陳光才

(江蘇省南京市第二十九中學(xué)，江蘇　南京　210036)

高考中圓錐擺運動的周期問題探析

陳光才

(江蘇省南京市第二十九中學(xué)，江蘇南京210036)

摘要：由2013年江蘇高考物理第2題引發(fā)思考：掛在外面的座椅做圓周運動的半徑是否一定大于內(nèi)側(cè)的？本文從數(shù)學(xué)和物理兩方面加以分析，得出懸繩偏轉(zhuǎn)的角度θ與繩長L和懸掛點到轉(zhuǎn)軸距離d的關(guān)系，并由此結(jié)合生活中和高考題中的一些實例展開論述.

關(guān)鍵詞：高考物理；圓錐擺；周期；飛椅

1問題的提出

例1(2013年江蘇)如圖4所示，旋轉(zhuǎn)秋千中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上.不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，下列說法正確的是().

圖4

A.A的速度比B的大

B.A與B的向心加速度大小相等

C. 懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等

D. 懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小

然而，對于解析中A的半徑比B的小的結(jié)論，估計大部分同學(xué)是憑感覺得到的，并沒有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，尤其是在高考考場中.那么，究竟這個結(jié)論對不對呢？下面做簡要的論述.

2問題的研究

2.1　數(shù)學(xué)分析

由上述表達式可知：在T和d都相同時，L越大，θ越大.在T和L都相同時，d越大，θ越大.那么，對于這道高考題就可以得出：RA

2.2　物理分析

圖7

當(dāng)然，大家從筆者所畫的圖中似乎已經(jīng)得到了更加直觀的方法.利用圓錐擺的結(jié)論，圓錐擺小球做圓周運動的周期取決于懸掛點到圓周軌道所在水平面的高度H，既然A和B有相同的周期，那么它們的H必然應(yīng)該相同.只不過，這里需要將懸線延長，找到延長線和豎直軸的交點，此交點即為等效懸掛點.如果告訴A、B的等效懸掛點分別為O′和O″，那么O′O″的高度差h′必然和兩球的高度差h相等.那么可以得出同樣的結(jié)論：在T和d都相同時，為了保證h和h′相等，那么L越大，θ必越大(如圖7).同理，在T和L都相同時，d越大，θ越大(如圖5、圖6).關(guān)鍵是要能夠抓住周期相同則高度相同的結(jié)論.

3問題的延伸

圖8

例2(2008年廣東)有一種叫“飛椅”的游樂項目,示意圖如圖8所示,長為L的鋼繩一端系著座椅,另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣.轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時,鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi),與豎直方向的夾角為θ.不計鋼繩的重力,求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω與夾角θ的關(guān)系.

這讓筆者想到生活中的“飛椅”，會在大圓盤下面掛很多椅子，有的靠近轉(zhuǎn)軸，有的遠離轉(zhuǎn)軸，那么這些椅子在轉(zhuǎn)動的過程中，有沒有撞在一起的危險呢？我們假設(shè)他們撞在一起了，如圖9所示，會發(fā)現(xiàn)：它們的H不相等.而它們繞著同一個轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動，所以周期相同，通過前面的結(jié)論可知，它們的H必須相等，從而得出相互矛盾的結(jié)果，所以它們不可能撞在一起.那么是不是懸掛位置和懸繩長度都可以隨意取呢？由圖10可以看到，如果靠近轉(zhuǎn)軸的懸繩太長就有可能和外側(cè)的懸繩纏繞在一起，這樣就會帶來危險，所以，在安裝懸繩的時候應(yīng)該把長的放在外面，短的放在內(nèi)側(cè)，這樣可以避免纏繞的危險.

圖11

例3(2013年重慶)如圖11所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°.若ω=ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0.

圖12

例4在一個內(nèi)壁光滑的圓錐桶內(nèi)，兩個質(zhì)量相等的小球A、B緊貼著桶的內(nèi)壁分別在不同高度的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，如圖13所示，則().

① 兩球?qū)ν氨诘膲毫ο嗟?/p>

②A球的線速度一定大于B球的線速度

③A球的角速度一定大于B球的角速度

④ 兩球的周期相等

A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④