劉偉強(qiáng),張進(jìn)華,洪軍,朱林波

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安)

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橢圓拋物體形微凸體彈性接觸力學(xué)模型

劉偉強(qiáng),張進(jìn)華,洪軍,朱林波

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安)

為了更準(zhǔn)確地描述粗糙結(jié)合面的微觀接觸特性,構(gòu)建了一種橢圓拋物體形微凸體曲面彈性接觸模型。該模型同時(shí)考慮了微凸體正接觸與側(cè)接觸的情形,采用了Weingarten映射的方法來(lái)求解接觸點(diǎn)處的曲率,并結(jié)合赫茲曲面接觸理論進(jìn)行求解,得出橢圓拋物體在彈性側(cè)接觸時(shí)的接觸面積與接觸位移的解析公式。討論了微凸體在不同相對(duì)位置下及不同橢圓率的情況下接觸面積與接觸位移的變化,并通過(guò)有限元仿真與該模型進(jìn)行了對(duì)比計(jì)算,結(jié)果表明:橢圓率對(duì)接觸面積、接觸位移的計(jì)算結(jié)果影響較大,當(dāng)橢圓率在超過(guò)0.9后,兩微凸體接觸面積迅速減小,接觸位移迅速增大;提出的模型與有限元模型結(jié)果相比,兩微凸體接觸位移計(jì)算結(jié)果差異最大為10%,接觸面積結(jié)果差異最大為6.2%。該模型同樣適用于求解幾何模型具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的微凸體彈性接觸問(wèn)題,為研究形狀更為復(fù)雜的微凸體接觸奠定了基礎(chǔ)。

赫茲曲面接觸;微凸體;彈性接觸

機(jī)械結(jié)合面的接觸剛度、接觸面積等對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)特性、熱電傳導(dǎo)特性有著重要的影響。為了更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)合面宏觀動(dòng)靜態(tài)接觸特性,學(xué)者們充分研究了機(jī)械結(jié)合面微觀接觸原理,提出了許多微凸體接觸解析模型。文獻(xiàn)[1]假設(shè)機(jī)械結(jié)合面上分布著球形微凸體,并且微凸體高度呈高斯分布,最后得出了經(jīng)典的Greenwood-Williamson(GW)模型。在GW模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了許多考慮塑性變形的微凸體接觸模型[2-3],微凸體高度分布也從GW模型的高斯分布擴(kuò)展到了非高斯分布[4-6]。除假設(shè)微凸體形狀為球形外,許多學(xué)者將微凸體的形狀擴(kuò)展到了非球狀[7-9]。文獻(xiàn)[7]研究了橢圓拋物體形微凸體正接觸的力學(xué)模型;文獻(xiàn)[10-11]研究了旋轉(zhuǎn)拋物體形微凸體正、側(cè)接觸時(shí)的接觸變形的問(wèn)題。在旋轉(zhuǎn)拋物體形微凸體的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[11]采用分水嶺算法,將結(jié)合面劃分成單個(gè)微凸體,成功地將微凸體的模型應(yīng)用到結(jié)合面接觸剛度的計(jì)算中。

上述模型大部分以微凸體的峰頂法向接觸模型為主,微凸體的變形大都是峰對(duì)峰的正接觸變形?；谖⑼贵w形狀為球形及旋轉(zhuǎn)拋物體形的接觸理論,可以推出單對(duì)微凸體正接觸時(shí)的接觸面為圓形,與實(shí)際情況不符[12]。造成這種差異的原因是微凸體本身形狀并非是完全軸對(duì)稱(chēng),并且微凸體往往難以恰好發(fā)生峰對(duì)峰的正接觸。同樣,現(xiàn)有的橢圓拋物體形微凸體接觸模型也只考慮了法向正接觸情形[13]。

實(shí)際中,兩個(gè)微凸體接觸往往難以保證嚴(yán)格對(duì)中,從而形成側(cè)接觸狀態(tài)。文獻(xiàn)[10-11,14]研究了拋物體狀的微凸體側(cè)接觸的力學(xué)模型,但微凸體接觸點(diǎn)處曲率等相關(guān)參數(shù)是由拋物體的二維截面計(jì)算得來(lái),由于曲面曲率與曲線(xiàn)曲率有著本質(zhì)的區(qū)別,兩者不能互換,因此文獻(xiàn)[10-11,14]的模型在計(jì)算真實(shí)機(jī)械結(jié)合面微凸體接觸問(wèn)題時(shí),存在著一定的理論缺陷。

基于以上研究現(xiàn)狀,為解決機(jī)械結(jié)合面法向、切向接觸參數(shù)計(jì)算等問(wèn)題,本文提出了以橢圓拋物體狀微凸體來(lái)代替現(xiàn)有球形微凸體的彈性接觸模型。該模型同時(shí)考慮了微凸體正接觸與側(cè)接觸的情形,采用了Weingarten映射的方法來(lái)求解接觸點(diǎn)處的曲率,結(jié)合赫茲曲面接觸理論進(jìn)行求解,得出橢圓拋物體在彈性側(cè)接觸時(shí)的接觸面積與接觸位移的解析公式。同時(shí),討論了微凸體在不同位置及不同橢圓率的情況下接觸面積與接觸位移的變化,并通過(guò)有限元仿真對(duì)本文模型進(jìn)行了對(duì)比。本文模型結(jié)合分水嶺法[11]可將結(jié)合面的表面劃分成單個(gè)的微凸體并將其擬合成橢圓拋物體,最終可實(shí)現(xiàn)結(jié)合面法向及切向接觸剛度、阻尼等接觸參數(shù)計(jì)算[11]。

1 力學(xué)模型的構(gòu)建

1.1 模型基本假設(shè)

(1)機(jī)械結(jié)合面表面微凸體形狀可由橢圓拋物體表征。橢圓拋物體的表達(dá)式為

(1)

式中:a、b、c為微凸體的形狀參數(shù);θ、rx、ry為微凸體表面形狀的位置參數(shù)。

(2)微凸體的接觸為曲面接觸,微凸體不僅會(huì)產(chǎn)生峰對(duì)峰的正接觸,也會(huì)產(chǎn)生側(cè)接觸。

(3)微凸體的材料屬性為各向同性,為了簡(jiǎn)化模型,不考慮材料的塑性變形,不考慮摩擦。

(4)微凸體接觸受力遵循Hertz曲面接觸理論的一般情形。

1.2 橢圓拋物體接觸幾何模型

1.2.1 橢圓拋物體幾何模型 假設(shè)分布于粗糙結(jié)合面上的微凸體為橢圓拋物體,如圖1所示。為了便于分析微凸體側(cè)接觸對(duì)接觸面積及接觸位移的影響,假定下微凸體橢圓面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)所在的位置,上微凸體相對(duì)于下微凸體的相對(duì)位置關(guān)系以?xún)晌⑼贵w中心線(xiàn)在x、y方向的偏移與兩微凸體長(zhǎng)半軸間的夾角α表示。兩橢圓拋物體方程如下

(2)

式中:z1、z2分別表示下微凸體與上微凸體表面形狀;夾角α表示上微凸體z2與下微凸體z1長(zhǎng)半軸之間的夾角;dx、dy表示上微凸體z2中心線(xiàn)相對(duì)于下微凸體z1中心線(xiàn)的偏移。

圖1 橢圓拋物體接觸模型

1.2.2 接觸點(diǎn)坐標(biāo)及接觸方位求解 為研究橢圓拋物體的正、側(cè)接觸,首先需要求出兩微凸體在任意相對(duì)位置下的接觸點(diǎn)坐標(biāo)(xc,yc)。橢圓拋物形微凸體兩表面的接觸間距為

(3)

接觸點(diǎn)(xc,yc)需滿(mǎn)足的條件為:(xc,yc)為接觸間距的極小值點(diǎn),z(x,y)對(duì)xc、yc的偏導(dǎo)為0;接觸間距d不大于0。因此,接觸點(diǎn)處的判別式為

(4)

給定兩微凸體的表達(dá)式,即可求得接觸點(diǎn)(xc,yc)的準(zhǔn)確位置。在求解微凸體側(cè)接觸問(wèn)題時(shí),還需要求解接觸點(diǎn)處曲面的法向及切向向量。假設(shè)曲面z1的參數(shù)表達(dá)式如下所示

(5)

接觸點(diǎn)處的方向向量可以由以下3個(gè)向量表示

(6)

在己知接觸點(diǎn)各方向向量后,總可以將該模型通過(guò)坐標(biāo)變換的方式轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的赫茲曲面彈性接觸問(wèn)題。但是,由于難以建立該坐標(biāo)變換的數(shù)學(xué)模型,因此本文通過(guò)求解曲面曲率的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的赫茲曲面接觸問(wèn)題。

1.3 接觸點(diǎn)處的主曲率及其方向計(jì)算

本文采用Weingarten映射法求解曲面曲率。Weingarten映射是一種表征曲面某點(diǎn)處的單位法向量沿曲面某切線(xiàn)方向變化率的映射,該映射與空間坐標(biāo)系及曲面參數(shù)方程的選取無(wú)關(guān),可在接觸點(diǎn)處建立曲面的自然活動(dòng)標(biāo)架場(chǎng)進(jìn)行分析[15]。在Weingarten映射法中,令G、L分別為曲面第1基本形式和第2基本形式的系數(shù)[15]

(7)

Weingarten映射本質(zhì)上屬于空間上的一種坐標(biāo)變換。由微分幾何[15]中的推導(dǎo)可得出G-1L是Weingarten映射的過(guò)渡矩陣,并且該過(guò)渡矩陣的特征值分別為κ1、κ2,特征向量分別為e1、e2,分別對(duì)應(yīng)著曲面的主曲率及主曲率方向,即有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系[15]

(8)

(9)

1.4 接觸面積接觸位移計(jì)算

Hertz討論了曲面彈性點(diǎn)接觸的受力分析[16]。如圖1中坐標(biāo)變換后的接觸示意圖所示,在曲面接觸點(diǎn)處設(shè)新的坐標(biāo)系,使得新坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于曲面接觸的初始接觸點(diǎn)處,xoy平面為接觸點(diǎn)處的切平面,oz軸的方向?yàn)榻佑|點(diǎn)的法向。經(jīng)過(guò)合適地選取ox、oy方向,總可以使得新坐標(biāo)系下結(jié)合面的法向接觸間距滿(mǎn)足以下公式[16]

(10)

法向接觸間距的系數(shù)A、B與該點(diǎn)處兩曲面在該接觸點(diǎn)處的主曲率及其之間的夾角有關(guān)系,可以由以下兩個(gè)公式計(jì)算得出[16]

(11)

(12)

曲面點(diǎn)接觸的接觸區(qū)域近似為橢圓,長(zhǎng)、短半軸分別為[16]

(13)

式中:P代表接觸點(diǎn)處的法向載荷;A、B是式(10)法向接觸間距dn的兩個(gè)系數(shù);m、n是與橢圓積分相關(guān)的系數(shù),數(shù)值可參考文獻(xiàn)[16];k1、k2是與兩微凸體的彈性模量有關(guān)的系數(shù),具體表達(dá)式如下

(14)

式中:E為材料的彈性模量;ν為材料的泊松比。

接觸位移與接觸面積可由以下方程得出

(15)

式中:γ是與橢圓積分相關(guān)的系數(shù),可參照文獻(xiàn)[13]獲得。

1.5 微凸體彈性接觸力學(xué)模型的推廣

由式(7)、式(8)可以看出,本模型的曲率計(jì)算僅與反映微凸體形狀的曲面函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)。若微凸體幾何形狀可以以二階連續(xù)可導(dǎo)的二元函數(shù)表示,重復(fù)1.1節(jié)到1.4節(jié)的計(jì)算,均可得到微凸體接觸點(diǎn)處的接觸位移與接觸面積。常用于描述微凸體幾何外形的函數(shù)包括三角函數(shù)、二元高次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等。例如,微凸體的二元高次函數(shù)擬合表達(dá)形式如下

(16)

式中:f(u,v)代表微凸體的幾何函數(shù);u、v是自變量,可以是笛卡爾坐標(biāo)系下的變量,也可以是圓柱坐標(biāo)系下的變量,可根據(jù)需要選擇坐標(biāo)系;a、b、c是與最終擬合形狀有關(guān)的系數(shù)。此函數(shù)是具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),因此依然可以用前述的計(jì)算過(guò)程來(lái)計(jì)算兩微凸體間接觸變形與接觸面積。

2 微凸體相對(duì)位置對(duì)接觸的影響

通過(guò)上文的力學(xué)模型分析,獲得了微凸體相對(duì)位置變化及橢圓率變化對(duì)接觸位移δ與接觸面積s的影響。微凸體形狀采用式(2)描述,長(zhǎng)度以μm為單位,取系數(shù)a為0.05,系數(shù)b為0.2,微凸體彈性模量為210 GPa,泊松比為0.3。以0.02 N的力向下壓上微凸體z2,模型幾何形狀如圖2所示。

圖2 橢圓拋物體彈性接觸模型

2.1 相對(duì)偏移及轉(zhuǎn)角對(duì)接觸的影響

采用兩微凸體長(zhǎng)半軸方向間的相對(duì)夾角α來(lái)表示兩橢圓拋物體長(zhǎng)軸間的夾角,用兩微凸體中心線(xiàn)沿x軸方向上的相對(duì)位移dx來(lái)體現(xiàn)側(cè)接觸,y方向上的相對(duì)間距dy始終保持為0 μm,改變上微凸體與下微凸體的相對(duì)位置dx及夾角α,進(jìn)行接觸位移δ及接觸面積s的計(jì)算,從而獲得了不同相對(duì)位置dx及相對(duì)夾角α?xí)r,接觸面積s與接觸位移δ的變化規(guī)律。

如圖3所示,微凸體長(zhǎng)半軸方向間相對(duì)轉(zhuǎn)角α對(duì)接觸面積s的影響較小,微凸體中心線(xiàn)沿x方向相對(duì)間距dx對(duì)接觸面積s的影響較大。在微凸體峰對(duì)峰接觸時(shí),α對(duì)接觸面積s的影響較小,而隨著dx增大,α對(duì)接觸面積s的影響逐漸增大,面積波動(dòng)從6.6%增大到12.5%。同時(shí),在轉(zhuǎn)角α一定、接觸位移dx變動(dòng)的情況下,接觸面積s最大波動(dòng)可達(dá)55.6%。

圖3 相對(duì)偏移與轉(zhuǎn)角對(duì)接觸面積的影響

如圖4所示,隨著α及dx的增大,接觸位移δ逐漸變小,波動(dòng)幅度在20%左右,α及dx對(duì)接觸位移δ的影響大致相同。

圖4 相對(duì)偏移與轉(zhuǎn)角對(duì)接觸位移的影響

2.2 橢圓率與相對(duì)轉(zhuǎn)角對(duì)接觸的影響

微凸體的橢圓率ε可由式(1)中的參數(shù)a與b的關(guān)系來(lái)表征。橢圓拋物體的各個(gè)水平截面的ε相同,本文采用ε來(lái)表征微凸體的橢圓程度,并計(jì)算了在dx為8 μm、dy為0 μm的情況下,ε變化與α變化對(duì)接觸面積s與接觸位移δ的影響。橢圓率ε表達(dá)式為

(17)

如圖5所示,橢圓率ε對(duì)接觸面積s的影響較大,ε增加會(huì)導(dǎo)致s迅速減小,在ε超過(guò)0.9之后,s急劇下降,最大波動(dòng)達(dá)27%,造成的應(yīng)力集中現(xiàn)象較為明顯。同時(shí),相對(duì)于橢圓率ε,α對(duì)接觸面積s的影響較小。在相同ε的情況下,α對(duì)接觸面積s的波動(dòng)在0.014%與10%之間。

圖5 橢圓率與微凸體相對(duì)轉(zhuǎn)角對(duì)接觸面積的影響

如圖6所示,橢圓率ε增加會(huì)導(dǎo)致接觸位移δ迅速增加,在ε超過(guò)0.9之后,δ急劇上升。在橢圓率一定的情況下,接觸位移δ基本恒定,α對(duì)δ的影響較小,只有在橢圓率ε偏大的情況下α的變動(dòng)會(huì)導(dǎo)致δ變動(dòng)加大。

圖6 橢圓率與微凸體相對(duì)轉(zhuǎn)角對(duì)接觸位移的影響

3 本文模型與仿真模型對(duì)比

3.1 本文模型算例

為與有限元模型對(duì)比,建立了特定橢圓拋物體接觸的計(jì)算模型。模型中上、下拋物面的參數(shù)a、b相同,符合下式所描述的形狀(單位為μm)

z=0.05x2+0.2y2

(18)

材料的彈性模量為210 GPa,泊松比為0.3。接觸間距dn為0作為初始狀態(tài),將上微凸體下壓0.2 μm。為了增加對(duì)比點(diǎn)的隨機(jī)性,以便于對(duì)理論解析模型與有限元模型進(jìn)行全面對(duì)比,如圖 7所示,令上微凸體與下微凸體長(zhǎng)半軸間的夾角α成45°,其中心線(xiàn)沿以下微凸體中心為圓心、半徑為8 μm的圓弧軌跡移動(dòng),β按逆時(shí)針?lè)较驈?°到180°分布11個(gè)對(duì)比點(diǎn),增加了接觸位置的隨機(jī)性。

圖7 橢圓拋物體彈性接觸對(duì)比模型

3.2 橢圓拋物體接觸有限元模型

按3.1節(jié)所述的幾何形狀,相對(duì)位置關(guān)系及材料特性建立了有限元分析模型。ABAQUS有限元模型采用C3D4線(xiàn)性四面體單元,網(wǎng)格邊長(zhǎng)約為0.6 μm。由于分析接觸面積s及接觸位移δ時(shí),接觸點(diǎn)處網(wǎng)格數(shù)目要求較高,需進(jìn)行細(xì)分,細(xì)分后接觸點(diǎn)附近網(wǎng)格邊長(zhǎng)約為0.04 μm,最終總的單元數(shù)目約為11萬(wàn)。下微凸體底面施加端固定約束,上微凸體頂面約束水平方向自由度,并施加垂直方向的位移,大小為0.2 μm。取初始接觸點(diǎn)(xc,yc)相對(duì)基體的下陷量之和作為接觸位移δ。按照1.1節(jié)中的假設(shè)(3),在有限元模型當(dāng)中,忽略摩擦力的影響,接觸的摩擦系數(shù)設(shè)置為0。最終的有限元模型如圖8所示。

(a)有限元分析網(wǎng)格 (b)有限元分析結(jié)果圖8 有限元分析模型網(wǎng)格及最終計(jì)算結(jié)果

圖9 兩種方法沿坐標(biāo)軸方向分力對(duì)比

圖10 兩種方法接觸面積對(duì)比

3.3 模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

本文模型與有限元模型各方向分力F對(duì)比如圖9所示。不同點(diǎn)接觸時(shí)3個(gè)方向分力符合較好,最大相對(duì)誤差不超過(guò)1%,可見(jiàn)本文模型與有限元模型在力學(xué)分析結(jié)果上較為符合。

由圖10可得,與有限元模型相比,本文接觸面積理論計(jì)算結(jié)果最大誤差為6.2%,表明本文的理論模型可以在一定誤差范圍內(nèi)與有限元法計(jì)算結(jié)果近似。

由圖11可得,對(duì)于接觸間距,本文理論計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果偏差最大為10%。

由于結(jié)合面處的接觸面積非常小,計(jì)算結(jié)果對(duì)網(wǎng)格密度非常敏感,而為了保證計(jì)算效率,難以將網(wǎng)格劃分得十分精細(xì),因此有限元結(jié)果中的接觸面積和接觸位移與本文的理論模型結(jié)果相比,誤差相對(duì)較大。由于各方向上的分力是施加在整個(gè)模型上的,是一種總力,受網(wǎng)格密度影響較小,因此各方向分力的誤差較小。

圖11 兩種方法接觸位移對(duì)比

4 結(jié) 論

(1)本文提出了一種新型微凸體彈性接觸模型,用橢圓拋物體作為微凸體的幾何模型,能更好地體現(xiàn)微凸體接觸中的側(cè)接觸特性。本文的彈性接觸計(jì)算同樣適用于求解幾何模型具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的微凸體模型的彈性接觸問(wèn)題,為以后進(jìn)一步研究形狀更為復(fù)雜的微凸體接觸奠定了基礎(chǔ)。

(2)通過(guò)Weingarten映射的方法求解了微凸體接觸點(diǎn)處的曲面曲率,并利用赫茲曲面接觸理論求解,最終得出接觸面積s與接觸位移δ的解析結(jié)果,并與有限元分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明,接觸位移計(jì)算結(jié)果差異最大為10%,接觸面積結(jié)果最大差異為6.2%。

(3)分析了微凸體相對(duì)接觸位置及橢圓率與接觸面積、接觸位移的關(guān)系。其中,橢圓率在超過(guò)0.9后,接觸面積迅速減小,接觸位移迅速增大;相對(duì)平移位置和轉(zhuǎn)角相比,對(duì)接觸位移與接觸面積的影響較大。

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(編輯 杜秀杰)

Elastic Contact Model of Elliptical Parabolic Asperity

LIU Weiqiang,ZHANG Jinhua,HONG Jun,ZHU Linbo

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To precisely describe the contact mechanics between two solid rough surfaces, a kind of elliptical parabolic elastic asperity contact model was proposed. Both top-top contact and shoulder-shoulder contact were considered in this model. Weingarten map was adopted to obtain the curvature of contact point, and Hertz surface contact theory was used to solve this model. Analytic formula was deduced to get contact displacement and contact area for shoulder-shoulder contact. The influence of relative location and ellipticity on contact area and contact displacement was discussed. Finite element model and the proposed model were compared. The result shows that the ellipticity exerts an obvious influence on the contact area and contact displacement; when ellipticity exceeds 0.9, the contact area and contact displacement of two asperities change drastically; the largest contact displacement error reaches 10%, and the largest contact area error reaches 6.2%. The proposed model is suitable for the other asperity models with second-order continuous partial derivatives.

Hertz surface contact; asperity; elastic contact

2015-04-15。

劉偉強(qiáng)(1988—),男,碩士生;洪軍(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2011CB706600);國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012AA040701)。

時(shí)間:2015-06-29

10.7652/xjtuxb201510006

O343.3

A

0253-987X(2015)10-0034-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150629.1137.001.html