許華庚

教材內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第107頁(yè)。

教學(xué)過(guò)程：

一、傳說(shuō)導(dǎo)入、激發(fā)興趣，引入課題

1.鏈接“數(shù)”與“形”的初步感知。師：老師今年假期到一個(gè)地方游玩，結(jié)果到了那座山下，那座山把老師給驚呆了（出示五指山照片），你們看，那座山的外形像什么？

生：像五指。

師：對(duì)，這就是有名的五指山！相傳，孫悟空就曾經(jīng)被壓在這里。（出示右圖課件）

2.挖掘“形”背后“數(shù)”的內(nèi)涵。師：五指山確實(shí)是大自然賦予我們的寶貴財(cái)富，但這“形”往往就被人們，想象成了“五指山”，形就和數(shù)就結(jié)合在了一起。所以，形是大自然的饋贈(zèng)，數(shù)是人們創(chuàng)造的智慧?？磥?lái)，這數(shù)與形之間真的還被賦予了許多豐富的想象和深刻的內(nèi)涵?。ò鍟簲?shù)形）不信，我們接著往下看：

（1）你知道女的為什么愛穿高跟鞋嗎？

②芭蕾舞演員又為什么要踮起腳尖跳舞呢？

生1：因?yàn)榇┥细吒?，女人看起?lái)很美。

生2：因?yàn)榘爬傥柩輪T踮起腳尖轉(zhuǎn)得快。

師：（再出示黃金分割點(diǎn)0.618）因?yàn)榇┥细吒王谄鹉_尖以后，看起來(lái)就更高挑、更優(yōu)美。其實(shí)，在人們追求“美”的背后，實(shí)際上是在追求黃金分割點(diǎn)0.618，也就是在人體上身和下身的比例達(dá)到百分之六十一點(diǎn)八的時(shí)候，人的形體是最美的。看來(lái)，使我們生活如此美妙的數(shù)與形之間真的還有許多的秘密！同學(xué)們想不想繼續(xù)探究？（學(xué)生興趣高漲地回答“想”）這節(jié)課，老師就帶領(lǐng)同學(xué)們一起研究“數(shù)與形”，齊讀一遍。（板書：“與”）

二、溯本求源、數(shù)形結(jié)合，植入策略

1.依形思數(shù)，依數(shù)思形。

（1）依形思數(shù).

師：要探討“數(shù)與形”的秘密，先讓我們從簡(jiǎn)單的開始吧。（出示課件）你看到了什么？

生1：我看到了16根小棒.

生2：我看到了4個(gè)正方形。

生3：我看到了4個(gè)“口”字。

生4：我看到了每個(gè)正方形里都有4個(gè)90度。

生5：我看到了每個(gè)正方形里有4根小棒。

生6：我還看到了每個(gè)正方形里都有360度。

小結(jié)：從“形”能夠看到許多的數(shù)，這就是一種智慧，那么，由數(shù)你能想到一些形嗎？

（2）依數(shù)思形。

師：你能讓數(shù)字1說(shuō)話嗎？（出示課件）

生1：1張嘴。

生2：1個(gè)太陽(yáng)。

生3：1把椅子。

生4：4個(gè)1就組成一張口，一張口就可以說(shuō)話。

......

師：1張桌子、1把椅子、1個(gè)太陽(yáng)、1個(gè)同學(xué)、1棵大樹、1架飛機(jī)......最后就把這些“形”抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)“1”表示。可是，數(shù)字“1”說(shuō)：“我不是你們說(shuō)的那些，我的形體是1個(gè)正方形。”結(jié)果數(shù)字“3”也跑來(lái)說(shuō)：“我的形體是3個(gè)正方形?！蹦敲矗瑢W(xué)們能否根據(jù)他們的形體，用圖形表示“1+3”嗎？它是一個(gè)正方形，正方形的面積等于（邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)）。數(shù)字“5”也不甘示弱：“我的形體是5個(gè)正方形?！贝蠹視?huì)用圖形表示“1+3+5”嗎？它又是一個(gè)正方形，正方形的面積等于（邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)）。

小結(jié)：通過(guò)剛才的那個(gè)“口”的形狀，我們看出來(lái)許多數(shù)，透過(guò)數(shù)字“1”，我們又能說(shuō)出許多的形狀，也就是：當(dāng)只有形的時(shí)候，就讓數(shù)來(lái)說(shuō)說(shuō)話，當(dāng)只有數(shù)的時(shí)候，就讓形來(lái)幫忙表達(dá)。如果該節(jié)課能夠在數(shù)與形之間建立一種聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生穿梭在數(shù)與形之間，游走在數(shù)形結(jié)合里。那么，這節(jié)課的學(xué)習(xí)一定是成功的！

2.策略求形，植入策略。（1）出示特大數(shù)列，設(shè)置矛盾沖突、激發(fā)探究欲望。課件：10秒算結(jié)果：1+3+5+7+9+11+…+99997+99999=？

老師計(jì)時(shí)，……5、4、3、2、1、停。（課件出示結(jié)果）（學(xué)生是無(wú)法做出的，意在設(shè)置矛盾沖突）想知道嗎？我告訴你，因?yàn)?9999接近10萬(wàn)，10萬(wàn)的一半就是5萬(wàn)，5萬(wàn)的平方就是25億（2500000000）。想知道我是怎樣算出來(lái)的嗎？（學(xué)生異常興奮地說(shuō)出“想”）我們今天學(xué)習(xí)的是什么？（“數(shù)與形”），那么，這些數(shù)字，我們就用圖形來(lái)幫助表達(dá)一下嘛！但是，這個(gè)天外來(lái)物（指題目）的大數(shù)據(jù)，能畫這么大的圖形嗎？肯定不能，那怎么辦呢？就采用“數(shù)形結(jié)合”“以小見大”（板書：“數(shù)形結(jié)合”“以小見大”）的策略吧！我們不看后面很大的數(shù)，只要分別用圖形表達(dá)出前面的幾個(gè)數(shù)，就能找出這組數(shù)計(jì)算的規(guī)律啦！大家想不想試試？（學(xué)生興高采烈地說(shuō)“想”）

（2）借助提供信息，創(chuàng)造以小見大，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

（出示課件并齊讀）根據(jù)以下信息，用彩筆創(chuàng)造一個(gè)“數(shù)形結(jié)合”“以小見大”的幾個(gè)圖形分別表示1，1+3，1+3+5，1+3+5+7……就知道下面題目怎么計(jì)算了。（展示學(xué)生創(chuàng)造的數(shù)形結(jié)合圖形如下）

1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9

（3）展示數(shù)形結(jié)合，尋找數(shù)列規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

①為了在點(diǎn)子圖上擺出更具體直觀的圖形，我送你們一張點(diǎn)子圖（貼到黑板上）來(lái)體現(xiàn)“以小見大”的策略，老師先擺這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)“1”，這是一個(gè)方格，這個(gè)方格是正方形，正方形的面積等于（邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)），也就是1乘1得1的平方。（如圖一，板書：1=12）

②為了體現(xiàn)這列數(shù)的前兩個(gè)數(shù)的圖形，老師再接著擺第二個(gè)數(shù)字“3”，所有磁塊的個(gè)數(shù)就是“1+3”，（如圖二）它又組成了一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的面積等于？（2乘2得2的平方）（貼板書：1+3=22）

③同學(xué)們，老師就擺到這里。下面你們敢仿照老師的擺法往下擺嗎？（學(xué)生擺出圖三）你擺出的總個(gè)數(shù)怎樣記錄？（貼板書：1+3+5=32）

④誰(shuí)還敢往下擺？（學(xué)生擺出圖四）你擺出的總個(gè)數(shù)又怎樣記錄？（貼板書：1+3+5+7=42）

⑤誰(shuí)敢再往下擺并且記錄總個(gè)數(shù)？（學(xué)生擺出圖五，貼板書：1+3+5+7+9=52）

……

⑥教師出示課件講解：

老師也用“以小見大”的策略擺出了一些圖形，想不想看看？課件演示請(qǐng)同學(xué)們一邊數(shù)，一邊幫著記錄小正方形的總個(gè)數(shù)。1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52……

⑦觀察數(shù)列，構(gòu)建模型。

觀察1+3+5+7+9=25=52：

a.你是做加法加得25、還是做乘法，乘得25？（做乘法五五二十五）。那么，為什么一道加法算式題你卻用乘法來(lái)做呢？（因?yàn)橛眉訑?shù)的個(gè)數(shù)相乘比較簡(jiǎn)便）

b.你發(fā)現(xiàn)“加數(shù)的個(gè)數(shù)”與“結(jié)果”之間有什么規(guī)律？

生：我發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，他們的和就等于幾的平方。

c.什么樣的一列數(shù)具有這種算法呢？

生1：必須是連續(xù)的奇數(shù)。

生2：必須是從1開始的連續(xù)的奇數(shù)。

小結(jié)：對(duì)，從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加，他們的和等于連續(xù)奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

三、進(jìn)行訓(xùn)練、應(yīng)用模型，鞏固策略

1.數(shù)形結(jié)合、逆向訓(xùn)練。

下面各數(shù)分別是哪些數(shù)相加的和？敢挑戰(zhàn)嗎？（課件出示）

（1）1+3+5+7+9+11+13=（ ）【72=49】

（2）8？=哪些數(shù)相加？（ ）（扳著手指算一算：就是從1+3+5+7+9+11+13+15=82=64，就是從1開始，共有8個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加。）

（3）10？=哪些數(shù)相加？（ ）（再扳著手指算一算就是：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100，就是從1開始，共有10個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加。）

小結(jié)：72、82、102其實(shí)就是邊長(zhǎng)是7、8、10的正方形的面積。102等于從1開始的10個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和，即：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100。同時(shí)，我們還可以這樣思考：1～20中，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19這一半正好是奇數(shù)。而另外一半的數(shù)字看不到，看不到的一半（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）則是偶數(shù)。那么，請(qǐng)問(wèn)：1～100中從1開始的連續(xù)奇數(shù)有幾個(gè)？（50個(gè)）連續(xù)偶數(shù)有幾個(gè)呢？（50個(gè)）

2.依數(shù)解形、前后呼應(yīng)。

難題解答（出示（貼的）板書：逐一覆蓋最后兩個(gè)數(shù)）

（1）1+3+5+7+9+11+……+97+99=？

（2）1+3+5+7+9+11+……+997+999=？

（3）1+3+5+7+9+11+……+9997+9999=？

（4）1+3+5+7+9+11+……+99997+99999=？

生1：（1）小題：因?yàn)?至100中有100個(gè)數(shù)，其中一半是從1開始的連續(xù)奇數(shù)到99，所以等于502=2500。

生2：（2）小題：因?yàn)?至1000中有1000個(gè)數(shù)，其中一半是奇數(shù)，所以等于5002=250000。

生3：（3）小題：因?yàn)?至10000中有10000個(gè)數(shù)，其中一半是奇數(shù)，所以等于50002=25000000。

生4：（4）小題：因?yàn)?至100000中有100000個(gè)數(shù)，其中一半是奇數(shù)，所以等于500002=2500000000。

3.變式練習(xí)、畫龍點(diǎn)睛。

（出示（貼）板書：逐一覆蓋最后一個(gè)數(shù)字）

（1）1+3+5+7+9+11+……+199=？

（2）1+3+5+7+9+11+……+299=？

（3）1+3+5+7+9+11+……+599=？

小結(jié)：同學(xué)們，我們結(jié)合黑板上大家擺的正方形點(diǎn)子圖認(rèn)真觀察：剛才的幾道題是不是就是正方形的邊長(zhǎng)分別是50、500、5000、50000和邊長(zhǎng)分別是100、150、300的正方形的面積？確實(shí)是這樣，難怪我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚感概地說(shuō)數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?！皵?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”

四、數(shù)形相依、強(qiáng)化結(jié)合，提升策略

1.圖形趣變。

剛才同學(xué)們擺的正方形，如果碰一下會(huì)怎么樣呢？請(qǐng)看！（課件出示）那么如果再碰一下又會(huì)怎么樣呢？喲！又變成如此美麗的圖案，在這美麗的圖案背后還有數(shù)學(xué)思考呢！請(qǐng)看！

2.趣味填數(shù)。

根據(jù)下面的圖形說(shuō)一說(shuō)第5、6、7個(gè)數(shù)分別是（ ）、（ ）、（ ）。你是根據(jù)怎樣的排列規(guī)律得出的結(jié)果？第100個(gè)數(shù)是（ ）。

1 3 6 10（ ）（ ）（ ）……（ ）

第1個(gè)數(shù) 2 3 4 5 6 7 ……第100個(gè)數(shù)

生1：第5、6、7個(gè)數(shù)分別是15、21、28，我是根據(jù)從第二個(gè)數(shù)開始依次加上2、3、4、5、6、7得到的。

生2：我不是這樣填，我是根據(jù)第幾個(gè)數(shù)，就用幾加到1，比如：

第一個(gè)圖形=1

第二個(gè)圖形=2+1=3；

第三個(gè)圖形=3+2+1=6；

第四個(gè)圖形=4+3+2+1=10；所以，

第五個(gè)圖形=5+4+3+2+1=15；

第六個(gè)圖形=6+5+4+3+2+1=21；

第七個(gè)圖形=7+6+5+4+3+2+1=28；

第100個(gè)數(shù)就是第100個(gè)圖形=100+99+98+97+……+5+4+3+2+1。

3.梯形與高斯。

你真了不起。你的這種方法是最好最棒的！要計(jì)算100+99+98+97+……+5+4+3+2+1等于多少？方法很多：方法一：可以用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)加上“轉(zhuǎn)化思想”（板書：轉(zhuǎn)化思想）就能算出來(lái)。把100分成單數(shù)和雙數(shù)：

100+99+98+97+…+5+4+3+2+1。

方法二：還可以用梯形的面積公式來(lái)計(jì)算。請(qǐng)看：（1）計(jì)算第一個(gè)梯形里有多少根木頭？（出示課件）

生：木頭的根數(shù)=（3+7）×5÷2=25

（2）計(jì)算和在一起有多少根木頭？（出示課件）

生：木頭的根數(shù)=（3+16）×14÷2=133根

（3）如果再在上面再加兩層，一直堆到100層，一共有多少根木頭？（出示課件）

師：其實(shí)，求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+………+99+100等于多少？就是求梯形的面積，根據(jù)梯形的面積公式=（上底+下底）×高÷2。所以100層木頭的總根數(shù)=（1+100）×100÷2=5050，數(shù)學(xué)家高斯在8歲時(shí)就會(huì)計(jì)算了。當(dāng)時(shí)，他并沒有學(xué)過(guò)梯形的面積公式，他用數(shù)形結(jié)合、以小見大的思想方法來(lái)直觀解決這一數(shù)學(xué)難題的。即：高斯求和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（1+100）×100÷2=5050。（板書：高斯求和）

五、總結(jié)全課、課外拓展，延伸策略

1.名言創(chuàng)改。（課件出示）通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，大家是不是真正體驗(yàn)了當(dāng)只有“形”的時(shí)候，就讓“數(shù)”來(lái)說(shuō)說(shuō)話，當(dāng)只有“數(shù)”的時(shí)候，就讓“形”來(lái)幫忙表達(dá)。這節(jié)課真正實(shí)現(xiàn)了讓我們的思維隨時(shí)穿梭在數(shù)與形之間，游走在數(shù)形結(jié)合里，所以，我非常欣賞華羅庚的名言：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。但是許老師今天要為同學(xué)們改一改：“數(shù)形結(jié)合百般好，以小見大萬(wàn)事通。”

2.課文拓展。（課件出示）選擇你喜歡的□、○或線段圖等，用“數(shù)形結(jié)合”的思想，把單位“1”逐一平均分成一半、一半、再一半……，思考并且見證“以小見大”解題策略的奇跡！