☉山東省棗莊市第三中學(xué) 雷春景

抓本質(zhì)巧變換
——由函數(shù)對稱性簡解一道高考題

☉山東省棗莊市第三中學(xué) 雷春景

高考對函數(shù)零點(diǎn)問題的考查主要有三個視角.

（1）求函數(shù)的零點(diǎn).也即求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，可以利用公式法、因式分解法、配方法等解決，如果方程中含有參數(shù)，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

（2）零點(diǎn)所在范圍的判定.此類問題常借助“零點(diǎn)存在定理”——如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且滿足f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).即存在x0∈（a，b），使得f（x0）= 0，則x=x0就是方程f（x）=0的根.

用零點(diǎn)存在定理可判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在，如果需要進(jìn)一步判斷圖像連續(xù)不斷的函數(shù)的零點(diǎn)是否惟一，可以借助函數(shù)的單調(diào)性，需將判定的區(qū)間劃分為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間逐一判定.一般地，圖像連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有惟一零點(diǎn).

（3）零點(diǎn)的個數(shù)問題.函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）的根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)函數(shù)y=F（x）的圖像不易畫時，可將F（x）分解成兩個相對簡單的函數(shù)，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）的圖像交點(diǎn)的個數(shù)來判斷F（x）的零點(diǎn)個數(shù).

當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））不易具體化或簡化來分析它的零點(diǎn)個數(shù)時，常常通過整體換元轉(zhuǎn)化為方程f（t）=0與t=g（x）的根的個數(shù)，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（t）的零點(diǎn)個數(shù)以及直線y=t與y=g（x）的圖像交點(diǎn)的個數(shù).

本題給出零點(diǎn)個數(shù)，求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題求解.

y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4個零點(diǎn)等價于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4個不同的解，即函數(shù)y=b與函數(shù)y=f（x）+f（2-x）的圖像有4個公共點(diǎn)，由圖像可知

對兩個函數(shù)對稱性的考查是高考?？碱}型之一，其中主要包括：

（1）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=-f（x）關(guān)于x軸對稱；

（2）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（-x）關(guān)于y軸對稱；

（3）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（2a-x）關(guān)于直線x=a對稱；

（4）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)2b-y=f（2a-x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱；

（5）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f-1（x）關(guān)于直線y=x對稱.

本題通過觀察所給函數(shù)特征，知函數(shù)g（x）與f（x）關(guān)于點(diǎn)對稱，故找到新的求解思路.

運(yùn)用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱解此題時需要弄清如下兩個問題.

問題1：設(shè)函數(shù)f1（x）與函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，函數(shù)f2（x）與函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，則函數(shù)f1（x）與函數(shù)f2（x）圖像的關(guān)系如下所示.

結(jié)論：當(dāng)a>0時，將函數(shù)f1（x）向右平移2a個單位與f2（x）重合；當(dāng)a<0時，將函數(shù)f1（x）向右平移2|a|個單位與f2（x）重合.

問題2：函數(shù)f1（x）與函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，函數(shù)f2（x）與函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，b）對稱，則函數(shù)f1（x）與函數(shù)f2（x）圖像的關(guān)系如下所示.

結(jié)論：當(dāng)b>0時，將函數(shù)f1（x）向上平移2b個單位與f2（x）重合；當(dāng)b<0時，將函數(shù)f1（x）向下平移2|b|個單位與f2（x）重合.

另外，在應(yīng)用函數(shù)的對稱性解題時還要弄清兩個函數(shù)的對稱性與一個函數(shù)自身的對稱性的區(qū)別.

變式1：兩函數(shù)關(guān)于y軸對稱的應(yīng)用例1（2014年高考湖南）已知函數(shù)（fx）（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖像上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（）.

解析：依題意，設(shè)存在P（-m，n）在f（x）的圖像上，則Q（m，n）在g（x）的圖像上，則有m2＋e-m-1＝m2＋ln（m＋a），2解得即，可得

評析：已知兩函數(shù)存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，故將其中的一個函數(shù)沿y軸對稱后與另外一個函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，從而將問題簡化.

變式2：兩函數(shù)關(guān)于直線的對稱性的應(yīng)用

例2下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝|ln（2-x）|在其上為增函數(shù)的是（）.

解析：由兩函數(shù)的對稱性易知函數(shù)f（x）＝ln（2-x）與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對稱，再將y=ln（2-x）在x軸下方的圖像翻折到x軸上方，即得函數(shù)f（x）＝|ln（2-x）|的圖像（如圖3所示）.

由圖像易知當(dāng)1≤x＜2時，f（x）＝|ln（2-x）|是增函數(shù)；當(dāng)x≤1時，f（x）＝|ln（2-x）|是減函數(shù).故答案為D.

評析：充分把握所求函數(shù)與我們所熟悉的函數(shù)y= lnx的關(guān)系，即兩函數(shù)關(guān)于直線x=1對稱，從而利用圖像直觀得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

變式3：互為反函數(shù)的兩函數(shù)的對稱性的應(yīng)用

例3如圖4，函數(shù)y=lnx與邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形所圍成的陰影的面積為________.

解析：因為函數(shù)y＝lnx的圖像與函數(shù)y＝ex的圖像關(guān)于正方形的對角線所在直線y＝x對稱，則所求面積為：

評析：互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱，求一個函數(shù)的反函數(shù)時，將x與y互換即可，如對于y=ex，將x與y互換，即x=ey，得y=lnx，即為y=ex的反函數(shù).本題中欲直接求y=lnx的原函數(shù)y=xlnx-x較為抽象，利用函數(shù)的對稱性將問題轉(zhuǎn)化為其反函數(shù)y=ex與正方形圍成的面積問題，進(jìn)而簡潔求解.

例4（2015年高考全國卷）設(shè)函數(shù)y＝f（x）的圖像與y＝2x＋a的圖像關(guān)于直線y＝-x對稱，且f（-2）＋f（-4）＝1，則a＝（）.

A.-1B.1C.2D.4

解析：設(shè)A（x，y）是曲線y＝f（x）上的動點(diǎn)，它關(guān)于直線y＝-x的對稱點(diǎn)是B（-y，-x），可得點(diǎn)B在曲線y＝2x＋a上，所以-x=2-y+a，即y=a-log2（-x），所以f（x）=a-log2（-x）.

再由f（-2）＋f（-4）＝1，可得a＝2.故答案為C.

總之，利用函數(shù)的對稱性解題時，要準(zhǔn)確識別變換的類型，充分把握在對稱變換過程中的變與不變，進(jìn)而快速、準(zhǔn)確解題.A