劉恒　劉波　謝廣錢　趙宏偉

(中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院,西安 710100)

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迭代傅里葉算法用于六邊形稀疏陣列天線

劉恒劉波謝廣錢趙宏偉

(中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院,西安 710100)

摘要針對(duì)迭代傅里葉技術(shù)在優(yōu)化稀疏陣列天線時(shí)對(duì)陣元激勵(lì)大規(guī)模截?cái)鄮?lái)的不利影響,提出了一種逐步截?cái)嗟牡道锶~算法．該算法從滿陣依次減少數(shù)個(gè)陣元,從而避免陣列大規(guī)模截?cái)嘞萑刖植孔顑?yōu)解．將其應(yīng)用到六邊形平面天線陣列的稀疏布陣優(yōu)化中,以改善最大副瓣電平為目的．為了計(jì)算六邊形天線陣的方向圖,通過(guò)在口徑中添加虛擬陣元轉(zhuǎn)化為可以實(shí)現(xiàn)二維傅里葉變換的矩形陣列．仿真結(jié)果表明,改進(jìn)的迭代傅里葉算法對(duì)稀疏天線陣最大旁瓣電平的優(yōu)化比采用遺傳算法的結(jié)果更理想,且具有計(jì)算量小和速度快等優(yōu)點(diǎn)．

關(guān)鍵詞陣列天線;稀疏陣列;迭代傅里葉算法;副瓣電平

資助項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金(61201089)； 國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(9140C530101130C53013)

聯(lián)系人： 劉恒 E-mail：liuheng@mail.nankai.edu.cn

引言

稀疏陣列天線是指從一個(gè)陣元周期分布的陣列中去除掉一些天線陣元,或者把這些陣元連接到匹配負(fù)載上．既可以減少陣列天線成本和重量,還可以獲得與滿陣排布相當(dāng)?shù)恼ㄊ?當(dāng)陣元等幅激勵(lì)時(shí),稀疏陣列天線可以獲得比滿陣布置更低的副瓣電平．20世紀(jì)80年代,稀疏陣列天線已經(jīng)在ESAR、HAPDAR、SBX等雷達(dá)系統(tǒng)中成功應(yīng)用;目前,在衛(wèi)星抗干擾的接收天線,高頻地面雷達(dá)天線和射電天文學(xué)中的干涉陣列等領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用．

隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展,高效率的陣列天線稀疏優(yōu)化技術(shù)已成為研究熱點(diǎn),有遺傳算法[1-2]、粒子群算法[3-4]、進(jìn)化差分算法[5-6]等各種智能進(jìn)化算法,這些隨機(jī)搜索的進(jìn)化算法往往需要長(zhǎng)時(shí)間的進(jìn)化運(yùn)算才能達(dá)到工程滿意解．陣列天線稀疏優(yōu)化是一個(gè)多極值問(wèn)題,對(duì)于大型陣列天線,其搜索空間極大,由于計(jì)算機(jī)資源的限制和智能算法的隨機(jī)搜索本質(zhì),所得到的可能是工程不滿意解．2007年,荷蘭物理學(xué)家Keizer提出了迭代傅里葉技術(shù)(Iterative Fourier Technique, IFT),并把它應(yīng)用于均勻激勵(lì)的直線[7]和平面[8-9]稀疏陣列方向圖綜合,取得了比傳統(tǒng)智能優(yōu)化算法更低的最大副瓣電平(Maximum SideLobe Level, MSLL),且IFT還具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、收斂速度極快的優(yōu)點(diǎn)．由于在同等間距同等陣列口徑面積下,三角柵格陣列可以比矩形柵格陣列排布更多的陣元,近似圓形的六邊形平面陣列在均勻激勵(lì)時(shí)能夠獲得相對(duì)低的副瓣電平,在掃描時(shí)出現(xiàn)柵瓣的掃描角度更大,因此六邊形天線陣被廣泛應(yīng)用在通信和雷達(dá)中[9]．目前國(guó)內(nèi)外公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn),應(yīng)用IFT算法都是在對(duì)直線陣和矩形平面陣[10-11]進(jìn)行稀疏布陣優(yōu)化,未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道使用IFT算法對(duì)六邊形平面陣列天線進(jìn)行稀疏布陣優(yōu)化方面的工作．

在標(biāo)準(zhǔn)IFT的迭代過(guò)程中,通過(guò)調(diào)整遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖和口徑陣元的激勵(lì),分別對(duì)它們做正向快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)和逆向快速傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)來(lái)優(yōu)化陣列的輻射特性．在陣列方向圖施加IFFT獲得陣元激勵(lì)后,將其中具有較小激勵(lì)值的陣元一次性設(shè)為“關(guān)”狀態(tài),容易使所得的解陷入局部最優(yōu)解．本文提出一種改進(jìn)IFT算法,從滿陣開(kāi)始迭代,每次對(duì)陣因子作IFFT獲得陣元激勵(lì)后,依次增加數(shù)個(gè)處于“關(guān)”狀態(tài)的陣元,從而避免了對(duì)陣元激勵(lì)大規(guī)模一次性截?cái)鄮?lái)局部收斂的不足．為了對(duì)六邊形平面陣列的輻射問(wèn)題進(jìn)行了理論分析,通過(guò)添加虛擬陣元把六邊形陣列轉(zhuǎn)化為矩形陣列,把六邊形陣的陣元激勵(lì)與陣因子通過(guò)二維FFT聯(lián)系起來(lái)．然后將改進(jìn)的IFT算法應(yīng)用于1 027個(gè)陣元的六邊形平面陣列,進(jìn)行稀疏優(yōu)化以降低陣列天線的最大副瓣電平,并得到了滿意的結(jié)果,說(shuō)明了此方法在工程應(yīng)用中的有效性和可行性．

圖1　六邊形平面陣列天線結(jié)構(gòu)圖

1六邊形陣列天線方向圖

六邊形天線陣列的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示,它由按等邊三角形排列的天線單元組成．可以看出六邊形平面天線陣是由若干行橫向等間距的直線陣在縱向交替緊密排布組成,其每行的單元數(shù)量隨著遠(yuǎn)離中心行依次遞減．對(duì)于一個(gè)由L個(gè)同心六邊形環(huán)陣組成的六邊形平面天線,其第一行的陣元數(shù)為L(zhǎng)+1個(gè);隨著行數(shù)的增加,每行的陣元數(shù)依次增一個(gè),到L+1行的陣元數(shù)增加到最多的2L+1個(gè);再隨著行數(shù)繼續(xù)增加,每行的陣元數(shù)則依次減少一個(gè),到2L+1行的陣元數(shù)減少到L+1個(gè)．下面將利用六邊形平面天線陣的這一結(jié)構(gòu)特性推導(dǎo)它的輻射方向圖的解析表達(dá)式．

由于六邊形平面陣列的每行在y方向是交替排布的,如果通過(guò)在每行的陣元中間添加一個(gè)虛擬的“陣元”,這樣就把六邊形平面陣列變換為矩形柵格的平面陣列．每行沿x軸方向間距dx=0.5d,每列沿y軸方向間距dy=0.5d·tan60°,d為正三角形排列的陣元間距．根據(jù)六邊形平面陣列的結(jié)構(gòu)和添加的虛擬陣元的位置可知,對(duì)于一個(gè)由L個(gè)同心六邊形環(huán)陣通過(guò)在每一行單元中間添加虛擬陣元變化為一個(gè)2L+1行4L+1列的矩形柵格平面陣．由陣列天線理論可知,在不考慮互耦的情況下,輻射陣元為理想點(diǎn)源,六邊形陣列方向圖滿足乘積定理可以表示為

(n-1)dysinθsinφ].

(1)

式中: L為同心六邊形環(huán)陣的數(shù)量; k為波數(shù); θ,φ分別為球坐標(biāo)系的下俯仰角和方位角; Amn是第(m,n)個(gè)陣元激勵(lì)幅度．為了方便,把由M×N個(gè)陣元激勵(lì)組成的矩陣記著A,對(duì)于矩陣A與六邊形平面陣列不匹配的點(diǎn),如添加的虛擬陣元和位于六邊形陣列孔徑外的點(diǎn),其激勵(lì)幅度Amn=0．對(duì)于與陣列匹配的點(diǎn),在稀疏優(yōu)化過(guò)程中,當(dāng)Amn=1,表示單元在工作;當(dāng)Amn=0,表示單元被剔除．六邊形天線陣列(含有L個(gè)同心六邊形環(huán)陣)的滿陣單元數(shù)可由下式得到:

(2)

2IFT算法描述

2.1　陣列方向圖與FFT的關(guān)系

一個(gè)輻射陣元為理想點(diǎn)源,沿x軸方向的陣元間距為dx,y軸方向的陣元間距為dy的M×N元平面陣,在不考慮互耦的情況下,陣列方向圖滿足乘積定理,可以表示為

(3)

式中:Amn是第(m,n)個(gè)陣元激勵(lì)幅度,對(duì)于稀疏陣列,當(dāng)Amn的取值為1,表示陣元處于“開(kāi)”狀態(tài)時(shí),此時(shí)該位置的陣元連接到饋電網(wǎng)絡(luò);而當(dāng)Amn的取值為0,表示陣元處于“關(guān)”狀態(tài)時(shí),此時(shí)陣元連接到匹配負(fù)載．k=2π/λ,λ為自由空間波長(zhǎng).u=sinθ

cosφ,v=sinθsinφ是方向余弦,θ,φ分別為球坐標(biāo)系的下俯仰角和方位角．令p=Mkdxu/2π+1,q=Nkdyv/2π+1,則式(3)變換為

(4)

由式(4)可以看出陣因子F與陣元激勵(lì)A(yù)之間存在IFFT關(guān)系F=MN×IFFT(A),這樣根據(jù)具體的問(wèn)題,將(θ,φ)域的方向圖特性映射到(p,q)域中,就可以在(p,q)進(jìn)行優(yōu)化．

由u=sinθcosφ,v=sinθsinφ可得u2+v2=sin2θ≤1,在u,v坐標(biāo)系下,可見(jiàn)區(qū)域與一圓區(qū)域相對(duì)應(yīng)．對(duì)于不同間距的平面陣列,利用二維FFT計(jì)算出方向圖的可見(jiàn)區(qū)域，如圖2所示．當(dāng)dx≤λ/2,dy≤λ/2時(shí),可見(jiàn)區(qū)域?yàn)榘霃綖?的圓A;當(dāng)dx>λ/2,dy<λ/2時(shí),可見(jiàn)區(qū)域?yàn)榘霃綖?的圓與矩形D的交集;當(dāng)dx<λ/2,dy>λ/2時(shí),可見(jiàn)區(qū)域?yàn)榘霃綖?的圓與矩形C的交集;當(dāng)dx>λ/2,dy>λ/2時(shí),可見(jiàn)區(qū)域?yàn)榫匦蜟與矩形D的交集．

圖2　可見(jiàn)空間區(qū)域示意圖

2.2　逐步截?cái)郔FT算法

對(duì)于一個(gè)給定的稀疏陣,設(shè)Mtot表示陣列孔徑范圍內(nèi)的陣元總數(shù)．T為IFT算法每一次迭代中,處于“開(kāi)”狀態(tài)的陣元數(shù)目．本文提出的改進(jìn)IFT算法不依賴于陣列激勵(lì)陣元的分布,設(shè)T=Mtot-i(i=0,1,…,N0),其中,i為迭代次數(shù).N0為最大迭代次數(shù).當(dāng)i=N0時(shí),T=Tmin,Tmin為處于“開(kāi)”狀態(tài)的最少陣元數(shù)．隨著算法迭代次數(shù)的增加,T從Mtot依次減少到Tmin,每迭代一次,處于“開(kāi)”狀態(tài)的陣元減少指定的個(gè)數(shù),利用IFT算法綜合稀疏平面陣的詳細(xì)步驟如下：

1) 初始化陣元激勵(lì)A(yù),使陣元激勵(lì)都取1,虛擬陣元與六邊形天線陣列口徑外的點(diǎn)Amn取0．

2) 對(duì)A施加K×K點(diǎn)二維IFFT得到陣列方向圖F,其中K>2*max(M,N)．

3) 在F的副瓣區(qū)域中,對(duì)于副瓣電平高于副瓣電平閾值(Sidelobe Level Threshold, SLLT)的采樣點(diǎn),用SLLT的值替代．

4) 對(duì)更新后的F施加K×K點(diǎn)二維FFT,求出新的陣元激勵(lì)A(yù)．

5) 在A的K×K個(gè)采樣點(diǎn)中,保留和陣列結(jié)構(gòu)匹配的M×N個(gè)采樣點(diǎn)的值,其余采樣點(diǎn)的值被置為0．

6) 根據(jù)當(dāng)前陣列處于“開(kāi)”狀態(tài)陣元數(shù)量的多少,把具有較大幅度值的T個(gè)陣元的激勵(lì)幅度值設(shè)置為1,其余的設(shè)置為0．

7) 判斷T是否滿足條件不大于Tmin,若不滿足,T=T-1,重復(fù)2)到6)的步驟;若滿足,記錄迭代過(guò)程中最小MSLL值和對(duì)應(yīng)的稀疏陣列結(jié)構(gòu),試驗(yàn)結(jié)束．為了使算法更快的收斂,如果第i次迭代的MSLL比i-1的高3 dB,試驗(yàn)也結(jié)束．

3仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了說(shuō)明本文所改進(jìn)的IFT算法的有效性,對(duì)一個(gè)有1 027個(gè)單元(L=18)的六邊形平面天線陣進(jìn)行對(duì)稱與非對(duì)稱稀疏優(yōu)化處理,以改善其最大副瓣電平．在仿真例子中,取d=λ/2,二維IFFT和FFT運(yùn)算采樣點(diǎn)數(shù)K×K=512×512,最少激勵(lì)陣元數(shù)Tmin=0.4Mtot．由于SLLT的大小直接決定了優(yōu)化解的優(yōu)劣,因此需要選擇合適的值進(jìn)行優(yōu)化,在本文中,經(jīng)過(guò)反復(fù)計(jì)算和分析,取SLLT為-31dB．

3.1　六邊形天線陣列對(duì)稱優(yōu)化處理

由于正六邊形有六個(gè)對(duì)稱軸,位于對(duì)稱軸上的陣元具有6個(gè)對(duì)稱陣元,而位于非對(duì)稱軸上的陣元?jiǎng)t有12個(gè)對(duì)稱陣元．如果在優(yōu)化過(guò)程中,對(duì)6個(gè)或12個(gè)對(duì)稱陣元進(jìn)行一次性截?cái)?所得的解很容易陷入局部最優(yōu)解,且算法會(huì)很快滿足迭代終止條件而終止．因此只取圖1中關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的陣元進(jìn)行一次性截?cái)啵拘」?jié)給出了應(yīng)用改進(jìn)的IFT算法對(duì)六邊形陣列對(duì)稱稀疏優(yōu)化后的陣元分布圖，如圖3所示．可以看出,優(yōu)化得到的六邊形稀疏陣列符合陣列優(yōu)化規(guī)律,即在優(yōu)化陣列中,陣元的稀疏總是發(fā)生在陣列邊緣,而陣列中心的陣元一般不會(huì)被稀疏掉．優(yōu)化后的陣元數(shù)T=487,在所有副瓣區(qū)域的MSLL為-27.03dB．與文獻(xiàn)[1]中對(duì)相同的六邊形稀疏平面陣列運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化得到的兩個(gè)主面的MSLL為-26.4dB、陣元數(shù)T=517、填充因子f=50.34%,相比MSLL改善了0.6dB、陣元數(shù)減少了30個(gè),其陣列成本和MSLL都得到了改善．圖4(a)為歸一化遠(yuǎn)場(chǎng)方向三維方向圖,可視空間為u2+v2≤1．圖4(b)為u=0和v=0截平面的方向圖．

圖3　六邊形稀疏對(duì)稱陣列陣元分布圖

3.2　六邊形天線陣列非對(duì)稱優(yōu)化處理

根據(jù)陣列的對(duì)稱特點(diǎn)采用對(duì)稱優(yōu)化的處理方式,這樣降低了計(jì)算量,但同時(shí)限制了自由度．本小節(jié)應(yīng)用改進(jìn)的IFT算法對(duì)六邊形陣列稀疏非對(duì)稱優(yōu)化,優(yōu)化后陣元分布如圖5所示,陣元數(shù)T=537,對(duì)應(yīng)的填充因子f=52.29%,在所有副瓣區(qū)域的MSLL降低為-28.46dB．同樣與文獻(xiàn)[1]相比,MSLL進(jìn)一步改善了2dB,在與對(duì)稱稀疏優(yōu)化的相比,副瓣得到了明顯的改善．這是由于陣元關(guān)于陣列中心非對(duì)稱分布,增加了可利用的優(yōu)化自由度,更有利于提高六邊形稀疏天線陣列的副瓣性能．圖6(a)為歸一化遠(yuǎn)場(chǎng)三維方向圖,其可視空間為u2+v2≤1．圖6(b)為u=0和v=0截平面的方向圖．

(a) 三維方向圖

(b) u和v截面方向圖圖4　對(duì)稱優(yōu)化歸一化遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖

圖5　六邊形稀疏陣列非對(duì)稱優(yōu)化陣元分布圖

3.3　算法收斂與速度分析

圖7給出了3.2節(jié)中運(yùn)用改進(jìn)的IFT算法對(duì)六邊形稀疏陣列非對(duì)稱優(yōu)化的MSLL隨陣元數(shù)減少的變化情況．由圖可以看出,在T0=Mtot,即滿陣均勻激勵(lì)的情況下,最大副瓣電平為-16.64dB．隨著陣元數(shù)的減少,稀疏六邊形天線陣列的MSLL也逐步地下降.當(dāng)T1=537時(shí),陣列的MSLL為-28.46dB達(dá)到最小值,較六邊形平面滿陣天線的MSLL降低了11.8dB．當(dāng)T=515時(shí),MSLL有另外一個(gè)極值-27.53dB．隨著陣元數(shù)的進(jìn)一步減少,MSLL不再降低,而在一定范圍內(nèi)波動(dòng);當(dāng)?shù)竭_(dá)T2=430,MSLL迅速升高,優(yōu)化結(jié)果急劇惡化,試驗(yàn)結(jié)束．

(a) 三維方向圖

(b) u和v截面的方向圖圖6　非對(duì)稱優(yōu)化遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖

圖7　MSLL的收斂情況

對(duì)于大型的平面陣列,在采樣點(diǎn)很多的情況下,采用陣列疊加原理計(jì)算陣因子的傳統(tǒng)的智能進(jìn)化方法需要耗費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間,其次還需要產(chǎn)生等于自由度數(shù)量數(shù)倍的種群數(shù),在自由度很大的陣列中依次計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度需要耗費(fèi)大量的時(shí)間,甚至導(dǎo)致計(jì)算無(wú)法完成．IFT算法通過(guò)對(duì)陣元激勵(lì)做IFFT計(jì)算陣因子,再通過(guò)對(duì)調(diào)整后的陣因子做FFT來(lái)反算陣元激勵(lì),因此具有計(jì)算速度極快的優(yōu)點(diǎn)．IFT算法在優(yōu)化陣列方向圖時(shí),表1列出了FFT在計(jì)算本文所優(yōu)化的1 027個(gè)陣元組成的六邊形陣列方向圖所需要的時(shí)間:在CPU為Q8300,內(nèi)存為2G的電腦上．可以看出與陣列疊加原理比較,FFT計(jì)算二維方向圖綜合,具有優(yōu)化時(shí)間短,操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)．

表1　計(jì)算陣列方向圖的平均時(shí)間　　　s

4結(jié)論

本文提出了一種用于稀疏陣列天線綜合的逐步截?cái)郔FT算法，該算法不依賴于初始陣元的分布,從滿陣迭代逐步剔除數(shù)個(gè)激勵(lì)幅度最小的陣元,從而更容易收斂至全局最優(yōu)解．為了計(jì)算六邊形天線陣的方向圖,通過(guò)在口徑中添加虛擬陣元的方法,把六邊形陣列轉(zhuǎn)化為可以實(shí)現(xiàn)二維傅里葉變換的矩形陣列模型．然后利用改進(jìn)后的IFT算法對(duì)六邊形陣列天線進(jìn)行稀疏布陣優(yōu)化,以改善陣列的最大副瓣電平性能為目的．優(yōu)化所得到的六邊形平面稀疏陣列天線的輻射特性獲得了改善,為大型陣列天線的稀疏優(yōu)化提供了有效途徑．該方法使計(jì)算量成倍減少,也可用于解決其他種類的矩形陣和三角陣平面陣列天線的稀疏布陣優(yōu)化,具有很好的工程實(shí)用價(jià)值．

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劉恒 (1986-),男,湖南人,中國(guó)空間技術(shù)研究院博士研究生,研究方向:陣列天線設(shè)計(jì)與優(yōu)化的研究．

劉波(1963-),男,湖南人,中國(guó)空間技術(shù)研究院研究員,博士生導(dǎo)師,研究方向:衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)方面的研究．

謝廣錢(1983-),男,江蘇人,中國(guó)空間技術(shù)研究院工程師,博士研究生,研究方向:導(dǎo)航衛(wèi)星信號(hào)多徑影響及定量研究．

趙宏偉(1982-),男,山東人,中國(guó)空間技術(shù)研究院博士研究生,研究方向:空間譜估計(jì)、智能優(yōu)化算法．

Iterative Fourier technique applied for Hexagon thinned array antenna

LIU HengLIU BoXIE GuangqianZHAO Hongwei

(ChinaAcademyofSpaceTechnology,Xi’an710100,China)

AbstractA modified iterative Fourier technique (IFT) is proposed for disadvantage of numerous elements truncated in the thinned planar arrays synthesis of standard IFT. The method initialized form filled arrays and decreased several elements step by step to avoid running into local optimization. Then the modified IFT is applied to design a low side lobe hexagonal planar array by thinning process. Virtual elements are added in the array for translating the array to rectangle for calculating the array factor of hexagon conveniently. The simulated results show that the performance of the hexagonal planar array is better comparing with using genetic algorithm, and also has the advantage of less computation and high speed.

Key wordsarray antenna; thinned array; iterative Fourier technique; sidelobe level

作者簡(jiǎn)介

收稿日期：2015-01-21

中圖分類號(hào)TN958.93

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2015)06-1235-06