趙國(guó)琴

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概況，如抽象、分類(lèi)、歸納、演繹、模型等?！痹跀?shù)學(xué)課堂中滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角。

一、研讀“本”，挖掘數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)，教師要將教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想放大，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)知識(shí)“背后”的東西。教師要用自己的智慧挖掘教材所要揭示的數(shù)學(xué)思想，將原有的靜態(tài)知識(shí)轉(zhuǎn)化為承載數(shù)學(xué)思想方法的動(dòng)態(tài)思維實(shí)踐。

例如，教師為了給學(xué)生更多的思想積淀，出示了富有挑戰(zhàn)性的：11111111×11111111=。學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算得出了不同的答案，激起了學(xué)生的疑惑。這時(shí)教師進(jìn)行引導(dǎo)，因?yàn)閿?shù)字太多，計(jì)算器的容量不夠，所以計(jì)算器的結(jié)果就出錯(cuò)了。怎么辦？有學(xué)生提出建議：“從少一點(diǎn)的數(shù)乘起”。教師因勢(shì)利導(dǎo)，采納他的建議，從1×1算起。隨即出示1×1=，11×11=，111×111=，1111×1111=，學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算出了四道題的結(jié)果。并從中找出了規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律很快就得出了8個(gè)1乘8個(gè)1的結(jié)果是123456787654321。從而讓學(xué)生深刻感知在解答繁瑣問(wèn)題的時(shí)候，可以先“退”一步，從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，這正是“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想的有效滲透。智慧的解讀教材文本，改變素材的呈現(xiàn)方式，讓素材同時(shí)蘊(yùn)含“合情推理和轉(zhuǎn)化”的思想，豐富數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也讓學(xué)生領(lǐng)略了“退一步海闊天空”的生活哲理。

二、依托“形”，彰顯數(shù)學(xué)思想方法

一些數(shù)學(xué)概念、法則等知識(shí)都明顯地寫(xiě)在教材中，都是有“形”的，而數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，是無(wú)“形”的，是抽象的。數(shù)學(xué)思想只有依托外顯的“形”，才能讓學(xué)生感知它的存在。“形”是數(shù)學(xué)思想的依托，是載體，“思”是數(shù)學(xué)思想的精髓，是本質(zhì)。

例如，“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”一課。練習(xí)中有這樣一題：計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16。由于受本課轉(zhuǎn)化策略的遷移，學(xué)生的計(jì)算方法主要有以下兩種，第一種是轉(zhuǎn)化成小數(shù)計(jì)算，第二種是轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)相加，沒(méi)有學(xué)生想到轉(zhuǎn)化成減法來(lái)計(jì)算。于是，我出示了一個(gè)正方形，通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生很容易將加法計(jì)算轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)便的減法計(jì)算，就是1-1/16=15/16。筆者繼續(xù)設(shè)疑：“那1/2+1/4+1/8+1/16+1/32呢？”學(xué)生繼續(xù)畫(huà)圖，得到1-1/32=31/32。繼續(xù)追問(wèn)：“你能不畫(huà)圖，很快計(jì)算出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128嗎？”學(xué)生通過(guò)觀察得出了此類(lèi)計(jì)算題的計(jì)算方法——轉(zhuǎn)化成減法計(jì)算。正是依托了“正方形畫(huà)圖”這一直觀的“形”，讓抽象變得直觀，幫助學(xué)生建立了轉(zhuǎn)化的思想，促進(jìn)學(xué)生積極的思考。同時(shí)，這又是“數(shù)形結(jié)合思想”的有效滲透，“數(shù)形結(jié)合”既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，又是彰顯數(shù)學(xué)思想方法的有效方式。正如數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”，只有兩者的有效融合，才能彰顯數(shù)學(xué)思想的價(jià)值。

三、付諸“做”，感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想的形成需要一個(gè)過(guò)程，只有經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，才能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的作用。凸顯知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)“做”數(shù)學(xué)的活動(dòng)過(guò)程。

例如，教師組織小組合作，測(cè)量物體的周長(zhǎng)。教師每組學(xué)生發(fā)一些學(xué)具：書(shū)簽、硬幣、樹(shù)葉、線、尺、彩筆，要求小組合作，測(cè)量書(shū)簽、硬幣、樹(shù)葉中任意一種物體表面的周長(zhǎng)。學(xué)生先量出長(zhǎng)和寬，再運(yùn)用不同方法計(jì)算書(shū)簽的周長(zhǎng)；學(xué)生先用線繞樹(shù)葉的一周，然后用直尺量出線的長(zhǎng)就是樹(shù)葉的周長(zhǎng)；學(xué)生測(cè)量硬幣的周長(zhǎng)是先用線繞硬幣的一周，然后用直尺量出線的長(zhǎng)就是硬幣的周長(zhǎng)，或者先在硬幣上畫(huà)一個(gè)記號(hào)，再在直尺上滾一周，滾到記號(hào)的地方，看直尺上的長(zhǎng)度就是硬幣的周長(zhǎng)。數(shù)學(xué)思想重在“悟”，而數(shù)學(xué)活動(dòng)是“悟”的載體。在以上案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，充分感悟“化曲為直”這種“轉(zhuǎn)化思想”在數(shù)學(xué)中的神奇魅力，盡情享受這種數(shù)學(xué)思想所帶來(lái)的智慧。

四、注重“思”，拓展數(shù)學(xué)思想方法

“思”即“反思”，自主反思是感悟數(shù)學(xué)思想的重要保證，勤總結(jié)，善反思，是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，教師要引導(dǎo)學(xué)生在低頭探索的同時(shí)也要及時(shí)回頭總結(jié)數(shù)學(xué)思想，并加以提煉和拓展，為后續(xù)的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.“回頭看”——?dú)w納提煉

很多時(shí)候，學(xué)生經(jīng)歷了探究過(guò)程，未必就能感悟到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。教師要引導(dǎo)學(xué)生“回頭”審視自己的思維活動(dòng)，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的，運(yùn)用了哪些基本的思想方法等，及時(shí)對(duì)某種思想方法進(jìn)行概括，加以提煉，內(nèi)化所學(xué)的知識(shí)。

例如，先讓學(xué)生動(dòng)手探究：一共有10個(gè)數(shù)字，用框每次分別框出2個(gè)數(shù)、3個(gè)數(shù)可以得到幾個(gè)不同的和。通過(guò)直觀演示，學(xué)生很快能找出和的個(gè)數(shù)。并以此初步感知平移次數(shù)、每次框的個(gè)數(shù)以及和的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。教師因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生猜測(cè)“如果每次框出4個(gè)數(shù)、5個(gè)數(shù)呢？”。學(xué)生先憑感知進(jìn)行猜測(cè)，然后再用框進(jìn)行驗(yàn)證。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察：平移的次數(shù)與每次框出幾個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？得到的幾個(gè)不的和與平移的次數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生通過(guò)觀察得出規(guī)律：平移的次數(shù)=總個(gè)數(shù)-每次框出的個(gè)數(shù)；平移的次數(shù)+1=不同的和的個(gè)數(shù)；如果將兩者合并得到：總個(gè)數(shù)-每次框出的個(gè)數(shù)+1=不同的和的個(gè)數(shù)。這一模型思想的建構(gòu)經(jīng)歷了“探究——感知——驗(yàn)證——總結(jié)”的過(guò)程，教師在引導(dǎo)學(xué)生親歷探究規(guī)律的同時(shí)，為學(xué)生提供“回頭看”的時(shí)空，通過(guò)填表、分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而達(dá)到自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想的目的。數(shù)學(xué)教學(xué)不能只“埋頭進(jìn)”，還要常“回頭看”，“回頭看”不僅讓數(shù)學(xué)課堂充滿溫情，而且變得豐富而飽滿。

2.“向前看”——引導(dǎo)遷移

美國(guó)教育心理家布羅納指出：掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學(xué)知識(shí)中相似點(diǎn)越多，越有利于知識(shí)的遷移，運(yùn)用知識(shí)的遷移規(guī)律來(lái)解決新問(wèn)題，這正是滲透數(shù)學(xué)思想方法的有利時(shí)機(jī)。所以，我們?cè)诮坍?dāng)前知識(shí)的時(shí)候，一定要有長(zhǎng)遠(yuǎn)的目光，分析當(dāng)前知識(shí)學(xué)習(xí)與今后新知識(shí)的相似點(diǎn)，做實(shí)本知識(shí)的思想滲透，為后續(xù)學(xué)習(xí)的有效遷移奠基。

例如，在教學(xué)“平行四邊形的面積”之前，我出示下列圖形讓學(xué)生思考：下面每個(gè)小格的面積是1平方厘米，你能又快又準(zhǔn)確地得出下面平面圖形的面積是多少平方厘米嗎？

學(xué)生通過(guò)討論，很快得到了解決方法，那就是將上面每一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或正方形進(jìn)行計(jì)算，簡(jiǎn)單方便。筆者把書(shū)本上直接出示轉(zhuǎn)化圖，改為讓學(xué)生自己想辦法來(lái)計(jì)算四幅不規(guī)則或者復(fù)雜圖形的面積，更具有思考性。學(xué)生通過(guò)討論和思考，更能深刻感悟“轉(zhuǎn)化”思想，為后面平行四邊形、三角形、梯形的面積公式的推導(dǎo)，提供了有效“遷移”的思想儲(chǔ)備。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，教師應(yīng)站在數(shù)學(xué)思想方法的高度，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，努力挖掘教材的“滲透點(diǎn)”，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)形成中感悟數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)和能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇張家港市泗港小學(xué)）endprint