李珍
摘 要:概念的教學(xué)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終,充分經(jīng)歷概念形成過程,突出概念本質(zhì),豐富概念外延是當(dāng)前新課程下概念教學(xué)的根本要求,這樣的概念教學(xué)才是扎實(shí)有效的。本文結(jié)合案例,反思當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀,結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),從“創(chuàng)設(shè)情境,感知概念”、“自主探索,生成概念”、“步步為營,理解概念”、“螺旋上升,內(nèi)化概念”、“返璞歸真,升華概念”五個(gè)方面具體闡述了一個(gè)普通教師在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何實(shí)施有效性的策略研究,并期以拋磚引玉,喚起更多的教師能聚焦概念教學(xué),探索概念教學(xué)的基本規(guī)律。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念;有效性;策略研究
一、問題的提出
1.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要地位
數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)量關(guān)系與空間形式本質(zhì)屬性的思維形式,是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞。各種數(shù)學(xué)方法,解決各種數(shù)學(xué)問題,都必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出:數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握,對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,幫助學(xué)生逐步加深理解??锢^昌認(rèn)為:“學(xué)生如果不能正確的理解數(shù)學(xué)中的各種概念,就不能掌握各種法則、定理、公式,從而也就不能正確地進(jìn)行計(jì)算和論證。”因此,數(shù)學(xué)的教學(xué)首先是概念的教學(xué)。在高中階段數(shù)學(xué)的概念可以簡單的分為兩類:一類是以前不曾接觸過的,完全陌生的概念,如:集合,數(shù)列,向量,導(dǎo)數(shù)的概念等等;另一類是已經(jīng)有所接觸或是似曾相識(shí),是由原有的概念發(fā)展而來的,如:數(shù)的概念,角的概念,函數(shù)的概念,指數(shù)的概念,曲線的切線概念等等。第二類情況我們稱之為概念的發(fā)展。在中學(xué)數(shù)學(xué)中,許多重要概念將逐步發(fā)展與深化。例如“函數(shù)”概念,初中學(xué)生只能作“在一個(gè)變化過程中,有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x每一個(gè)確定的值,在y中都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),則說y是x的函數(shù)”之類的直觀理解,而高中學(xué)生就可以用集合的語言,從映射的觀點(diǎn)出發(fā)來理解,大學(xué)生則可以用“關(guān)系語言”來理解它。所以在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要揭示概念的內(nèi)涵與外延,使學(xué)生深刻理解概念,牢固掌握概念,靈活運(yùn)用概念,即達(dá)到理解、鞏固、系統(tǒng)、會(huì)用的目的,因此,高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有十分重要的基礎(chǔ)性地位。
2.概念教學(xué)有效性研究的意義
數(shù)學(xué)概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心,是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。有些教師往往用例題教學(xué)替代概念的概括過程,認(rèn)為“應(yīng)用概念的過程就是理解概念的過程”。殊不知沒有概括過程必然導(dǎo)致概念理解的先天不足,沒有理解的應(yīng)用是盲目的應(yīng)用。數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異,因此抓好概念教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。那么在新課標(biāo)下如何幫助學(xué)生更有效地理解數(shù)學(xué)概念,如何才能靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題?我想關(guān)鍵的環(huán)節(jié)還是在于教師如何提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性,通過有效的概念教學(xué),使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念。教學(xué)時(shí)提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察,在觀察的基礎(chǔ)上通過教師的啟發(fā)引導(dǎo),對(duì)感性材料進(jìn)行比較、分析、綜合,最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性,通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運(yùn)用,從而使學(xué)生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。為此“高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的研究”具有現(xiàn)實(shí)意義。
二、概念教學(xué)現(xiàn)狀分析
當(dāng)前,不重視概念教學(xué)是一個(gè)比較普遍的現(xiàn)象,“一個(gè)定義,三個(gè)注意項(xiàng)”式的概念教學(xué)比比皆是,讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念枯燥乏味,影響了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。我們有必要靜下心來對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)概念教學(xué)作一番審視,先看我校高一備課組舉行的“同課異構(gòu)”教研活動(dòng)中2位教師執(zhí)教的關(guān)于“函數(shù)的奇偶性”一課的案例片斷。
【案例1】
師:前面我們研究了函數(shù)的單調(diào)性,同學(xué)們已經(jīng)知道函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),它在解決函數(shù)的問題中有著十分廣泛的應(yīng)用。今天這節(jié)課,我們要學(xué)習(xí)函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)——奇偶性。(板書課題:函數(shù)的奇偶性)
師:什么是函數(shù)的奇偶性呢?請(qǐng)大家打開課本第33和35頁,看教材中是怎么闡述的。(大約2分鐘后)
師:哪位同學(xué)說說看。
生1:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意的,都有,那么稱函數(shù)是偶函數(shù),如果對(duì)于任意的,都有,那么稱函數(shù)是奇函數(shù)。(學(xué)生口述,教師板書)
師:很好!如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),它的定義域A應(yīng)該具有怎樣的特點(diǎn)?
生2:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
師:說說你的理由。
生2:因?yàn)槿绻?,則只有,才能計(jì)算。
師:真不錯(cuò)!如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),它的圖象又具有怎樣的特點(diǎn)呢?
生3:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。
師:非常好!看來同學(xué)們已經(jīng)作了很好的預(yù)習(xí)。如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),我們就說函數(shù)具有奇偶性。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì),它在解決函數(shù)問題時(shí)有著十分廣泛的應(yīng)用。請(qǐng)大家看下面的問題。(投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4)
(師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程,深化對(duì)函數(shù)奇偶性的認(rèn)識(shí)和理解。)
【案例2】
師:請(qǐng)同學(xué)們回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性的定義、單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。
(學(xué)生回答略)
師:很好!下面我們研究函數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)——奇偶性。
師:請(qǐng)同學(xué)們先看一個(gè)我們熟悉的函數(shù),計(jì)算與,與,與,能得出怎樣的結(jié)論?
生:對(duì)于,當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí),y取同一值.記,有,,…,一般地,有。
師:非常好,下面請(qǐng)大家再來研究函數(shù),又有怎樣的結(jié)論呢?
生:當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí),y亦取相反數(shù).例如,,…,一般地,有。
由此啟發(fā)學(xué)生得出奇(偶)函數(shù)的定義.強(qiáng)調(diào):①定義本身蘊(yùn)含著函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間;②“定義域內(nèi)任一個(gè)”是指對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x; ③判斷函數(shù)奇偶性最基本的方法是先看定義域,再用定義檢查(或)。
(以下是例題鞏固、數(shù)學(xué)應(yīng)用的環(huán)節(jié))
從上面幾個(gè)案例不難看出當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀:
現(xiàn)狀一:一個(gè)定義三項(xiàng)注意
案例1中令人感到遺憾的是,這節(jié)課的教學(xué),從上課開始到給出定義,總共花了不到10分鐘的時(shí)間,接著進(jìn)行的就是運(yùn)用函數(shù)奇偶性的概念進(jìn)行解題的訓(xùn)練。對(duì)函數(shù)奇偶性這一概念建立的過程沒能很好地展開,為什么要研究函數(shù)的奇偶性?函數(shù)的奇偶性的定義為什么要這樣給出?…當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂中,教師不舍得在概念、定義的發(fā)生發(fā)展過程上花時(shí)間,認(rèn)為這樣“太虛”,不如讓學(xué)生多做幾個(gè)題目實(shí)在。因而概念教學(xué)常常用“一個(gè)定義三項(xiàng)注意”的方式,告訴學(xué)生定義的內(nèi)容,強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意事項(xiàng)(例如強(qiáng)調(diào)“要注意,必須是‘任意的”),然后就講例題、做練習(xí)。實(shí)踐表明,這樣的教學(xué)對(duì)學(xué)生把握和應(yīng)用概念都產(chǎn)生了不利影響,學(xué)生沒有基本把握概念內(nèi)涵的時(shí)候就要求學(xué)生用概念解決問題,結(jié)果只能是機(jī)械模仿,不可能有理想的解題質(zhì)量和效率。
現(xiàn)狀二:無視學(xué)生認(rèn)知需求
案例2中學(xué)生通過對(duì)兩個(gè)特殊函數(shù)的研究,抽象出函數(shù)奇偶性的概念,符合特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。但是,為什么要研究函數(shù)的奇偶性?為什么要計(jì)算,,…?為什么要用這樣的方式給出函數(shù)奇偶性的定義?顯然,教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施時(shí),只是站在教師教的角度,按照教師的主觀意志組織活動(dòng),將教師的意圖強(qiáng)加給學(xué)生,而無視學(xué)生的認(rèn)知需求,其結(jié)果是忽視了構(gòu)成概念的基礎(chǔ)條件,留給學(xué)生更多的只是些文字的公式,所傳授的概念距離學(xué)生的理解和經(jīng)驗(yàn)太遠(yuǎn),影響數(shù)學(xué)概念的掌握。
現(xiàn)狀三:重視內(nèi)涵忽視外延
概念只要將內(nèi)涵按一定規(guī)律擴(kuò)大或縮小便可形成一類概念,再根據(jù)這些概念的外延及相互關(guān)系,便可確定一個(gè)概念系統(tǒng)。但是概念教學(xué)中往往只重視概念的內(nèi)涵而忽視概念的外延,結(jié)果導(dǎo)致外延被擴(kuò)大或縮小。比如,學(xué)生把非本質(zhì)屬性包括到概念的內(nèi)涵中,如此就會(huì)不合理地縮小了概念,消除這種錯(cuò)誤的有效方法是多提供包括非本質(zhì)特征的變式。當(dāng)概念的內(nèi)涵中包含的不是事物的本質(zhì)而是其他特征時(shí),如此就有可能不合理地?cái)U(kuò)大概念,消除這種錯(cuò)誤的有效方法是提供具有本質(zhì)特征的變式。
對(duì)上述概念教學(xué)現(xiàn)狀的分析,事實(shí)上也是對(duì)現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的一種深刻反思,有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué),決不是以讓學(xué)生學(xué)會(huì)概念為終極目標(biāo),而是讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中生成和建構(gòu)數(shù)學(xué)概念,更要讓學(xué)生在知識(shí)和能力上獲得全面的發(fā)展,從而促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升。如何創(chuàng)造一種更加適合高中學(xué)生的概念教學(xué)方式,如何提高概念教學(xué)的有效性,值得我們努力探究。
三、概念教學(xué)有效性的理性認(rèn)識(shí)
1.課題研究的理論依據(jù)
一般來說,數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷感知、理解、鞏固和應(yīng)用四種心理過程。數(shù)學(xué)概念教學(xué)主要依據(jù)有如下理論。
(1)奧蘇貝爾(當(dāng)代美國的著名教育心里學(xué)家)概念學(xué)習(xí)理論: 在奧蘇貝爾的理論中,所謂概念亦即同類事物的共同關(guān)鍵特征,它是類與類,類與事物相區(qū)別的關(guān)鍵。而概念學(xué)習(xí)則是指學(xué)習(xí)者通過學(xué)習(xí)概念既掌握同類事物的關(guān)鍵特征,同時(shí)也區(qū)分概念的有關(guān)特征與無關(guān)特征,概念的肯定例證與否定例證。在奧蘇貝爾的概念學(xué)習(xí)理論中,他將概念的習(xí)得分作了概念的形成與概念的同化兩種形式,這兩種形式也較深刻的揭示出了學(xué)生知識(shí)形成的過程。
(2)皮亞杰的建構(gòu)理論:皮亞杰的認(rèn)識(shí)理論形成的四階段:感知運(yùn)動(dòng)階段、前運(yùn)演階段、具體運(yùn)演階段、形式運(yùn)演階段。這四個(gè)階段在概念的形成過程中表現(xiàn)為:隱概念、前概念、初概念和邏輯數(shù)學(xué)概念。皮亞杰認(rèn)為,發(fā)生認(rèn)識(shí)的發(fā)展涉及到圖式、同化、順應(yīng)和平衡四個(gè)方面。在涉及概念形成的條件時(shí),皮亞杰認(rèn)為,概念的形成正是基本知覺材料與超越知覺范圍的邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的結(jié)合、因此知識(shí)是一種結(jié)構(gòu),然而離開了主體的建構(gòu)活動(dòng),就不能有知識(shí)的產(chǎn)生。皮亞杰認(rèn)為,概念的掌握過程無非是經(jīng)歷了一個(gè)同化與順應(yīng)的過程;所謂同化,就是把新概念、新知識(shí)接納入到一個(gè)已知的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去;所謂順應(yīng),就是當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能納入新概念時(shí),必須改變已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),以適應(yīng)新概念。
2.課題概念的界定
(1)數(shù)學(xué)概念。概念是反映對(duì)象的特有屬性的思維形式。人們通過實(shí)踐,從對(duì)象的許多屬性中,抽出其特有屬性概括而成。概念的形成,標(biāo)志人的認(rèn)識(shí)已從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)??茖W(xué)認(rèn)識(shí)的成果,都是通過形成各種概念來總結(jié)和概括的。數(shù)學(xué)概念,是對(duì)客觀事物或思想事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式或結(jié)構(gòu)形式的特征概括及其本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映。一個(gè)數(shù)學(xué)概念通常用一個(gè)詞(名稱)或符號(hào)表示。
(2)數(shù)學(xué)概念教學(xué)。有關(guān)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的定義很多。結(jié)合小學(xué)生的年齡特征,筆者認(rèn)為是在一個(gè)具體的情境下,學(xué)生通過感知概念的表象等方式,進(jìn)而理解概念的本質(zhì),初步建立新的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程。重點(diǎn)指向的是學(xué)生學(xué)習(xí)概念內(nèi)核,最后達(dá)成運(yùn)用概念,鞏固、拓展的環(huán)節(jié)。
(3)有效教學(xué)。從教學(xué)投入與教學(xué)產(chǎn)出的關(guān)系來看,有效教學(xué)是有效率的教學(xué);是指在一定的教學(xué)投入內(nèi)(時(shí)間、精力、努力)帶來最好教學(xué)效果的教學(xué);是指教師遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律,以盡可能少的投入,取得盡可能多的教學(xué)效果,從而實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo),滿足社會(huì)和個(gè)人的教育價(jià)值需求。
從學(xué)生的學(xué)習(xí)出發(fā)點(diǎn)來看,有效教學(xué)就是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí),使學(xué)生學(xué)好;是指成功實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目的――學(xué)生愿意學(xué)習(xí)和在教學(xué)后能夠從事教學(xué)前所不能從事的學(xué)習(xí)的教學(xué)。
從“教學(xué)”的內(nèi)涵來看,有效教學(xué)是教師教的活動(dòng)即教學(xué)過程的有效性。從“有效”來看,它表現(xiàn)為教學(xué)有效果、有效率和有效益。有效果指學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步與發(fā)展;有效率指單位教學(xué)投入內(nèi)所獲得的產(chǎn)出高;有效益指教學(xué)目標(biāo)與特定的社會(huì)與個(gè)人的教育需求相吻合。
3.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般原則
(1)現(xiàn)實(shí)性原則——重視概念的引入。在教學(xué)中,既應(yīng)注意從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),也應(yīng)該注意從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)算問題出發(fā)來引入概念,引導(dǎo)他們抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念,才能使學(xué)生較好地掌握概念的實(shí)質(zhì)。
(2)科學(xué)性原則——揭示概念內(nèi)涵和外延。為準(zhǔn)確、深刻地理解概念,教師在提供感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,必須作出辯證分析,用不同方法揭示不同概念的本質(zhì),這樣,把握了概念的外延和內(nèi)涵,也就能進(jìn)一步掌握了概念的本質(zhì)。
(3)比較性原則——注意概念之間的對(duì)比。有些概念是成對(duì)出現(xiàn)的(如正數(shù)與負(fù)數(shù)等);有些概念是由概念的逆反關(guān)系派生出來的(如指數(shù)與對(duì)數(shù)等)等等。注意對(duì)相近、對(duì)立、衍生概念之間的比較,特別是通過反例來糾正學(xué)生在理解概念中的錯(cuò)誤,有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解概念。
(4)應(yīng)用性原則——加強(qiáng)概念的運(yùn)用。高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算、推理、證明等都是以有關(guān)概念為依據(jù)的,在教學(xué)中,有時(shí)圍繞著一個(gè)概念要配備多種練習(xí)題,讓學(xué)生從多角度,多層次上去進(jìn)行應(yīng)用,在應(yīng)用中達(dá)到切實(shí)掌握數(shù)學(xué)概念的目的。
四、概念教學(xué)有效性的策略研究
在概念的教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu),提高概念外化與內(nèi)質(zhì)抽象的思維質(zhì)辨力度呢?為此,我們嘗試在概念形成的不同階段,選擇運(yùn)用不同的教學(xué)策略,付之實(shí)踐檢驗(yàn)。
策略1:創(chuàng)設(shè)情境,感知概念
概念的感知是形成概念的前提,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識(shí)是通過教師的直觀教學(xué)方法獲得的。概念的引入是概念教學(xué)的關(guān)鍵,概念是抽象的、概括的,由具體到抽象是人類認(rèn)識(shí)的規(guī)律,每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識(shí)背景,形成準(zhǔn)確概念的首要條件是使學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料,在概念教學(xué)中,可以根據(jù)概念和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景,體會(huì)到數(shù)學(xué)概念引進(jìn)的必要性和必然性,讓學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)的感覺,幫助學(xué)生完成從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過渡。
【案例1】“直線與平面垂直”的概念教學(xué)片斷
問題情境:首先請(qǐng)學(xué)生們觀察生活中的具體實(shí)例形成感性認(rèn)識(shí)。給出以下實(shí)例:
(1)將書打開直立于桌面,觀察書脊和各頁面與桌面的交線,顯然都是垂直的;
(2)在開門的過程中,觀察門軸和門與地面的交線始終垂直的;
(3)日光下,觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子,盡管隨著時(shí)間的變化,影子的位置會(huì)移動(dòng),但旗桿始終與影子垂直。
點(diǎn)評(píng):從以上三個(gè)生活實(shí)例感悟直線與平面垂直的形象,從而形成直線與平面垂直的感性認(rèn)識(shí)。然后通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、自主探索上升為理性認(rèn)識(shí)。
【案例2】“n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)”的概念教學(xué)片斷
問題情境設(shè)計(jì):
用動(dòng)畫創(chuàng)設(shè)情境,丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹,假設(shè)每棵樹的成活率都為0.75,請(qǐng)思考以下兩個(gè)問題:(1)他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響?8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響?(2)所種的每一棵樹,可能出現(xiàn)哪些不同的結(jié)果?
進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境,對(duì)比分析,感知概念。
在下列試驗(yàn)中,與丙丙和丁丁種樹試驗(yàn)具有共同特征的有( ? )
①某射手射擊一次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊4次。
②姚明罰球的命中率是0.9,他連罰3次。
③一枚硬幣連續(xù)扔5次。(5枚硬幣一起扔出)
④袋中5個(gè)白球,3個(gè)紅球,有放回取球,每次取一個(gè),連續(xù)3次。
⑤袋中5個(gè)白球,3個(gè)紅球,無放回取球,每次取一個(gè),連續(xù)3次。
點(diǎn)評(píng):通過以上情境設(shè)置,學(xué)生思考,教師引導(dǎo)感知,形成概念。師生共同歸納得出現(xiàn)象的共同點(diǎn):在同樣條件下重復(fù)的進(jìn)行的一種試驗(yàn);各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立,相互之間沒有影響;每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即某事發(fā)生或不發(fā)生,并且任意一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的,揭示概念。
【感悟】教學(xué)時(shí)不要生硬地拋出概念,讓學(xué)生死記硬背,應(yīng)從實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)情景,提出問題,通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子,使學(xué)生在對(duì)具體問題的體驗(yàn)中感知概念,形成感性認(rèn)識(shí)。比如;我們?cè)谥v圓柱、圓錐、球的概念時(shí),由于圓柱、圓錐、球?qū)儆谌S圖形,用平面直觀圖難免會(huì)造成視覺上的失真,我們可以借助教具、利用幾何畫板動(dòng)畫展示幫助學(xué)生理解;在講數(shù)學(xué)歸納法的概念時(shí),為了幫助學(xué)生更好的理解“遞推”的含義,可以引進(jìn)“多米諾”骨牌游戲。讓學(xué)生在活動(dòng)中思考、感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過程,以領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦,豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),應(yīng)力求順乎自然、水到渠成。
策略2:自主探索,生成概念
概念的生成過程教學(xué)就是讓學(xué)生參與和經(jīng)歷概念生成的整個(gè)思維過程。因此,在教學(xué)中,恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程,讓學(xué)生弄清概念的來龍去脈,認(rèn)識(shí)它的必要性和合理性,讓學(xué)生在體驗(yàn)中自主探究,生成概念,概念在其生成的過程中逐漸明朗化,可以更好的幫助學(xué)生深化對(duì)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念的意識(shí)和能力。
【案例3】“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”概念教學(xué)片段
第一步:在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題,使學(xué)生體驗(yàn)新概念的一個(gè)具體背景。
師:前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的有關(guān)知識(shí),請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚱鉀Q下面問題:
問題1:若點(diǎn)坐標(biāo)滿足,則P點(diǎn)的軌跡是 。
(學(xué)生思考并動(dòng)筆,教師巡視,個(gè)別指導(dǎo)。)
生1:我利用平方化簡,但還沒有做出來。
師:該同學(xué)平方化簡,肯定可以得到答案,只是還需要一些時(shí)間,相信他一定能成功。
生2:上面式子表示兩點(diǎn)距離之和,根據(jù)橢圓定義可知,P點(diǎn)軌跡是橢圓。
(學(xué)生紛紛表示生2的解法是正確的)
問題2:若點(diǎn)坐標(biāo)滿足,則P點(diǎn)的軌跡是 。
(學(xué)生認(rèn)為是雙曲線)
師:是雙曲線嗎?
生3:應(yīng)該是雙曲線的上半支。(由于第1題的解決對(duì)第2題有著提示和啟發(fā)作用,所以第2題幾乎所有學(xué)生都不再化簡了,自然地聯(lián)想到利用定義的解法中來,于是教師順勢(shì)拋出第3題。)
問題3:若點(diǎn)坐標(biāo)滿足,則P點(diǎn)的軌跡是 。
生4:從條件的含義看,似乎不是橢圓,也不像雙曲線。
師:到底軌跡是什么,生1解問題1的方法會(huì)給我們很好的啟示。
(學(xué)生再次化簡,片刻后,一直得到的軌跡是拋物線,因?yàn)樗姆匠淌?,初中已?jīng)學(xué)過。)第二步:剖析問題3條件的幾何意義,并推出是否具有一般性的結(jié)論。
師:若把條件中的“2”改成其他數(shù)字(非零),結(jié)果如何?
生5:軌跡仍然是拋物線,只是方程中的數(shù)字不同而已。
師:那么條件所表示的幾何意義又是什么呢?
生6:原方程即,左邊表示點(diǎn)到點(diǎn)(0,2)的距離,右邊表示點(diǎn)到直線的距離,等式表示兩個(gè)距離相等。
第三步:類比推廣,從具體實(shí)例中抽象出拋物線的概念。
師:從問題3的分析中我們可以看出,滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼,得出拋物線的定義。請(qǐng)哪位同學(xué)根據(jù)上面的等式,說出拋物線的定義。
生7:到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。
師:不太準(zhǔn)確,應(yīng)該是在“平面內(nèi)”,接下來我們?cè)儆脛?dòng)畫來演示一下這個(gè)定義下的軌跡
……
點(diǎn)評(píng):本案例從學(xué)生已有知識(shí)出發(fā),由易到難設(shè)計(jì)了3個(gè)問題,讓學(xué)生在問題解決的過程中自主探究,對(duì)比發(fā)現(xiàn),逆向生成拋物線的定義,再結(jié)合多媒體動(dòng)畫演示,同學(xué)們經(jīng)歷了一次“發(fā)現(xiàn)”,“創(chuàng)造”的過程,給學(xué)生留下較深刻的印象,對(duì)此概念的理解也將更準(zhǔn)確更深刻。
【案例4】“函數(shù)零點(diǎn)存在條件”的教學(xué)片段
在對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)概念的理解后,如何判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在條件是本節(jié)課的重點(diǎn),以下是我的課堂實(shí)錄:
師:問題2:函數(shù)在區(qū)間上有,那么函數(shù)在區(qū)間上是否一定存在零點(diǎn),請(qǐng)舉例說明。我特別強(qiáng)調(diào)“請(qǐng)舉例說明”。
眾生:議論紛紛,很快就有人說“不一定”。
師:請(qǐng)舉個(gè)例子。
生1:,在區(qū)間上有,但是在上沒有實(shí)數(shù)根。
師:大家都覺得這個(gè)例子很精彩。確實(shí),舉反例常常不是件容易的事。(即時(shí)評(píng)價(jià))
師:問題3:函數(shù)在區(qū)間上有,且有零點(diǎn),那么一定只有一個(gè)嗎?請(qǐng)舉例說明。
有學(xué)生在黑板上畫出了圖1,還有學(xué)生畫出圖2。
師:(故意地)數(shù)了數(shù)“3個(gè),5個(gè),…”
圖1圖2圖3圖4
生2:不一定是奇數(shù)個(gè)。(有學(xué)生聽出我的話外音)
師:老師是說一定有奇數(shù)個(gè)嗎?”
生2:到黑板上畫出圖3。
生4:老師我還有另外的圖形(圖4)。
師:我真沒有想到你會(huì)想出這個(gè)點(diǎn)子來,還有嗎?
眾生:學(xué)生們認(rèn)真思考,積極參與,又畫出間斷不連續(xù)的圖象來。
師:問題4:函數(shù)在區(qū)間上有,還需要滿足什么條件?就一定有且只一個(gè)實(shí)數(shù)根。”
師生熱烈討論,最后得到要滿足3個(gè)條件:(1)函數(shù)(的圖象)在區(qū)間上“連續(xù)不斷”;(2);(3)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)。
這就已經(jīng)獲得了函數(shù)零點(diǎn)存在條件:函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)。即存在,使得,這個(gè)c就是方程的根。
點(diǎn)評(píng):本節(jié)課的重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過函數(shù)圖象,直觀感受零點(diǎn)存在的條件。如何讓學(xué)生尋找這個(gè)條件呢?當(dāng)然不要直接把結(jié)論拋給學(xué)生,這就需要設(shè)計(jì)一個(gè)過程,設(shè)計(jì)“問題鏈”,“問題”會(huì)引起學(xué)生的思考,讓學(xué)生對(duì)這些問題進(jìn)行討論,參與到尋找條件的過程中來。
【感悟】在教學(xué)中需要教師通過問題努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì),問題可以把學(xué)生帶入“憤”與“悱”的境地,幫助學(xué)生自主探究,理解數(shù)學(xué)概念的生成過程,數(shù)學(xué)法則的發(fā)展過程。事實(shí)上,在自主探究的過程中,蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)最基本的思想和方法,如歸納、類比、抽象等。
策略3:步步為營,理解概念
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理性認(rèn)識(shí)是否初步形成,首先反映在對(duì)該概念的定義是否理解。 學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的過程,總是從具體到抽象,從個(gè)別到一般,這也是人類認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律,因此,我們要遵照這一規(guī)律,通過問題串的設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生辨析,解剖概念,從而理解概念的內(nèi)涵和外延。
【案例5】函數(shù)概念的理解
函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位,因此深刻理解函數(shù)概念顯得尤為重要,在通過實(shí)例分析,討論,歸納出函數(shù)定義后,我又設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問題,學(xué)生思考。
問題1: (1)(xR)是函數(shù)嗎?
(2)是函數(shù)嗎?
(3)是函數(shù)嗎?
問題2:在三個(gè)實(shí)例中,按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,能看作從B到A 的函數(shù)嗎?你能舉出函數(shù)的實(shí)例嗎?
點(diǎn)評(píng):通過幾個(gè)實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生利用定義判斷給定的兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系?總結(jié)函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞,使學(xué)生更深刻理解函數(shù)的概念。
【案例6】函數(shù)周期的理解
函數(shù)的周期性和最小正周期是學(xué)生難以理解的概念,在學(xué)生了解其概念后,為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延,我設(shè)計(jì)了以下問題鏈,讓學(xué)生討論:
(1)函數(shù)(a為常數(shù))是周期函數(shù)嗎?()呢?()呢?
(2)函數(shù)是周期函數(shù)嗎?最小正周期是多少?
函數(shù)呢?
(3)函數(shù),對(duì)都有,則的最小值是多少?
(4)作出函數(shù)與的圖像。
點(diǎn)評(píng):通過上述問題的研究,可以幫助學(xué)生弄清以下問題:(1)周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征;(2)最小正周期的存在狀況;(3)周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律;(4)周期函數(shù)的圖像特征.在此基礎(chǔ)上,學(xué)生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念,
【感悟】在概念形成后,如何讓學(xué)生深入理解概念,在教學(xué)中,可以結(jié)合具體的事例詮釋概念的內(nèi)涵與外延。這里既可以設(shè)計(jì)“形似而神非”的個(gè)案來校正;也可以巧設(shè)“問題鏈”。在對(duì)“問題鏈”的辨析中,通過歸納、抽象、概括、提煉,循序漸進(jìn),步步緊逼,使學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)從“了解”上升到“理清并掌握”的層面,讓學(xué)生經(jīng)歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓,最后茅塞頓開,使學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)‘自我否定的過程,從而喚醒學(xué)生的悟性和靈感,以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念真正的理解。
策略4:螺旋上升,內(nèi)化概念
教師在平時(shí)教學(xué)中,要在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生理解并鞏固概念。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個(gè)層次,逐步加深提高。要通過概念間互相滲透,弄清概念間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別,通過概念間的靈活變通,培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力。
【案例7】“曲線與方程”教學(xué)片斷
在得出“曲線與方程”的關(guān)系后,如何進(jìn)一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質(zhì),進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合的思想方法。為此,教學(xué)中使用下面的例子,設(shè)計(jì)問題啟發(fā)學(xué)生思考,從正、反兩方面認(rèn)識(shí)一般
例1 下列哪條曲線是方程的曲線?請(qǐng)說明理由。
A.單位圓B.上半單位圓C.右上1/4單位圓D.右半單位圓
例2 下列哪個(gè)方程是下圖中曲線C(兩條相交直線:第一、三象限的直角平分線,第二、四象限的直角平分線)的方程?請(qǐng)說明理由。
A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B.
C. ? ? D.
【感悟】一個(gè)概念的形成往往是螺旋式上升的,逐步深化的,一般要經(jīng)過具體到抽象,局部到整體,感性到理性的過程。教學(xué)中設(shè)計(jì)一些反例,讓學(xué)生通過正、反例的對(duì)比辨析、鑒別真?zhèn)?,從不同角度來認(rèn)識(shí)定義文字所隱含的內(nèi)容,從而達(dá)到“有比較才能鑒別,有鑒別才能深化認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)效果。類似例1、例2這樣帶有反例的問題,其內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)很接近,但又容易形成認(rèn)識(shí)上的誤區(qū),具有一些思維上的挑戰(zhàn)性,可能會(huì)給學(xué)生留下較深刻的印象。它們具有單純正例所起不到的獨(dú)特作用,教學(xué)中對(duì)此應(yīng)予以關(guān)注,這對(duì)核心概念和重要思想方法的教學(xué)尤為重要。
策略5:返璞歸真,升華概念
任何一門藝術(shù)的最高境界就是“返樸歸真”,張奠宙先生曾經(jīng)說過:“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”。這種“對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”只有在應(yīng)用中才能得到驗(yàn)證,在應(yīng)用的同時(shí)使得概念學(xué)習(xí)得到“升華”,從而讓學(xué)生的思維變得更開闊,更活躍,更富有活力。在對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行系統(tǒng)化的過程中,要重視從概念間的關(guān)系(如從屬、合成、對(duì)應(yīng)、對(duì)偶等)為基礎(chǔ)構(gòu)建相關(guān)概念系統(tǒng)。
【案例8】 “古典概型”習(xí)題課教學(xué)片斷
問題:某信鴿訓(xùn)練場(chǎng)向甲、乙兩林區(qū)放飛4只鴿子,則甲林區(qū)剛好有一只鴿子的概率是多少?
生1:甲乙兩林區(qū)的鴿子數(shù)如右圖,甲林區(qū)剛好有一只鴿子是五種情形中的一種,故所求概率為1/5。
甲林區(qū)鴿子數(shù) 乙林區(qū)鴿子數(shù)
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
(顯然,該生錯(cuò)在對(duì)“等可能事件”的理解上,而且存在這種錯(cuò)誤理解的可能不止少部分學(xué)生,鑒于此,我并沒有立即評(píng)價(jià),而是讓學(xué)生繼續(xù)考慮還有什么思路?略停一分鐘)
生2:每只鴿子有兩種放飛途徑,共有2 =16種放飛方式,而甲林區(qū)有一只鴿子的方式只有4種。
故,所求概率為1/4!。(這時(shí)候?qū)W生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論不一致?。?/p>
針對(duì)以上兩個(gè)結(jié)論,組織學(xué)生展開討論:
師:上述兩種思路,你能確定哪一種是錯(cuò)誤的?
生齊答:第一種!
師:為什么錯(cuò)?
生:(無語)
師:那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發(fā)生的概率:
師生共同討論產(chǎn)生下表:
情形 甲林區(qū)鴿子數(shù) 乙林區(qū)鴿子數(shù) 發(fā)生的概率
1 0 4 1/16
2 1 3 4/16
3 2 2 6/16
4 3 1 4/16
5 4 0 1/16
合計(jì) 1
這時(shí)學(xué)生恍然大悟:情形1~5不是等可能事件,當(dāng)然概率不是1/5!
【感悟】以上過程讓學(xué)生更深層地領(lǐng)會(huì)到等可能事件發(fā)生的意義,在應(yīng)用中學(xué)生對(duì)“等可能事件”的認(rèn)識(shí)升華。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠,還必須上升到抽象層面去理解應(yīng)用,在應(yīng)用中將抽象的定義轉(zhuǎn)換為具體的形態(tài),讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念才是數(shù)學(xué)解題的“靈魂”,引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟隱含于概念形成中的思想方法,在概念的運(yùn)用和推廣中滲透數(shù)學(xué)思想方法,這才是概念生成的核心。
五、支撐與保障
數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中,教師該如何發(fā)揮作用,去積極引導(dǎo)學(xué)生感受概念引入的必要性與合理性,探索和研究概念發(fā)生和發(fā)展的過程,在概念的應(yīng)用中深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解、體會(huì)概念的價(jià)值。
1.“高屋建瓴”地深入理解概念
長期以來,我們只重視如何使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念,而忽略了教師本人如何“高屋建瓴”地深入理解這些概念,許多教師還缺乏對(duì)基本概念的真正實(shí)質(zhì)上的深入理解。沒有教師自身概念知識(shí)廣度和深度的研究,生成的過程教學(xué)就無從談起。
2.“了如指掌”地熟悉學(xué)生學(xué)情
學(xué)生的已有知識(shí),始于新知發(fā)生前,作為新知的起點(diǎn),它決定了新知理解的角度、廣度、深度以及態(tài)度,在理解的每時(shí)每刻,都參與其中,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要重點(diǎn)考慮處理新舊概念間的矛盾。教學(xué)中,教師只有全面了解學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,才能開展有針對(duì)性這樣的預(yù)設(shè),概念生成過程才是真實(shí)的、深入的。
3.“真真正正”地展開師生互動(dòng)
教師與學(xué)生的互動(dòng),是概念課堂教學(xué)得以動(dòng)態(tài)生成的形式要件。概念生成的課堂里,學(xué)生并不是知識(shí)的被動(dòng)吸收者,而是積極主動(dòng)的構(gòu)建者,每個(gè)學(xué)生都以自己頭腦已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),用個(gè)人特有的思維方式構(gòu)建對(duì)事物的理解、檢驗(yàn),不同的人看到不同的方面,各個(gè)層次的學(xué)生都有收獲。
4.“扎扎實(shí)實(shí)”地展開探究活動(dòng)
概念教學(xué)中,學(xué)生主動(dòng)探究是是概念建立的一個(gè)重要環(huán)節(jié),教師不僅要學(xué)生自主探究,更重要的是要讓學(xué)生掌握自主探究地方法,“授之以漁,不如授之以魚”,科學(xué)方法的掌握,科學(xué)思維的形成才能使學(xué)生終生受益,才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的應(yīng)有作用。
六、成效與展望
1.顯著成效
在本課題運(yùn)作的過程中,我們不斷地進(jìn)行課題分析,以便隨時(shí)修正該課題、完善該課題。把課題落實(shí)到提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的實(shí)處。課題組經(jīng)過一年的研究,發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中提升了學(xué)習(xí)興趣,提高了學(xué)習(xí)效率;教師樹立了新的概念教學(xué)理念,在教學(xué)中有法可循、有事可做,并在實(shí)踐中不斷完善概念教學(xué)策略,以幫助學(xué)生有效地建構(gòu)概念。
(1)提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。概念教學(xué)中,強(qiáng)調(diào)重視過程教學(xué),創(chuàng)造性的使用教材,巧妙的設(shè)置情境,讓學(xué)生通過各種活動(dòng),通過探究與合作,得出結(jié)論,認(rèn)識(shí)概念。因?yàn)樯险n形式改變,大大激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點(diǎn),使學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到釋放,提高了概念學(xué)習(xí)的效果。
(2)培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值,初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學(xué)問題,把知識(shí)與生活實(shí)踐緊密地結(jié)合,進(jìn)行探索性、研究性的學(xué)習(xí)活動(dòng),真正提高了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中,教師對(duì)教材及課堂環(huán)節(jié)進(jìn)行了個(gè)性化處理,訓(xùn)練學(xué)生抓住事物本質(zhì)思考問題,培養(yǎng)了學(xué)生健康的心理素質(zhì),同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)教學(xué)本質(zhì)的深刻理解。
(3)促進(jìn)了教師業(yè)務(wù)水平。概念教學(xué)是否有效,教師就必須精心設(shè)計(jì)自己的課堂教學(xué),認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)行為的課前準(zhǔn)備,課堂教學(xué)過程中如何創(chuàng)建師生互動(dòng)的教學(xué)環(huán)境,鼓勵(lì)學(xué)生積極參與概念教學(xué)活動(dòng)等,課后及時(shí)進(jìn)行教學(xué)反思,不斷總結(jié)自己的教學(xué)得失。這就有力地促進(jìn)了教師課堂教學(xué)方法技能的提高,促進(jìn)了教師課堂教學(xué)的不斷優(yōu)化,教學(xué)效果也隨之不斷提高。
2.展望
數(shù)學(xué)概念教學(xué),不僅要讓學(xué)生明白一些原理,更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種思維,一種對(duì)數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課,就如同一段美好的旋律,給人一種美好的體驗(yàn),要讓學(xué)生體會(huì)前輩的心路歷程,探索先哲的數(shù)學(xué)思想,這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦,這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。
關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué),一直是教師們教學(xué)研究中的一個(gè)重要課題,可以說,對(duì)于不同定義方式揭示其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)概念,其教學(xué)的“程序”也不一樣,以上只是一種普遍策略,對(duì)有些概念的教學(xué)不一定適用。因此,在教學(xué)實(shí)踐中,應(yīng)不斷加強(qiáng)教學(xué)研究,加強(qiáng)學(xué)術(shù)交流,不斷提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性,從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的質(zhì)量。本項(xiàng)目的研究雖然暫告一個(gè)段落,但概念教學(xué)的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去,這個(gè)話題永遠(yuǎn)不老!
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