裴世源,徐華,2

(1.西安交通大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計與轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安;2.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 830046, 烏魯木齊)

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非均質(zhì)復(fù)合材料力學(xué)性能的確定性多尺度計算方法

裴世源1,徐華1,2

(1.西安交通大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計與轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安;2.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 830046, 烏魯木齊)

針對具有多尺度特性的非均質(zhì)復(fù)合材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析,提出了一種確定性多尺度計算方法——有限細(xì)胞法(FCM)。該方法通過矩陣凝聚和插值近似得到粗網(wǎng)格的剛度矩陣,在計算得到粗網(wǎng)格解后,通過回代技術(shù)可獲得全域細(xì)網(wǎng)格解。為驗(yàn)證FCM的計算精度和計算效率,構(gòu)造了多個數(shù)值算例,并與理論和有限元(FEM)結(jié)果進(jìn)行了對比,結(jié)果發(fā)現(xiàn):相對于FEM,FCM可顯著擴(kuò)大計算規(guī)模,提高計算速度,且易于并行;相對于其他多尺度計算方法,FCM在構(gòu)造粗網(wǎng)格剛度矩陣過程中無需引入微觀邊界條件,計算精度高,易于降尺度計算。因此,FCM是分析復(fù)合材料結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的一種有效的多尺度算法,同時該方法易于推廣至多尺度的非線性結(jié)構(gòu)分析、熱分析、地下水滲流分析等領(lǐng)域。

有限細(xì)胞法;多尺度計算;非均質(zhì)復(fù)合材料

自然界和工程應(yīng)用中的很多材料都具有多尺度特征,準(zhǔn)確描述這些材料的整體細(xì)觀力學(xué)行為是當(dāng)今科學(xué)界和工程界所面臨的挑戰(zhàn)之一。傳統(tǒng)數(shù)值方法在求解這些問題時需耗費(fèi)大量的計算資源,雖然超級計算機(jī)和并行計算的出現(xiàn)在一定程度上緩解了計算難度,但對于很多大規(guī)模多尺度問題仍難以求解。在保證計算精度的前提下,發(fā)展高效的多尺度計算方法是當(dāng)今計算力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-2]。

近些年來,國內(nèi)外學(xué)者已提出了各種多尺度計算方法,其中具有代表性的有漸近均勻化法[3-7]、多尺度有限元法(MsFEM)[8-10]、非均質(zhì)多尺度法(HMM)[11-12]、代表體元法(RVE)[13-15]、小波均勻化方法[16]等。這些方法通常是從宏觀域中取出有代表性的體元(微觀域),在此體元上構(gòu)建一個局部邊值問題,在得到體元的等效力學(xué)參數(shù)后,將原結(jié)構(gòu)等效成具有此參數(shù)的均勻結(jié)構(gòu)求解宏觀域的力學(xué)響應(yīng)。一般來說,選擇局部問題邊界條件具有較強(qiáng)的主觀性和經(jīng)驗(yàn)性,對計算精度具有顯著影響[9-10],因此構(gòu)造局部問題合適的邊界條件是多尺度計算的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。另一方面,雖然這些多尺度方法均可用于分析結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)行為,但通常難以得到結(jié)構(gòu)的微觀力學(xué)響應(yīng)(如局部應(yīng)力和應(yīng)變等)[2,11],在很多情況下獲得全域精細(xì)網(wǎng)格解是至關(guān)重要的,如結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,疲勞和斷裂分析等.

作者曾基于有限元子結(jié)構(gòu)方法提出了有限細(xì)胞法(FCM),用于求解表面結(jié)構(gòu)的多尺度潤滑問題(標(biāo)量場問題)效果良好[17-18]。該方法的基本思想與傳統(tǒng)多尺度方法類似,亦是先構(gòu)建微觀域的局部問題,后求解宏觀域整體響應(yīng)。主要不同點(diǎn)在于:①構(gòu)建局部問題時,無需引入微觀邊界條件,避免了人為選擇的主觀性和經(jīng)驗(yàn)性;②直接通過矩陣運(yùn)算得到粗網(wǎng)格(細(xì)胞)的剛度矩陣和載荷向量,而不是得到微觀等效材料參數(shù)后,再構(gòu)建宏觀單元的剛度矩陣;③易于降尺度計算。

為對非均質(zhì)多尺度復(fù)合材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析,本文以二維連續(xù)體問題分析為例,介紹FCM求解矢量場問題的基本原理及其實(shí)施過程,并通過幾個有代表性的數(shù)值算例說明其有效性。限于篇幅,本文只介紹FCM的基本原理及其在復(fù)合材料力學(xué)分析中的應(yīng)用,多尺度潤滑問題的分析可參見文獻(xiàn)[17-18],有關(guān)FCM在多孔介質(zhì)滲流、傳熱等問題中的應(yīng)用將另文論述。

1 有限細(xì)胞法

假定有結(jié)構(gòu)如圖1所示,若將最小的重復(fù)單位定為細(xì)胞,則該結(jié)構(gòu)由4個細(xì)胞構(gòu)成,整體域可由方形細(xì)胞和圓形細(xì)胞兩種組合而成。通常FCM的實(shí)施包括以下4個步驟,如圖2所示。

圖1 宏觀域結(jié)構(gòu)示意圖

(a)凝聚細(xì)胞內(nèi)部自由度 (b)凝聚細(xì)胞邊界自由度

(c)求解宏觀域響應(yīng) (d)降尺度計算 圖2 有限細(xì)胞法關(guān)鍵步驟

1.1 凝聚細(xì)胞內(nèi)部自由度

為便于說明,使用雙線性四邊形單元對細(xì)胞進(jìn)行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分,每個方向均具有M個節(jié)點(diǎn),如圖2a所示。使用常規(guī)有限元法組裝得到細(xì)胞整體剛度矩陣和載荷向量,細(xì)胞的平衡方程可以表示為

Kcuc=fc

(1)

式中:Kc表示細(xì)胞的剛度矩陣;uc表示細(xì)胞所有節(jié)點(diǎn)的自由度;fc表示載荷向量;下標(biāo)c表示細(xì)胞。需要說明的是,在建立局部問題(細(xì)胞平衡方程)時,無需施加邊界條件。對于彈性力學(xué)問題fc是具有2M2個0元素的列向量,但對于傳熱、滲流或潤滑等問題,fc不一定是零向量。經(jīng)過適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)編號,式(1)可用矩陣分塊表示為

(2)

式中:下標(biāo)b表示細(xì)胞邊界;i表示細(xì)胞內(nèi)部;ub表示細(xì)胞邊界上的自由度;ui表示細(xì)胞內(nèi)部的自由度。基于消去法對ui凝聚,式(2)可表示為

(3)

(4)

(5)

1.2 凝聚細(xì)胞邊界自由度

圖3 細(xì)胞節(jié)點(diǎn)分類

為進(jìn)一步減小細(xì)胞的等效剛度矩陣,在細(xì)胞的4條邊界上分別選取保留均布的k個主節(jié)點(diǎn),邊界上的其余節(jié)點(diǎn)定義為從節(jié)點(diǎn),如圖2b所示,節(jié)點(diǎn)分類如圖3所示。若假定主節(jié)點(diǎn)的自由度已知,則從節(jié)點(diǎn)的自由度可通過k個主節(jié)點(diǎn)的自由度插值計算得到。為方便實(shí)施,使用拉格朗日p次多項(xiàng)式作為插值函數(shù),其中p≤k-1。例如,從節(jié)點(diǎn)中的第l個自由度可由同側(cè)邊界上的p+1個主節(jié)點(diǎn)的對應(yīng)自由度插值得到

(6)

式中:下標(biāo)s表示從節(jié)點(diǎn);m表示主節(jié)點(diǎn);φj表示拉格朗日插值基函數(shù)。將式(6)改寫為向量形式

(7)

通過矩陣疊加,全體從節(jié)點(diǎn)自由度可表示為

us=Tum

(8)

(9)

式中:T表示插值矩陣。

根據(jù)主節(jié)點(diǎn)與從節(jié)點(diǎn)的分類,式(3)可以用矩陣分塊表示為

(10)

將式(8)代入到式(10),可得

(11)

式中:I表示單位矩陣。式(11)第一行可表示為

Kmum=fm

(12)

Km=kmm+kmsT

(13)

即細(xì)胞的等效剛度矩陣和載荷向量分別可用Km和fm表示。在此凝聚過程中使用主節(jié)點(diǎn)的自由度插值計算從節(jié)點(diǎn)的自由度,忽略了部分信息,計算精度會有所損失,但通常在細(xì)胞邊界上的節(jié)點(diǎn)的自由度不會產(chǎn)生間斷或突變,當(dāng)在細(xì)胞邊界上保留較多的主節(jié)點(diǎn)和選取高階插值函數(shù)后,這時精度損失變得可以忽略。一般來說,線性和二次插值函數(shù)通常誤差較大,當(dāng)插值函數(shù)的階數(shù)高于三次后,計算誤差會顯著降低。本文將在數(shù)值算例部分詳細(xì)討論FCM插值方案對計算精度的影響。另一方面,經(jīng)過插值近似,細(xì)胞待求的自由度取決于主節(jié)點(diǎn)的數(shù)量,即8(k-1),對于固體力學(xué)問題,當(dāng)細(xì)胞邊界上保留11個主節(jié)點(diǎn)時,FCM與FEM精細(xì)網(wǎng)格間計算結(jié)果之間的誤差已經(jīng)低于1%,此時細(xì)胞的等效剛度矩陣Km為80×80稠密矩陣。通過兩個凝聚步驟得到規(guī)模較小細(xì)胞等效剛度矩陣和載荷向量是有限細(xì)胞法的關(guān)鍵步驟。對于周期性結(jié)構(gòu),細(xì)胞的剛度矩陣僅需計算一次,對于非周期結(jié)構(gòu)細(xì)胞剛度矩陣需要分別計算,但不同細(xì)胞的剛度矩陣的計算完全獨(dú)立,因此易于并行。

1.3 求解宏觀域響應(yīng)

如圖2c所示,宏觀域可以認(rèn)為由有限個細(xì)胞組成。在得到的等效細(xì)胞剛度矩陣Km和載荷向量fm后,系統(tǒng)的總體剛度矩陣和載荷向量可表示為

Kum=f

(14)

(15)

式(15)表示系統(tǒng)總體剛度矩陣由每個細(xì)胞的等效剛度矩陣組裝而成。施加宏觀邊界條件后,式(14)可解,從而得到宏觀域細(xì)胞主節(jié)點(diǎn)的自由度。

1.4 降尺度計算

對比于傳統(tǒng)多尺度方法(均勻化,MsFEM和HMM等),FCM能很容易地進(jìn)行降尺度計算,且可以保證在細(xì)胞邊界處自由度連續(xù)。如圖2d所示,在得到主節(jié)點(diǎn)的自由度后,從節(jié)點(diǎn)的自由度可由式(8)計算得到,由此便得到了細(xì)胞的邊界自由度ub,而細(xì)胞內(nèi)部的自由度為

(16)

至此整體域精細(xì)網(wǎng)格的全部自由度均已求出,應(yīng)力和應(yīng)變等信息可用傳統(tǒng)有限元方法計算得到。

從以上推導(dǎo)過程可以看出:有限細(xì)胞法完全基于矩陣變換,無需引入微觀邊界,易于降尺度計算;同時該方法與控制方程的無關(guān),因此易于將其推廣至非線性結(jié)構(gòu)分析、熱分析、地下水滲流等領(lǐng)域。

2 數(shù)值算例

本節(jié)將以幾個典型的算例來驗(yàn)證有限細(xì)胞法的計算精度和計算效率等問題,所有計算均在個人臺式機(jī)上完成(CPU 3.2 GHz,RAM 16G),單核計算,編程語言為MATLAB 8.3,操作系統(tǒng)為Windows 7(64 bit)。多尺度精細(xì)網(wǎng)格解用FCMk×p表示,k表示細(xì)胞單側(cè)邊界上的節(jié)點(diǎn)個數(shù),p表示拉格朗日插值函數(shù)的階次,把傳統(tǒng)有限元法精細(xì)網(wǎng)格解作為參考解,用FEM表示。算例中的所有參數(shù)都假設(shè)是無量綱量,且本文考察的是平面應(yīng)力情況。

2.1 算例1

算例1為均質(zhì)材料懸臂梁結(jié)構(gòu)分析。為了驗(yàn)證FCM的正確性,構(gòu)造一個簡單的具有矩形截面的均質(zhì)懸臂梁算例,如圖4所示,懸臂梁結(jié)構(gòu)的右端固定支撐,左端承受P=100的分布力,懸臂梁長度L=100,高度h=10,寬度為1,材料的彈性模量為2×105,泊松比為0.3。懸臂梁中性軸撓度的理論表達(dá)式為[19]

(17)

圖4 均質(zhì)懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖

本算例中FCM使用了6×5的插值方案,即在細(xì)胞的每條邊界上保留了6個主節(jié)點(diǎn),從節(jié)點(diǎn)的自由度使用5次拉格朗日函數(shù)由主節(jié)點(diǎn)自由度插值得到。FCM使用40×40的均布雙線性四邊形單元對細(xì)胞進(jìn)行劃分,采用20×2的細(xì)胞對全域進(jìn)行劃分,故全域細(xì)網(wǎng)格尺度共有8 000×800單元,有限元采用相同的細(xì)網(wǎng)格密度。通過L2范數(shù)[12]驗(yàn)證數(shù)值方法的實(shí)際效果

(18)

式中:Q為懸臂梁中性軸相應(yīng)的細(xì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)。本算例中vref取解析解va,即式(17)。懸臂梁中性軸y向位移對比如圖5所示。由FCM和FEM的L2范數(shù)分別為3.15×10-3和3.35×10-3可以發(fā)現(xiàn),對于均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)FCM在相同的細(xì)網(wǎng)格尺度上可以得到比傳統(tǒng)FEM更高的精度,且收斂于精確解。同時,FCM的計算時間僅為FEM的26.2%,計算效率也更高。

圖5 均質(zhì)懸臂梁中性軸y向位移比較

2.2 算例2

算例2為具有周期結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)懸臂梁結(jié)構(gòu)分析。懸臂梁模型及其邊界條件如圖6所示。該結(jié)構(gòu)由A×B個材料相同的正方形細(xì)胞組成,本算例中考慮了5種A×B的組合,即6×2、12×3、18×7、24×13、30×29和40×30,細(xì)胞中的邊長為1,包含邊長為0.3的正方形強(qiáng)化相。其中,基體材料的彈性模量為2×104,泊松比為0.3。強(qiáng)化相的彈性模量為2×105,泊松比為0.25,細(xì)胞采用40×40的均勻雙線性四邊形網(wǎng)格劃分,如圖7所示。懸臂梁左端固定,上端承受強(qiáng)度q=1的均布載荷。

圖6 復(fù)合材料結(jié)構(gòu)示意圖

圖7 細(xì)胞網(wǎng)格劃分

本算例中考慮了FCM的兩種插值方案,分別為6×5和11×9,不同計算規(guī)模下,FEM和FCM計算結(jié)果的比較如表1所示。本算例中取相同網(wǎng)格密度下FEM的計算結(jié)果作為參考解,當(dāng)A=12、B=3時,懸臂梁中性軸y向位移對比如圖8所示。

從表1可以看出,FCM和FEM的計算結(jié)果吻合良好,FCM 6×5方案的L2范數(shù)最大誤差為22.8×10-3,而FCM 11×9方案的L2范數(shù)最大誤差僅為2.43×10-3?？傮w看來,FCM 11×9方案的計算結(jié)果優(yōu)于FCM 6×5方案。這是因?yàn)樵谶吔缟媳Ａ舾嗟闹鞴?jié)點(diǎn)和采用高次的插值函數(shù),從而可以更精確地計算從節(jié)點(diǎn)的自由度。對于結(jié)構(gòu)分析來說,細(xì)胞單側(cè)邊界上保留11個主節(jié)點(diǎn),FCM已經(jīng)具有足夠高的精度,保留更多的主節(jié)點(diǎn)并不能繼續(xù)有效提高精度,但會增加計算時間和內(nèi)存。因此,綜合考慮精度和效率,在后續(xù)的算例中FCM將采用11×9的插值方案。

圖8 懸臂梁中性軸y向的位移比較(A=12,B=3)

A×B總自由度/103L2范數(shù)/10-3FCM6×5FCM11×9計算時間/sFCM6×5FCM11×9FEM6×238.46.262.4301.982.673.2312×311522.800.1732.063.499.7218×740311.000.3083.393.9235.1024×139986.910.3364.516.36118.8030×2927844.300.4096.9615.10851.0040×3038405.540.1857.7521.101643.50

在計算時間方面,隨著總自由度的增加,傳統(tǒng)有限元方法的計算時間顯著增加,當(dāng)總自由度達(dá)到380萬時,FEM的計算時間接近0.5 h,且內(nèi)存消耗也接近于物理內(nèi)存極限(16 GB),因此我們沒有嘗試更大規(guī)模的計算,但在相同的網(wǎng)格密度下FCM的計算時間均不足22 s,內(nèi)存需求也非常低(小于1 GB)。這是因?yàn)閷τ谥芷诮Y(jié)構(gòu),細(xì)胞的剛度矩陣僅需構(gòu)造一次,且規(guī)模較小,故對于周期性結(jié)構(gòu),有限細(xì)胞法可顯著降低計算量,節(jié)省內(nèi)存,擴(kuò)大了計算規(guī)模,具有明顯的優(yōu)勢。

2.3 算例3

算例3為非完全周期結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)懸臂梁結(jié)構(gòu)分析。懸臂梁由30×6個細(xì)胞組成,如圖9所示。細(xì)胞的幾何尺寸、網(wǎng)格劃分、材料性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的邊界條件與算例1相同,但在豎直方向上,復(fù)合材料增強(qiáng)相的邊長由0.1變化到0.6,步長為0.1。

圖9 非均質(zhì)懸臂梁模型

(a)FEM

(b)FCM圖10 宏觀von Mises應(yīng)力云圖比較

(a)FEM (b)FCM 圖11 左下角細(xì)胞微觀尺度von Mises應(yīng)力云圖比較

圖12 懸臂梁中性軸y方向的位移比較

圖13 過應(yīng)力最大點(diǎn)軸線方向von Mises應(yīng)力比較

von Mises整體應(yīng)力對比如圖10所示,細(xì)胞微觀尺度von Mises應(yīng)力云圖如圖11所示,懸臂梁中性軸y向位移比較如圖12所示,過應(yīng)力最大點(diǎn)軸線方向von Mises應(yīng)力比較如圖13所示,發(fā)現(xiàn)FCM的計算結(jié)果與FEM參考解吻合良好。注意到懸臂梁底部增強(qiáng)相尺寸已經(jīng)接近于細(xì)胞尺寸,在這種情況下一些傳統(tǒng)多尺度計算方法(均勻化,MsFEM等)的計算精度會急劇下降,但從圖10至圖13可以看到,FCM與FEM的結(jié)果依然高度吻合,說明FCM具有良好的適應(yīng)性和靈活性。在計算時間方面,本算例中總自由度為57.6萬,FEM的計算時間為50.2 s,而FCM的計算時間僅為13.3 s,說明FCM在非完全周期情況下依然具有很高的計算精度和較高的計算效率。

若宏觀結(jié)構(gòu)沒有任何的周期性,傳統(tǒng)有限元方法可能因?yàn)橛嬎銜r間和內(nèi)存需求過大而無法計算,但有限細(xì)胞法可以將原問題分解為很多小問題后分別求解,且不同細(xì)胞剛度矩陣的構(gòu)造完全獨(dú)立,易于將細(xì)胞剛度矩陣的構(gòu)造進(jìn)行并行化處理,且不同線程之間的通信代價極低,因此FCM為分析非均質(zhì)非周期多尺度材料的力學(xué)性能提供了一種方法。

3 結(jié) 論

本文介紹了有限細(xì)胞法(FCM)的基本原理,詳細(xì)闡述了該方法的理論基礎(chǔ)和關(guān)鍵實(shí)施步驟,展示了其在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用。FCM的基本思想是通過矩陣運(yùn)算直接得到多節(jié)點(diǎn)的粗網(wǎng)格(細(xì)胞)剛度矩陣,在求解得到粗網(wǎng)格尺度的力學(xué)響應(yīng)后,通過降尺度計算到全域精細(xì)網(wǎng)格尺度的響應(yīng)。通過數(shù)值算例驗(yàn)證有限細(xì)胞法的計算精度和計算效率等問題,結(jié)果表明,相對于傳統(tǒng)FEM,FCM可顯著提高計算效率,節(jié)省內(nèi)存,擴(kuò)大計算規(guī)模,尤其是對于周期材料,優(yōu)勢非常明顯。相對于經(jīng)典多尺度方法,FCM在構(gòu)建局部問題時無需引入微觀邊界條件,易于進(jìn)行降尺度計算,且具有與控制方程無關(guān)、方便實(shí)施等優(yōu)點(diǎn)。FCM與控制方程無關(guān)的特性決定了其易于推廣至多尺度的非線性結(jié)構(gòu)分析、熱分析、地下水滲流等領(lǐng)域。

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(編輯 杜秀杰)

Deterministic Multiscale Method for Heterogeneous Composite Material

PEI Shiyuan1,XU Hua1,2

(1. Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-Bearing System, Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049, China; 2. School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

For the strength analysis of heterogeneous materials in elasticity, a deterministic multiscale calculation method, finite cell method (FCM), is presented. The condensation and interpolation technique are adopted to obtain the coarse element stiffness matrix, then the original problem can be solved in coarse-scale, and the fine-scale solution can be sought out by back substitution. The comparison with analytic method and finite element method (FEM) on several numerical examples indicates that FCM enables to significantly expand computational scale and greatly improve computing rate. In FCM, the artificial boundary conditions are unnecessary for constructing macroscopic meshes, and the downscaled computing can be easily performed. FCM is also feasible for non-linear multiscale structure analysis, thermal analysis and porous flow analysis.

finite cell method; multiscale computation; heterogeneous material

2015-01-13。

裴世源(1983—),男,講師。

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃資助項(xiàng)目(2011 CB706602);陜西省科技攻關(guān)資助項(xiàng)目(2015GY022)。

時間:2015-06-29

10.7652/xjtuxb201510002

TP301.6

A

0253-987X(2015)10-0008-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150629.1137.003.html