☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 韓勇華

課堂導(dǎo)引動(dòng)態(tài)函數(shù)問(wèn)題求解思路的尋找

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 韓勇華

課堂是學(xué)生接受知識(shí)的主要來(lái)源，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式以教師講解為主導(dǎo)，學(xué)生處于被動(dòng)接受狀態(tài)，而部分教師在講解解題思路時(shí)，大多數(shù)都以告知的形式講授，這樣造成的結(jié)果是：學(xué)生只知其然，不知所以然，在遇到類似問(wèn)題時(shí)仍感無(wú)從下手.而新課程要求課堂教學(xué)應(yīng)以啟發(fā)為主，教師在課堂上起引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生自主生成解題思路，進(jìn)而內(nèi)化為解題能力.本文以幾例動(dòng)態(tài)函數(shù)問(wèn)題為例，展示思維的啟發(fā)、引導(dǎo)過(guò)程.

一、尋找定值

問(wèn)題1已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有則）的值是（）.

A.5B.6C.7D.8

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察已知條件與所求結(jié)論來(lái)尋找解題思路.

師：但函數(shù)解析式不確定，即本題屬于動(dòng)態(tài)函數(shù)問(wèn)題，如何處理？

生眾：動(dòng)中尋定！

師：定在哪里？

生2：函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)，而，所以為定值，可設(shè)（fx）-，即（fa）=2，（fx），所以（fa），解得a= 1，所以，故選B.

師：?jiǎn)栴}能否順利求解，取決于對(duì)條件的利用是否準(zhǔn)確，單調(diào)性是函數(shù)主要性質(zhì)之一，利用單調(diào)性根據(jù)已知條件尋找到定值的存在是問(wèn)題求解的關(guān)鍵.

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a∈R，b∈R）的值域?yàn)椋?，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）

答案：9.

二、尋找定性

問(wèn)題2函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，y都有f（x·y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，則

的值為（）.

師：本題屬于抽象函數(shù)問(wèn)題，所謂抽象函數(shù)是指并沒(méi)有確定的解析式，如何去尋找確定的信息.

生3：可從所給的函數(shù)性質(zhì)關(guān)系式f（x·y）=f（x）+f（y）入手.

師：哪位同學(xué)繼續(xù)？

師：這種解題思路，在數(shù)學(xué)中稱為分析法，即從所求的結(jié)論入手，逆向?qū)ふ医Y(jié)論成立條件，思路環(huán)環(huán)相扣……

生5：（舉手示意）針對(duì)客觀題的特點(diǎn)，由所給的函數(shù)性質(zhì)關(guān)系式f（x·y）=f（x）+f（y），可聯(lián)想我們所熟悉的特殊函數(shù)來(lái)解題，如對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）具有性質(zhì)logaxy=logax+logay，由條件f（2）=1，可知底數(shù)為a=2，進(jìn)而將問(wèn)題簡(jiǎn)潔求解.

師：小題小做，一般問(wèn)題特殊化是處理客觀題的有效策略.借此我們來(lái)思考一下，還有哪些常見(jiàn)的函數(shù)性質(zhì)關(guān)系式，可以聯(lián)想特殊的函數(shù)來(lái)處理？

生6：正比例函數(shù)型f（x）=kx，滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）；

指數(shù)函數(shù)型f（x）=ax，滿足f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），f（x1-

對(duì)數(shù)函數(shù)型f（x）=logax，滿足f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

冪函數(shù)型（fx）=xn，滿足（fx1·x2）=（fx1）·（fx2）

三、尋找定形

問(wèn)題3已知a>0，二次函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)___________.

師：二次函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)問(wèn)題的常規(guī)處理思路是什么？

生7：如果二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，應(yīng)對(duì)參數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論.再利用根的判別式對(duì)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，而本題二次項(xiàng)系數(shù)大于零，判別式Δ=b2-4ac=4+8（3+ a）大于零，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，故只需討論f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題即可：

（1）有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)時(shí)，則有f（-1）f（1）<0.

師：同學(xué)們還有沒(méi)有要補(bǔ)充的？

生8：還應(yīng)包含有一個(gè)零點(diǎn)恰好為-1或1的情況，即：

師：作為一道客觀題，這樣的解答略顯煩瑣，但卻是處理此類問(wèn)題的通法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌拢词欠裼衅渌?jiǎn)潔的解答？

生9：函數(shù)解析式雖然不確定，但我們可以將其中確定的信息挖掘出來(lái)：因?yàn)閍>0，所以對(duì)稱軸<0，且函數(shù)圖像在y軸上的截距-（3+a）<0，所以函數(shù)f（x）的大致圖像可確定（圖略）.若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有零點(diǎn)，則有f（-1）>0或f（1）>0，解得a>1.

師：非常好！從命題的角度來(lái)看，一個(gè)題目不可能把所有的分類點(diǎn)都涵蓋在內(nèi)，審題時(shí)應(yīng)注意隱含的、確定的信息的挖掘，從而避免不必要的討論.下面的問(wèn)題請(qǐng)大家課下處理.

練習(xí)：關(guān)于x的方程ax2+2x-1≥0至少有一個(gè)正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

四、尋找定點(diǎn)

問(wèn)題4已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）＝x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），則a的取值范圍是_________.

師：涉及極值問(wèn)題，我們常規(guī)的處理思路是什么？

生10：借助導(dǎo)數(shù).函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）=lnx-ax+1-ax=lnx+1-2ax，令f′（x）=0，即lnx+1-2ax=0有兩個(gè)解，整理得lnx=2ax-1，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題.

師：零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題處理，是解此類問(wèn)題的常用途徑，但y=2ax-1的解析式不確定，如何求交點(diǎn)？

生11：函數(shù)y=2ax-1的解析式雖然不確定，但有確定的信息可尋，即y=2ax-1過(guò)定點(diǎn)（0，-1），故只要判斷直線y=2ax-1與曲線y=lnx相切時(shí)的臨界狀態(tài)的a的值即可，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“曲線過(guò)某點(diǎn)的切線問(wèn)題”.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，lnx0），則切線斜率因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（0，-1）、（x0，lnx0），故由兩點(diǎn)坐標(biāo)求得斜率，所以，解得x=1，即k=1，所以當(dāng)0<02a<1，即時(shí)，直線y=2ax-1與曲線y=lnx有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)f（x）＝x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，故a的取值范圍是

師：數(shù)學(xué)解題的過(guò)程其實(shí)就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程，即將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題求解，本解法將問(wèn)題進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化，化為我們熟悉的“曲線過(guò)某點(diǎn)的切線問(wèn)題”，使問(wèn)題順利得解.

綜上，在課堂解題教學(xué)中，教師要注重從解題思路的尋找上多下功夫，使學(xué)生清楚為什么這么做，這種思路是如何找到的，即弄清楚解法的根源所在，在處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)便可得心應(yīng)手，進(jìn)而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.F