樊振宏　譚延君　陳如山

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院,南京 210094)

?

一種旋轉(zhuǎn)對稱涂覆導(dǎo)體電磁散射高效分析方法

樊振宏譚延君陳如山

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院,南京 210094)

摘要為改善傳統(tǒng)方法分析旋轉(zhuǎn)對稱涂覆導(dǎo)體電磁散射問題的效率,提出了一種高效分析方法. 該方法在介質(zhì)表面建立電磁流混合場積分方程(Electric and Magnetic Current Combined Field Integral Equation, JMCFIE),在導(dǎo)體表面建立混合場積分方程(Combined Field Integral Equation, CFIE),利用了旋轉(zhuǎn)對稱體在空間上的旋轉(zhuǎn)周期性,只需要對表面的母線進行剖分,具有未知量少且阻抗矩陣條件數(shù)好的特點. 根據(jù)等效原理與邊界條件推導(dǎo)了JMCFIE-CFIE方程,并與傳統(tǒng)的PMCHW-CFIE方法對比了求解效率. 數(shù)值算例表明該方法能明顯改善方程的收斂性.

關(guān)鍵詞電磁散射;旋轉(zhuǎn)對稱體;涂覆導(dǎo)體;電磁流混合場積分方程

資助項目: 國家自然科學(xué)基金(61371037)； 南京理工大學(xué)自主科研專項計劃(30920140121004)； 江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室(南京信息工程大學(xué))開放基金(KDXS1201)

聯(lián)系人： 樊振宏 E-mail: zhfan@njust.edu.cn

引言

1積分方程的建立

分析如圖1所示的繞z軸旋轉(zhuǎn)的單層涂覆閉合導(dǎo)體結(jié)構(gòu),通常將旋轉(zhuǎn)對稱體(BodyofRevolution,BOR)目標(biāo)上的矢量場分解為三個正交分量[2]:沿母線切向分量t,沿圓周切向分量φ和外法向分量n.

圖1　旋轉(zhuǎn)對稱涂覆導(dǎo)體的結(jié)構(gòu)示意圖

圖2是典型涂覆導(dǎo)體目標(biāo)的橫截面的示意圖,由外而內(nèi)分為三個區(qū)域:真空自由空間區(qū)域、涂覆介質(zhì)區(qū)域和理想導(dǎo)體區(qū)域,分別用1區(qū)、2區(qū)、3區(qū)表示.εh,μh表示h區(qū)(h=1,2)中的介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率,Sd是介質(zhì)與真空的分界表面,Sc是導(dǎo)體表面,它們的單位外法向矢量分別用nd和nc表示. 研究電磁散射特性時,用Eh,Hh分別代表h區(qū)中的總電場強度和磁場強度,Ei, Hi表示均勻平面入射波的電場強度與磁場強度.

圖2　涂覆導(dǎo)體目標(biāo)的散射問題示意圖

(1)

(2)

式中： 下標(biāo)tan表示取切向分量； 算子Lh,Kh為:

Lh(X)=jωμh∫SxGh(r,r′)X(r′)dS′-

Kh(X)=-P.V.∫SxGh(r,r′)×X(r′)dS′.

(3)

式中: 下標(biāo)h表示它是h區(qū)中的算子或相關(guān)量;

(4)

(5)

在導(dǎo)體表面r∈Sc建立EFIE與MFIE[7]:

(6)

(7)

寧德師范學(xué)院位于福建省寧德市，是閩東地區(qū)唯一一所多科性的地方本科高校。閩東地區(qū)蘊藏著豐富多彩的音樂舞蹈資源，應(yīng)加以充分發(fā)掘。

1.1　PMCHW-CFIE方程

該方案是目前文獻中采用最多的方案,它是在介質(zhì)表面建立PMCHW方程[6-7],在導(dǎo)體表面建立CFIE方程. 介質(zhì)表面的PMCHW方程是將式(1)和式(2)分別減去式(4)和式(5)而得:

EFIE1-EFIE2,

(8)

MFIE1-MFIE2.

(9)

在導(dǎo)體表面建立CFIE方程,形式如下:

αcEFIEc+(1-αc)η2nc×MFIEc.

(10)

式中,實數(shù)αc是CFIE的混合因子,取值范圍[0,1]. 聯(lián)立式(8)、(9)、(10)得到PMCHW-CFIE方程.

1.2　JMCFIE-CFIE方程

在介質(zhì)表面構(gòu)造JMCFIE時,首先在介質(zhì)的內(nèi)、外表面建立電流混合場積分方程(Electric Current Combined Field Integral Equation, JCFIE)和磁流混合場積分方程(Magnetic Current Combined Field Integral Equation, MCFIE)[8-9],形式如下:

JCFIEh:αdEFIEh+(1-αd)ηhndh×MFIEh,

(11)

MCFIEh:αdηhMFIEh-(1-αd)ndh×EFIEh.

(12)

式中:αd是JMCFIE的混合因子,取值范圍[0,1]; ndh表示介質(zhì)表面指向h區(qū)的單位法向量. 采用與PMCHW方程類似的構(gòu)造方式,得到Sd上的JMCFIE方程.

JCFIE1-JCFIE2,

(13)

MCFIE1-MCFIE2.

(14)

在導(dǎo)體表面上仍然采用式(10)所表示的CFIE方程,聯(lián)立方程式(10)、(13)和(14),得到JMCFIE-CFIE積分方程組.

2旋轉(zhuǎn)對稱矩量法

采用矩量法進行分析,首先將電磁流密度用BOR基函數(shù)[6]展開為:

(15)

(16)

(17)

(18)

式中:Tn(t)是沿母線方向定義的分域三角形基函數(shù)； ejαφ是沿周向的基函數(shù)；ρ(t)表示位置r與旋轉(zhuǎn)軸z軸之間的距離；α為整數(shù),由于結(jié)構(gòu)的圓周對稱性,理論上取無窮多項可精確描述待求密度函數(shù)隨著周向變化的特征,實際分析時取一個合理的截斷數(shù)目Nm,使得α=-Nm,…,Nm.Nm的截取主要與入射平面波的特性有關(guān),由于入射平面波僅在1區(qū),其值采用文獻[13]提出的自由空間截斷經(jīng)驗公式:

Nm=Int[k1ρmaxsinθi]+1.

(19)

式中: Int[·]表示取大于它的最小整數(shù);ρmax表示旋轉(zhuǎn)對稱體最大半徑;θi為入射波的入射θ角.

對PMCHW-CFIE方程(8)、(9)、(10)采用Galerkin測試,利用各模式之間的正交性可得矩陣方程

α=-Nm,…,Nm.

(20)

類似地可得JMCFIE-CFIE矩陣方程為

α=-Nm,…,Nm.

(21)

上標(biāo)第一項的J和M分別表示對應(yīng)的是電型方程和磁型方程,此處將導(dǎo)體表面的CFIE也認為是電型方程. 分析JMCFIE方程的組合方式發(fā)現(xiàn),對主對角矩陣對角元素貢獻比較大的獨立電流項和磁流項得以保留,而非對角矩陣的獨立電流項和磁流項的貢獻相互抵消,因此整個JMCFIE對應(yīng)的阻抗矩陣特性良好,JMCFIE方程的阻抗矩陣的條件數(shù)優(yōu)于PMCHW方程.

(22)

(23)

式中: 第一個上標(biāo)t和φ表示基函數(shù)或測試函數(shù)對應(yīng)的矢量方向; 第二個上標(biāo)表示入射波的極化方式.利用上面的關(guān)系,可得電磁流系數(shù)的正負模式的關(guān)系,以JD為例,入射場取θ極化及φ極化時

(24)

這樣,只需要求解α≥0模式的方程,對應(yīng)的負?？捎烧５慕庵苯颖硎?節(jié)省了運算量. 求解出等效電磁流之后,可計算出遠區(qū)散射場Esc,進而得到雷達散射截面(Radar Cross-Section, RCS)為

(25)

3數(shù)值算例

算例1是一個半徑為0.4 m的導(dǎo)體球,涂覆了一層厚度為0.1 m、相對介電常數(shù)為2的介質(zhì),導(dǎo)體球沿母線均勻剖分21段,介質(zhì)表面沿母線均勻剖分26段. 阻抗矩陣元素填充時,關(guān)于基函數(shù)與測試函數(shù)的積分在t方向分別取3點和4點高斯積分法則,在φ方向取32個均勻積分點. 均勻平面波的入射角度為θi=150°, φi=0°,頻率為300MHz,對應(yīng)的傅里葉模式截斷數(shù)Nm=3. 觀察φ=0°平面隨θ變化的雙站RCS(V-V極化). 在介質(zhì)面上建立JMCFIE方程,在導(dǎo)體面上建立CFIE方程,混合因子αd=0.2,αc=0.2,采用GMRES(80)方法[14]求解,80表示GMRES迭代重啟動(Restart)的數(shù)目.圖3給出了JMCFIE-CFIE方法與PMCHW-CFIE方法和Mie級數(shù)解析解[15]的RCS計算結(jié)果對比,可以看出,三個方法的結(jié)果是吻合的.

圖3　算例1雙站RCS計算結(jié)果對比

表1給出了各個模式方程的矩陣條件數(shù)和GMRES迭代求解步數(shù),可以看出,JMCFIE-CFIE方法的矩陣條件數(shù)κ2(A)=‖A‖2·‖A-1‖2比傳統(tǒng)的PMCHW-CFIE方法至少小10倍. 迭代方法的收斂性能通常與矩陣的條件數(shù)相關(guān),通常矩陣條件數(shù)小則收斂速度快,當(dāng)然收斂速度還與右邊向量的特性、重啟動數(shù)的值有關(guān)系. 圖4給出了傅里葉模式α=1時,JMCFIE-CFIE與PMCHW-CFIE方法的GMRES迭代收斂曲線,其中,PMCHW-CFIE方法需要迭代119步,而本文方法只需要56步即可達到收斂精度.

表1　算例1各模式下方程計算時的收斂性對比

圖4　算例1模式1對應(yīng)的迭代收斂曲線

算例2是介質(zhì)涂覆的導(dǎo)體圓臺,內(nèi)層圓臺的上下底面半徑分別為0.3 m和0.6 m,高1 m,外層圓臺的上下底面半徑分別為0.35 m和0.65 m,高1.1 m,涂覆介質(zhì)的相對介電常數(shù)為2.33,導(dǎo)體面沿上下底面和側(cè)面的母線分別剖分為5、10、18段,介質(zhì)表面的上下底面和側(cè)面分別沿母線剖分為6、12、20段. 阻抗矩陣填充時基函數(shù)與測試函數(shù)在t方向分別取3個和4個高斯積分點,在φ方向取32個均勻積分點,均勻平面波的入射角度為θi=30°,φi=0°,頻率為300 MHz,對應(yīng)的傅里葉模式截斷數(shù)Nm=4,觀察φ=0°平面隨著θ角變化的雙站RCS(V-V極化). 在介質(zhì)面上建立JMCFIE方程,在導(dǎo)體介質(zhì)交面上建立CFIE方程,混合因子αd=0.2,αc=0.2,將計算結(jié)果與PMCHW-CFIE方法和FEKO矩量法的計算結(jié)果對比如圖5所示,可以看出,三者結(jié)果是吻合的. 表2給出了各個模式方程的矩陣條件數(shù)和GMRES迭代求解步數(shù),可以看出,JMCFIE-CFIE方法的矩陣條件數(shù)比傳統(tǒng)的PMCHW-CFIE方法改善了至少9倍,在某些模式下改善幅度甚至達到了74倍. 圖6給出了傅里葉模式α=1時,JMCFIE-CFIE與PMCHW-CFIE方法的GMRES(130)方法的迭代收斂曲線,其中,PMCHW-CFIE方法需要迭代251步,而本文方法只需要110步即可達到收斂精度. 從表2還可以看到,PMCHW-CFIE方法在一些模式中的GMRES迭代求解步數(shù)明顯偏高,結(jié)合圖6中的迭代收斂曲線可知,這主要是由于GMRES求解時通常需要重啟動影響收斂性能,提高GMRES的重啟動數(shù)可降低迭代步數(shù),但是重啟動數(shù)值越大,會消耗越多的內(nèi)存,無法用于大尺寸問題的分析.

圖5　算例2雙站RCS計算結(jié)果對比

圖6　算例2模式1對應(yīng)的迭代收斂曲線

表2　算例2各模式下方程計算時的收斂性對比

4結(jié)論

本文針對介質(zhì)涂覆旋轉(zhuǎn)對稱體的散射問題,提出了一種適用于分析旋轉(zhuǎn)對稱體的JMCFIE方程. 該方法利用了旋轉(zhuǎn)對稱體在角度上的周期性及各周期模式之間的正交性,只需要對母線進行剖分,求解的未知量少. 數(shù)值算例表明,通過在介質(zhì)表面建立JMCFIE方程,在導(dǎo)體表面建立CFIE方程,與傳統(tǒng)的PMCHW-CFIE方程分析技術(shù)相比,有更好的矩陣條件數(shù)和更快的迭代收斂速度.

參考文獻

[1] ANDREASEN M G. Scattering from bodies of revolution [J]. IEEE Trans on AP, 1965, 13: 303-310.

[2] MAUTZ J R, HARRINGTON R F. Radiation and scattering from bodies of revolution[J]. Applied Scientific Research, 1969, 20(1): 405-435

[3] HARRINGTON R F. Boundary integral formulations for homogeneous material bodies[J]. J Electromagn Waves Applicat, 1989, 3: 1-15.

[4] WU T K, TSAI L L. Scattering from arbitrarily-shaped lossy dielectric bodies of revolution[J]. Radio Sci, 1977, 12: 709-718.

[5]朱劍, 梁洪燦, 陳如山. 半空間均勻手征旋轉(zhuǎn)對稱體的電磁散射分析[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2012, 32(12): 2547-2551.

ZHU Jian, LIANG Hongcan, CHEN Rushan. Electro-magnetic scattering from homogeneous chiral body of revolution in the lossy half space[J]. Systems Engineering and Electronics, 2012, 32(12): 2547-2551. (in Chinese)

[6] MAUTZ J R, HARRINGTON R F. Electromagnetic coupling to a conducting body of revolution with a homogeneous material region[J]. Electromagnetics, 1982, 2: 257-308.

[7] HUDDLESTON P L, MEDGYESI-MITSCHANG L N, PUTNAM J M. Combined field integral equation formulation for scattering by dielectrically coated conducting bodies[J]. IEEE Trans on AP, 1986, 34: 510-520.

[8] YLA-OIJALA P. Application of a novel CFIE for electromagnetic scattering by dielectric objects [J]. Microwave and Optical Technology Letters, 2002, 35(10): 3-5.

[9] YLA-OIJALA P, TASKINEN M. Application of combined field integral equation for electromagnetic scattering by dielectric and composite objects [J]. IEEE Trans Antennas Propagat, 2003, 53(3): 1168-1173.

[10]胡云琴, 安寧, 丁大志, 等. 基于新型混合場積分方程的半空間三維均勻介質(zhì)目標(biāo)電磁散射分析[J]. 計算物理, 2010, 27(1): 89-94.

HU Yunqin, AN Ning, DING Dazhi, et al. A combined field integral equation for electromagnetic scattering of homogeneous dielectric objects above half-space[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2010, 27(1): 89-94. (in Chinese)

[11]闕肖峰, 聶在平, 胡俊. 導(dǎo)體介質(zhì)組合體電磁分析的建模與計算[J]. 電波科學(xué)學(xué)報. 2008. 23(3): 396-401.

QUE Xiaofeng, NIE Zaiping, HU Jun. Electromagnetic modeling and calculation for composite conducting and dielectric objects [J]. Chinese Journal of Radio Science, 2008, 23(3): 396-401. (in Chinese)

[12]聶在平, 胡俊, 闕肖峰, 等. 面向工程應(yīng)用能力提升的電磁散射高效數(shù)值分析:進展與挑戰(zhàn)[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2014,29(1): 1-11.

NIE Zaipin, HU Jun, QUE Xiaofeng, et al. Application capability promotion oriented efficient numerical analysis of EM scattering: progress and challenges[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2014， 29(1): 1-11. (in Chinese)

[13]SHORE R A, YAGHJIAN A D. A low-order-singularity electric-field integral equation solvable with pulse basis functions and point matching[J]. Progress in Electromagnetics Research, 2005, 52: 129-151.

[14]王海龍, 吳群, 吳健, 等. 一種高效的計算Mie級數(shù)的新方法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2006, 21(6): 811-815.

WANG Hailong, WU Qun, WU Jian, et al. A new and highly effective approach for calculating the Mie series [J]. Chinese Journal of Radio Science, 2006, 21(6): 811-815. (in Chinese)

[15]SAAD Y, SCHULTZ M H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems [J]. SIAM J Sci Stat Comput, 1986, 7: 856-869.

樊振宏(1978-),男,江蘇人,南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院副教授， 博士生導(dǎo)師，主要研究方向為計算電磁學(xué)、天線分析與設(shè)計.

譚延君(1990-),男,江蘇人,南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院碩士研究生,研究方向為計算電磁學(xué)、電磁散射與目標(biāo)特性等.

陳如山(1965-),男,江蘇人,南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究領(lǐng)域包括微波毫米波集成電路與系統(tǒng)、電磁脈沖與瞬態(tài)電磁場、雷達與電磁兼容技術(shù)、計算電磁學(xué).

杜利平,何琴,李飛,等. 基于隨機集的多主用戶多維信息感知算法研究[J]. 電波科學(xué)學(xué)報,2015,30(6):1123-1130+1136. doi:, 10.13443/j.cjors.2015011201

DU Liping, HE Qin, LI Fei, et al. Random sets theory based multi-dimensional spectrum sensing with multiple primary users [J]. Chinese Journal of Radio Science,2015,30(6):1123-1130+1136. (in Chinese). doi: 10.13443/j.cjors.2015011201

Efficient approach for electromagnetic scattering by coated

conducting bodies of revolution

FAN ZhenhongTAN YanjunCHEN Rushan

(DepartmentofCommunicationEngineering,NanjingUniversityofScienceand

Technology,Nanjing210094,China)

AbstractAn efficient method is proposed to analyze the electromagnetic scattering from the coated conducting bodies of revolution (BOR). In terms of the final matrix equation to be solved by method of moments, the size of BOR matrix is much smaller than that of general structure since one need just discretize the BOR structure along a longitudinal by taking advantage of the rotational property of the object. However, the matrix will be still huge when the object is electrically large and the iterative solver is indispensable. The convergence speed of iterative solver depends on the condition number of the coefficient matrix. To improve the solving efficiency, we establishes a well-conditioned equation called the electric and magnetic current combined field integral equation (JMCFIE) over the medium surface instead of the conventional PMCHW equation scheme, whereas employs the combined field integral equation (CFIE) over the conductor surface which is same as the conventional scheme. A numerical comparison of the iterative convergence speed is made between JMCFIE-CFIE and PMCHW-CFIE, which demonstrates the improvement of JMCFIE-CFIE against PMCHW-CFIE.

Key wordselectromagnetic scattering; body of revolution (BOR); coated conducting objects; electric and magnetic current combined field integral equation (JMCFIE)

作者簡介

收稿日期：2014-12-17

中圖分類號O441

文獻標(biāo)志碼A

文章編號1005-0388(2015)06-1116-07