)，S(p)時(shí)，可利用Hermite矩陣的對(duì)稱性減少計(jì)算量［11-12］。

從本文算法的迭代過程可知，Q(p)，S(p)均為N×N的矩陣;I s(p)，F(xiàn) q(p)均由p個(gè)N×N的子塊按行排列構(gòu)成為1×N的行向量。因此，算法的計(jì)算過程可分為以下5類基本運(yùn)算:a)N×N矩陣的乘法;b)N×N矩陣的加減法;c)N×N矩陣的求逆;d)1×N向量與矩陣乘法;e)1×N向量之間的加減法?？紤]到陣元數(shù)目N一般較小，且目前的FPGA已能較好地支持浮點(diǎn)運(yùn)算，上述五類運(yùn)算都可以在FPGA中快速實(shí)現(xiàn)并行處理，因此可以方便地利用FPGA來加速算法1的實(shí)現(xiàn)。

3 性能分析

本文算法用于簡(jiǎn)化空時(shí)抗干擾處理中計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣和對(duì)其進(jìn)行求逆運(yùn)算這兩個(gè)基本處理環(huán)節(jié)的計(jì)算量，因此可具體應(yīng)用于多種抗干擾準(zhǔn)則中。本文算法的目的是在保持與傳統(tǒng)算法性能接近的前提下大幅減少計(jì)算量。因此下面將通過數(shù)值仿真來比較本文算法與傳統(tǒng)算法在抗干擾性能上的差異，然后再分析本文算法的計(jì)算量。

3.1 抗干擾性能比較

為便于對(duì)比和簡(jiǎn)化仿真，傳統(tǒng)算法和本文算法都采用工程實(shí)踐中最常用的功率倒置準(zhǔn)則，即b為僅有一個(gè)為1，其余全部為0的向量，1對(duì)應(yīng)參考陣元上的參考抽頭。針對(duì)導(dǎo)航信號(hào)的特點(diǎn)，干擾抑制性能采用等效陣列增益［3］來衡量。等效陣列增益描述的是陣列處理對(duì)解擴(kuò)后獲得的載噪比所產(chǎn)生的影響，取正數(shù)表示增強(qiáng)了載噪比，取負(fù)數(shù)表示對(duì)載噪比造成了損耗。

仿真時(shí)有用信號(hào)用GPS的L2頻點(diǎn)P碼(調(diào)制碼率為10.23MHz的長(zhǎng)碼)信號(hào)模擬，采用4元方陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，假設(shè)信號(hào)和干擾都為遠(yuǎn)場(chǎng)入射。表1所示為設(shè)置的仿真條件和按照傳統(tǒng)方法計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣與按照本文算法計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣所分別得到的等效陣列增益。

表1 仿真條件設(shè)置與陣列增益Tab.1 Simulation condition setting and array gain

表1的來波方向表示中，第一個(gè)數(shù)為俯仰角，第二個(gè)數(shù)為方位角。有三個(gè)由二相相移鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)調(diào)制產(chǎn)生的寬帶干擾和一個(gè)有用信號(hào)入射，干信比均為65dBc，K=9，L=21 000，單個(gè)陣元上的載噪比為43dBHz，數(shù)據(jù)采樣率(62/3)MHz，仿真時(shí)間長(zhǎng)度為1.5s。取一組典型情況下本文算法所獲得的空時(shí)濾波權(quán)值，據(jù)此可計(jì)算出在整個(gè)信號(hào)通帶范圍內(nèi)各頻率處的陣列響應(yīng)幅度如圖3所示。

圖3 有用信號(hào)及干擾信號(hào)方向的陣列響應(yīng)Fig.3 Array response in the direction of useful signal and jamming signals

從圖3可定性地看出，對(duì)于4元天線陣，本文算法確實(shí)可以在各干擾方向形成寬帶零陷。表1的等效陣列增益結(jié)果表明，雖然傳統(tǒng)算法的性能較優(yōu)，但與本文算法的性能差異不超過1dB。因此本文算法對(duì)采樣協(xié)方差矩陣的簡(jiǎn)化計(jì)算方法是合理的，為了大幅減少計(jì)算量可以承受此種性能損耗。

3.2 計(jì)算量分析

本文算法不僅簡(jiǎn)化了采樣協(xié)方差矩陣的計(jì)算，更重要的是縮小了其求逆運(yùn)算的復(fù)雜度。下面將分析本文算法中根據(jù)采樣協(xié)方差矩陣求解空時(shí)權(quán)值的計(jì)算量。根據(jù)本文所提算法的特點(diǎn)，首先分析在一次空時(shí)權(quán)值求解過程中，2.2節(jié)中的5類基本運(yùn)算各自的執(zhí)行次數(shù)，然后再根據(jù)各類運(yùn)算的計(jì)算量得到總的計(jì)算量。最終得到以復(fù)數(shù)乘除法和加減法次數(shù)作為度量的計(jì)算量總和。利用互為共軛轉(zhuǎn)置的特點(diǎn)僅計(jì)算其中一個(gè)，并忽略對(duì)矩陣進(jìn)行共軛轉(zhuǎn)置、交換子塊位置等操作的計(jì)算量，可得到初始化階段、每一步迭代和完整的算法執(zhí)行過程中5類基本運(yùn)算的次數(shù)如表2所示。

表2 算法1的計(jì)算量分析Tab.2 Analysis of computational load of algrithm 1

1)矩陣乘法的計(jì)算量為:

2)矩陣加減法的計(jì)算量可表示為:

3)由于需要求逆的矩陣均為Hermite矩陣，故利用其對(duì)稱性可得到其計(jì)算量為［12］:

4)向量與矩陣乘法的計(jì)算量為:

5)向量加減法的計(jì)算量為:

綜合以上分析可知，以復(fù)數(shù)乘除法和加減法次數(shù)衡量的算法總計(jì)算量為:

注意到通常的導(dǎo)航抗干擾天線陣中陣元個(gè)數(shù)N較小，故求解濾波權(quán)值的計(jì)算量主要取決于時(shí)域抽頭個(gè)數(shù)。式(27)表明，本文算法的計(jì)算量與K2成正比，因此隨著時(shí)域抽頭數(shù)K的增加，本文算法相比傳統(tǒng)算法減少的計(jì)算量越多。與現(xiàn)有的利用Hermite對(duì)稱性的矩陣求逆方法(計(jì)算量為對(duì)比，對(duì)于4陣元的典型情況，根據(jù)式(27)可計(jì)算得到，在抽頭數(shù)分別為9與15時(shí)，本章方法的計(jì)算量分別降低到現(xiàn)有方法計(jì)算量的65%與38%。

4 結(jié)論

在STAP處理中采用SMI方法時(shí)，計(jì)算量隨著時(shí)域抽頭個(gè)數(shù)的增加而急劇增加，工程實(shí)現(xiàn)代價(jià)較大。對(duì)此，本文提出了一種降低計(jì)算復(fù)雜度的空時(shí)抗干擾算法。該算法首先在平穩(wěn)性假設(shè)的啟發(fā)下，通過采用一種新的協(xié)方差矩陣近似計(jì)算方式，得到了具有塊Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)又具有Hermite對(duì)稱性的采樣協(xié)方差矩陣。然后，利用上述結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，應(yīng)用塊Toeplitz矩陣的線性方程快速求解算法，將空時(shí)權(quán)值求解的復(fù)雜度從傳統(tǒng)方法的O［N3·K3］降低到O［N3·K2］，很好地減少了權(quán)值求解的計(jì)算量。理論分析和數(shù)值仿真表明，新的協(xié)方差矩陣近似計(jì)算方法對(duì)抗干擾性能的影響較小，可以忽略不計(jì)。本文算法可大量用于各種涉及協(xié)方差矩陣求逆的空時(shí)處理中。

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