沈劍

【摘要】學校體能測試包括5個項目，每一個同學都要把這5項進行完不能夠缺少項目，各個儀器測試規(guī)則和測試時間不同，在這個條件下的模型可以對更多的班級求解，班級的數(shù)量可以擴展得更多。此類模型可以推廣到新生報名交費，由于它程序較多，人也多，這就要求對整過報名環(huán)節(jié)要有個大體的安排，以便縮短報名的時間。醫(yī)院體檢有關(guān)問題和在銀行辦理有關(guān)業(yè)務(wù)問題也可適用。

【關(guān)鍵詞】體能測試；組合方式；0-1規(guī)劃

某中學按計劃安排每一個班級每一位學生進行體能測試，測試項目包括身高和體重、立定跳遠、肺活量、握力和臺階實驗等5個項目。為此學校引進了身高與體重測量儀2臺，立定跳遠儀1臺、肺活量儀1臺、握力測量儀2臺和臺階實驗測量儀2臺。立定跳遠肺活量、握力、身高和體重5個項目4種儀器，每臺儀器每位學生平均測試的時間長度分別是20秒、20秒、15秒、10秒，其中臺階實驗每臺儀器一次測五名學生，用時三分三十秒。校方安排的測試時間為上午八點到十二點十分與下午一點到四點四十五這兩個時間區(qū)間里。這五項測試地點都是在最高可以容納一百五十名學生的小型場所進行的。校方要求同一班級的每一位學生在同一時間段內(nèi)完成所有測試，盡量節(jié)省每一位學生的等待時間。安排一個一個班級進行測試，把班級分組，測完的同學就可以回到教室，這樣即減少測試場所的等待人員，不會超過場所最多容納150人的限制又節(jié)省同學整體的等待時間。從整體計算單位人完成每項的時間中第5項花費時間最多，所以第5項決定了完成測試的時間，每個時間段測試的人越多就可減少測試時間段。根據(jù)上述條件，以每個時間段測試的人最多為目標，用時間的限制為約束，建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，在lingo中求解得到各個時間段測試的班級，計算各個班級測試時間?？傮w上講臺階實驗、立定跳遠和肺活量時間較長，學校可以考慮引進這幾臺儀器，測完的學生就離開測試場所的容量不用擴大，把節(jié)省時間把班級進行分組。

一、引入問題

為了全面實施素質(zhì)教育，進一步加強和改進學校體育工作，促進學生持續(xù)、積極、主動地參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，提高體質(zhì)健康水平。各個學校都會對學校新生進行體能測試。通過體能測試，既為學校全面地掌握學生的體質(zhì)狀況奠定了基礎(chǔ)，也為學校制定體育教學工作提供了較為全面的數(shù)據(jù)。學校將進一步加強體育鍛煉，積極引導學生參加健康的體育運動，使學生能夠健康、快樂地成長。

某中學按計劃安排每一個班級的每一位學生進行體能測試，其目的是為了了解學校里每一位學生的身體狀況。測試項目包括身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力和臺階試驗5個測試的項目，均由儀器完成，其中包括測量、記錄、保存信息等。為此學校引進了身高與體重測量儀2臺，立定跳遠儀1臺、肺活量儀1臺、握力測量儀2臺和臺階實驗測量儀2臺。這幾臺儀器當中立定跳遠、肺活量、握力、身高與體重5個測試的項目里每一臺儀器每一名學生的平均測試（含學生之間的轉(zhuǎn)換時間）的時間分別為20秒、20秒、15秒、10秒，臺階試驗每一臺儀器一次只能測試五名學生，用時達三分三十秒。

每一名學生測試的每一個項目前是要錄入個人信息的，平均用時5秒。儀器在每一名學生測試完后學號將自動向后移動一位，所以如果前后測試的學生學號相連，可以省去記錄時間，當然同班的學生學號是相連的。校方安排的體能測試時間是上午八點到十二點十分與下午一點到四點四十五這兩個時間段。五個項目的測試都是在最高可以容納一百五十名學生的小型場所中進行的，測試項目并沒固定其順序。但是校方要求同一個班級的每一位學生必須在同一時間段內(nèi)完成所有的測試項目，并且在整個測試中所需時間區(qū)間的段數(shù)最少的條件下，節(jié)省學校學生等待時間。

請找到各班級測試安排，并對學校在今后的體能測試中就以下情況提出自己的建議，說明其理由。

二、問題的分析

經(jīng)過初步分析，認為在一個有限的空間內(nèi)要完成一項測試任務(wù)，并且要求時間最短這類模型關(guān)鍵在于：

a.要抓住影響時間的主要因素，在這個實際問題中，消耗時間的關(guān)鍵因素就是臺階測試這個項，因此要從這個入手；

b.特別注意測試的流程圖，這直接關(guān)系到測驗的時間，因為該模型中的流行圖，直接的決定了問題的求解；

分析結(jié)果：此問題屬于0-1整數(shù)規(guī)劃的問題。

題中需要的要求：同班的每一位學生在相同時間內(nèi)完成所有項目，所需時間區(qū)間的段數(shù)最少的條件下，節(jié)省學校學生等待時間。

三、模型的假設(shè)

（l）測試過程，每一名學生均不會出現(xiàn)意外，延長測試時間；（2）在測試期間各班、各組之間的銜接不會有間隔；（3）在測試期間各測量儀器不會出現(xiàn)障礙；（4）每組的成員都是以學號先后順序排好，不會出現(xiàn)差錯；（5）在測試的時間之前班級的排序以及其他準備問題都已完成；（6）班級要求一起來；（7）為了結(jié)果更準確同一時刻一名學生只能進行一項測試。

四、符號說明

x_i：待測班級編號，j：已測班級數(shù)目，c_i：班級人數(shù)（i=l，2，…56），

y_i：各項目測試的儀器數(shù)（i=l，2，3，4，5），w：每個時間段測試的總?cè)藬?shù)，T_i：對應時間段的秒數(shù)，t_i：各個儀器測試時間，p：錄入學號的時間（5秒）；

五、模型的建立與求解

（一）模型的建立

總?cè)藬?shù)一定，要求所需時間段最少，那么每個時間段測試的人數(shù)就越多越好。要在滿足同一班級的所有同學在同一時間段內(nèi)測試完成所有項目的條件下，用0-1整數(shù)規(guī)劃模型，引入0-1變量：其中x i=0表示班號為i的班級沒有參加測試；x_i=1表示班號為i的班級參加了測試。則目標 函數(shù)：約束條件：

（二）模型的求解

其中t₅=215，因第5項花費的時間最多，兩組完成第5項的時間也可以完成前4項，把前4項流程：在測試之前，將學號相連的同一個班的十個同學分成兩組。并且將分好的兩組同時進行臺階測試，兩組在經(jīng)過臺階測試后，同時分別進入立定跳遠和肺活量兩個項目測試。其中每組在錄入個人信息后直接進入立定跳遠測試，緊接著依次進入握力，身高與體重的測試，考慮到各項的錄入時間和測試時間第一個人只要60秒就可以完成圖中左邊3項測試等待肺活量測試完另外一組。左右兩個測試流程圖是對稱的，當左邊的第一個人等待完右邊進行肺活量測試進行肺活量測試時同時右邊的第一個人進行立定跳遠測試，即在整個前4項測試中肺活量和立定跳遠儀器不會停止，簡便理解完成時間相當于進行肺活量或立定跳遠測試十個人的時間，再加上兩組的錄入信息，總共時間210秒。第5項每測試一組要215秒，這樣在下一組完成第5項出來時前一組的前4項測試已經(jīng)完成。所以整個測試時間主要考慮第5項完成的時間。把各變量對應值代入上面的模型，用lingo求解。

結(jié)果方案一與方案二對比

方案一：所需時間段為4，最后測試完的時刻14：19，有效時間占時間段的比25%：方案二：所需時間段為3，最后測試完的時刻11：54，有效時間占時間段的比93.8%。

方案一最后的時間段用的有效時間達25%，而方案二用的有效時間達93.8%，充分利用各個工作日，即減少了時間段數(shù)又提高了時間的利用率?？紤]到實際還使同學多了一下午穩(wěn)定上課的時間。所以選擇方案二，用三個上午的時間段來進行測試。為了測試的班級更好的銜接，各個班級之間要提早30秒去測試。

六、模型的評價和推廣

本模型對各個班級進行5人分組，而且要求學號相連，測試之前的準備工作稍有增加。同時可以減少學生的等待時間，對場地的人數(shù)也沒限制。

學校體能測試包括5個項目，每一個同學都要把這5項進行完不能夠缺少項目，各個儀器測試規(guī)則和測試時間不同，在這個條件下的模型可以對更多的班級求解，班級的數(shù)量可以擴展得更多。此類模型可以推廣到新生報名交費，由于它程序較多，人也多，這就要求對整過報名環(huán)節(jié)要有個大體的安排，以便縮短報名的時間。醫(yī)院體檢有關(guān)問題和在銀行辦理有關(guān)業(yè)務(wù)問題也可適用。