☉甘肅省天水市一中 宮前長

新課程極坐標方程教學：困惑、解惑與感悟

☉甘肅省天水市一中 宮前長

一、問題提出

極坐標方程在新課程人教A版《數(shù)學》（選修4-4）中占有比較重要的地位，是提升學生認識和理解平面中點位置確定的思想方法，極坐標是用“距離”與“角度”來刻畫平面上點的位置的坐標形式.極坐標概念的學習從某一個側(cè)面揭示了平面點和空間點的數(shù)學多元化理解、表示及其本質(zhì)的認識，是更好地深化理解數(shù)學基本思想的最好素材.極坐標方程是一種確定點的方法，具有概括性、抽象性和多變性等特征，教材編者在新課程人教版A版的選修模塊4中編寫極坐標方程，給學生提供了一種新的求曲線方程的方法、思路和策略.

極坐標是一種思想、一種方法、一種工具，更是一種數(shù)學文化，如何傳承、延續(xù)和傳播，讓學生站在較高層次上用滲透、傳播極坐標思想解決問題.為此，在新課標下如何準確定位、把握極坐標方程的教學？值得思考和研究.

二、備課困惑

在備“簡單曲線的極坐標方程”兩節(jié)課時，從選修4-4模塊中的整體內(nèi)容編排上進行了認真地思考，內(nèi)容涉及圓的極坐標方程和直線的極坐標方程兩部分，教材編寫、安排上采用“思考”來引導學生探究具體問題：“如何確定學校建筑物的位置”，根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，概括確定平面內(nèi)點的位置的因素：“距離”與“角度”，總感覺采用“距離”與“角度”來刻畫點的位置比采用直角坐標更自然、更方便，這樣引出極坐標的相關(guān)概念.

教材通過“探究”需要學生寫出“半徑為a，過極點且在極軸上的圓上任意一點的極坐標（ρ，θ）滿足的條件”，其實質(zhì)是求圓的極坐標方程.由于直線的極坐標方程復雜，教材將直線的極坐標方程放在圓的極坐標方程之后.教材的特點是在內(nèi)容上分層次設(shè)計、編排，在教學定位上要讓學生理解極坐標的本質(zhì)含義、極坐標下簡單曲線方程的計算方法和極坐標表示簡單曲線的簡潔性作用，尤其后面安排“思考”的用意是比較同一圓、直線在不同的坐標系下的方程，體會適當?shù)剡x擇坐標系的重要性，加強培養(yǎng)和發(fā)展學生的歸納概括能力、邏輯推理能力等.

教師集體備課（筆者在張家川回族自治縣第一高級中學支教），縣中學有一些老師提出要根據(jù)教材的編排進行授課，部分教師提出按照重點中學對待數(shù)學選修課程來進行，即極坐標的知識不需要講解，只須讓學生記住極坐標與直角坐標的坐標互化關(guān)系式（ρ2=x2+y2，x= ρcosθ，y=ρsinθ），會轉(zhuǎn)化為普通方程就行，到時能夠應付高考試題的解答即可，這樣處理上課只需一節(jié)課，但學生對極坐標概念的產(chǎn)生、發(fā)展和應用的深層次理解相對減弱，很難對極坐標的相關(guān)問題進行探究，使新課標教材的設(shè)置形同虛設(shè)，尤其對“簡單曲線的極坐標方程”一節(jié)，更是簡單地認為：只要記住極坐標與直角坐標的坐標互化公式，直接轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的方程、解題思路和處理策略就行.這樣做減弱了學生對極坐標系下簡單曲線的深層次理解，剝奪了學生學習極坐標方程的過程經(jīng)歷，雖然多次訓練可以得到高分，卻違背了新課標的數(shù)學教育理念.

備課組老師結(jié)合縣區(qū)中學的學生認知層次，達成統(tǒng)一認識：雖然跟著高考的指揮棒走，對這一節(jié)采取“推導極坐標與直角坐標的坐標互化公式，學會轉(zhuǎn)化”的教學思路進行，上一節(jié)課，訓練一節(jié)課，耗時少、花得精力更少，短期效果好，考試分數(shù)高，但學生恰恰丟了好多思維訓練的機會和學習經(jīng)歷，自然對圓、直線在不同坐標系下的方程求解的理解不深刻，對后續(xù)的數(shù)學學習造成了許多困難.因此，在教學中如何定位“簡單曲線的極坐標方程”，是以極坐標方程的求解本質(zhì)及其所反映的極坐標下的曲線方程求解的基本思想為重呢？還是以會計算極坐標方程的有關(guān)問題為重呢？如何安排教學，才能收到很好的教學效果呢？

大家?guī)е@個困惑，反復推敲，查閱資料，經(jīng)過熱烈的討論，結(jié)果仍然按照新課標的理念、新課標的要求和教材的編排特征來處理教材，特別強調(diào)只要把極坐標的相關(guān)概念弄清楚，讓學生親歷簡單曲線的極坐標方程的求解過程，并依據(jù)學生自身的學習情況，適當?shù)剡M行拓展，必然會收到很好的教學效果.最終依據(jù)新課標進行了備課、上課，沒有簡單地按照高考指揮棒來進行教學.

三、課前分析與反思

教師教學用書中表明用2個課時完成“簡單曲線的極坐標方程”的教學.基于前面的困惑，再加上中等偏弱的學生（張家川縣第一中學學生）較多，而課堂教學時間分配只有2個課時，如何把握這節(jié)課的教學？再通過對比新課標與以前教材對極坐標方程的目標要求，尋求解決問題的處理辦法.

1.極坐標方程教學目標解讀

極坐標系是人教A版《數(shù)學》（選修4-4）的重要內(nèi)容，教材采用比較大的篇幅從好幾個不同的角度引導學生學習，并用“思考”、“探究”等欄目強化對直線、圓的方程討論，這些足以說明“簡單曲線的極坐標方程”學習過程的重要性.

課標要求：掌握極坐標方程的意義；能在極坐標中求直線和圓的極坐標方程；通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

新課標將簡單曲線的極坐標方程教學定位，要求深刻領(lǐng)會求簡單曲線的極坐標方程的基本方法，掌握極坐標方程的意義和掌握一些特殊位置下的圓、直線（如過極點或垂直于極軸的直線）的極坐標方程.結(jié)合數(shù)學實例培養(yǎng)學生的歸納類比推理能力，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程中，培養(yǎng)創(chuàng)新意識、辨析能力及良好的思維品質(zhì).

教學重點：直線和圓的極坐標方程的求法.（第1課時的重點：如何根據(jù)條件列出圓的極坐標方程，如何從圓的極坐標方程得出圓心和半徑）

教學難點：對不同位置的直線和圓的極坐標方程的理解.（第1課時的難點：如何尋找條件列出圓的極坐標方程，如何解決有關(guān)圓的極坐標方程的問題）

教學方法：啟發(fā)、引導，合作交流.

數(shù)學選修能夠拓展學生的數(shù)學知識領(lǐng)域，增加數(shù)學知識的廣度、提升數(shù)學知識的深度，學習時力求在輕松的氛圍中進行，給予學生無限的思考時間，讓學生體驗豐富多彩的數(shù)學世界，形成優(yōu)良的數(shù)學思維品質(zhì).

選修部分具有很好的拓展性和趣味性，能夠真正地滿足不同思維層次的學生需求，在數(shù)學拓展層面體會數(shù)學的簡潔美、內(nèi)在美，充分凸顯數(shù)學智慧魅力，盡可能地讓數(shù)學解題作用極大地發(fā)揮出來，尤其在數(shù)學知識拓展與延伸、思想方法的提煉與應用、思維方式的訓練與培養(yǎng)上下功夫.

2.極坐標方程在教材的位置

坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)，在坐標系中用有序?qū)崝?shù)對確定點的位置，再采用代數(shù)方程的方式來刻畫圖形.課標教材中的極坐標方程是集中設(shè)計編寫的，在人教A版《數(shù)學》（選修4-4）第一講“坐標系”第二節(jié)“簡單曲線的極坐標方程”重點處理，是本模塊的重點內(nèi)容，安排2個課時，通過坐標系的學習，了解曲線的多元化表示形式，有利于學生探究數(shù)學問題能力的提高.對柱坐標系、球坐標系等坐標系只是簡單的介紹，讓學生借助具體實例（如圓形體育場看臺的座位、地球的經(jīng)緯度等）簡單了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間點的位置的方法即可，并且能夠與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法作比較，體會它們的區(qū)別.

教材一共安排3道涉及圓、直線的極坐標方程的例題，目的就是為了更好地突出坐標系下如何求圓、直線坐標系方程提供了很好的素材，同時也設(shè)置了兩個探究欄和一個思考欄，目的就是讓學生通過例1明白極坐標方程的基本求法和親歷依據(jù)數(shù)學問題的幾何特征建立適當?shù)淖鴺讼担f明曲線極坐標方程的簡捷美；例2借助特殊位置（垂直于極軸）的直線的極坐標方程求法，總結(jié)坐標系下求曲線方程的基本步驟：畫草圖—設(shè)點的極坐標—連接極徑—借助幾何性質(zhì)，列出極坐標方程—檢驗確認；例3給出一般形式的直線的極坐標方程.由此可見，教材的安排完全是在學生已有知識的“最近發(fā)展區(qū)”處理例題和選題的，既體現(xiàn)出數(shù)學的嚴謹性，又充分顯示了安排的合理性.教材“思考”欄的目的是利用同一直線在不同的坐標系下的方程，感悟選擇坐標系對曲線方程求解的重要性和思維的簡捷性.

3.極坐標方程在認知、能力上的要求

從數(shù)學知識的認知情境看：極坐標系是重點內(nèi)容，是用距離和方位刻畫點的位置的方法.掌握極坐標與直角坐標的互化，從直線、圓的極坐標方程與其直角坐標方程的關(guān)系，理解和認識極坐標系下曲線方程的結(jié)構(gòu)特征、幾何意義，深刻思考曲線的幾何特征與適當坐標系選擇的簡捷性、合理性和解法優(yōu)化的必要性.

圓的幾何特征：圓上任意一點到圓心的距離都等于半徑r，只要將圓心放在極點，圓的極坐標方程是ρ=r，方程簡潔到了極致.

教材P12“探究”欄的目的是求圓心在極點，半徑為a的圓的極坐標方程時，引導學生類比直角坐標系下求圓的方程的工程，先作出圖形，再根據(jù)幾何條件建立關(guān)于極徑與極角之間的關(guān)系式（方程），注意設(shè)某一點M（ρ，θ）為圓上除點O、A以外的任意一點后，“記住”將點M與極點O一定連接，一方面提醒ρ、θ關(guān)系模式的建立，另一方面有利于發(fā)現(xiàn)相應的幾何關(guān)系，再借助這種幾何關(guān)系容易建立曲線的方程.

教材P13“探究”欄的目的是在求過極點的直線極坐標方程時，只能用相應的兩條射線方程“組合”或“整合”表示，形式分散不統(tǒng)一，為了從認識上消除差異就要考慮：允許極徑的取值范圍為全體實數(shù)，這就要求直線的極坐標方程不僅考慮極徑的取值范圍，而且其方程是不唯一的.增大了學生對極坐標方程理解的難度，其根本是極角的“多值性”所導致.

只有讓學生弄清坐標系下點的極坐標表示和極坐標刻畫點的位置的思想方法，才能夠深層次地清楚極坐標方程是曲線的一種表征方式.在備課時抓住學生已學內(nèi)容：在直角坐標系的思想方法和點線的坐標表示，力求教學時做到自然的、有序的和高效的類比與遷移，讓極坐標方程的學習遷移類比，同時讓學生知道柱坐標系、球坐標系的幾種坐標系及其表示點的思想方法，有利于極坐標方程的設(shè)計和整體的認識、恰當?shù)亩ㄎ?

4.學情分析與學法處理

處在高二年齡階段的學生，思維超越了經(jīng)驗性邏輯判斷，一定程度上仍有依賴直觀具體的形象性材料來理解抽象的概念或邏輯關(guān)系.極坐標系的學習可以借助石子投入靜水中引起的漣漪圓圈（也可以將極坐標系通過比較完美的蜘蛛網(wǎng)來引入）來形象比喻，將靜水中的樹葉的位置描述或確定，這樣的引入符合學生的認知規(guī)律，再抽象出極坐標系的建立，符合學生由具體到抽象的認知規(guī)律.

直觀形象的比喻有利于極坐標系的建立和極坐標思想的形成，學生在學習時不會感到茫然，通過蜘蛛能夠迅速地捕捉食物的故事，如何確定食物的位置，來激發(fā)學生對極坐標表示的位置進行探究，有助于對極坐標系的含義、思想的進一步認識和理解.

四、教學片斷回放，解惑

通過直角坐標系的建立可以描述點的位置，理解極坐標也有同樣的作用，讓學生明白直角坐標系的建立可以求曲線方程的理解，探究極坐標系的建立是否可以求曲線方程？直角坐標系和極坐標系中怎樣描述點的位置？曲線的方程和方程的曲線（直角坐標系中）定義.

師：請大家回顧以前在直角坐標系中求曲線方程的思想方法，結(jié)合上節(jié)極坐標系的建立和點的位置的確定，類比在極坐標系中，也可以求曲線的極坐標方程，尋找極坐標系中的動點對應的極徑和極角之間的關(guān)系式就是極坐標方程.下面各小組探究圓的極坐標方程：

師：如圖1，在極坐標系下，半徑為a的圓的圓心坐標為C（a，0）（a>0），你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標M（ρ，θ）滿足的條件嗎？

設(shè)計意圖：讓學生進行觀察、思考，教師引導，回顧直角坐標系下求曲線方程的思想、方法和解題經(jīng)驗，引出本節(jié)的課題，并給出極坐標下的極坐標方程的概念，并進一步探究特殊位置的圓的極坐標方程.強調(diào)極坐標方程的含義，依據(jù)學生所學求曲線方程的知識進行小組合作解決相應問題，落實極坐標方程從學生的親歷中獲得.

生1：（黑板演算）根據(jù)題意，連接AM，點M是除點A外的圓上一點，則AM⊥OM，在Rt△OMA中，|OM|=|OA|· cos∠AOM，即ρ=2acosθ.驗證點）和A（2a，0）也滿足上述極坐標方程，故圓上任意一點的極坐標M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ=2acosθ.

生2：（黑板演算）根據(jù)題意，如圖2，過圓心C作OM的垂線，垂足為N，由圓的垂徑定理得，ρ，在Rt△OCN中，根據(jù)三角函數(shù)得，即得滿足條件的圓的極坐標方程ρ=2acos.驗證點）和（2a，0）也滿足上述極坐標方程，故圓上任意一點的極坐標M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ=2acosθ.

生3：（黑板演算）根據(jù)題意，如圖3，連接CM，在△COM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|·cos∠COM，化簡即得ρ=2acosθ.驗證點和A（2a， 0）也滿足上述極坐標方程，故圓上任意一點的極坐標M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ=2acosθ.

生4：（黑板演算）根據(jù)題意，如圖3，連接CM，在△COM中，由正弦定理得化簡即得ρ= 2acosθ.驗證點）和A（2a，0）也滿足上述極坐標方程，故圓上任意一點的極坐標M（ρ，θ）滿足的條件是：ρ= 2acosθ.

師：大家找到的ρ=2acosθ就是滿足上述條件的圓的極坐標方程.

給出了極坐標方程的定義：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f（ρ，θ）=0，并且坐標適合方程f（ρ，θ）=0的點都在曲線C上，那么方程f（ρ，θ）=0叫做曲線C的極坐標方程.

請同學們解決下面給出的問題：

（1）已知圓的半徑為r，如何建立極坐標系，可以得到圓的極坐標方程最簡單？

（3）在極坐標系下，半徑為a的圓的圓心坐標為C（a，π）（a>0），求圓的極坐標方程.

（4）在極坐標系下，半徑為r的圓的圓心坐標為C（a，α）（a>0，0≤α＜2π），求圓的極坐標方程.

生5：在直角坐標系中，圓心設(shè)置在直角坐標系的原點時，半徑為r的圓的方程：x2+y2=r2是最簡單的；類比遷移到極坐標系中，將圓心也放置在極坐標系的極點，此時圓上任意一點M（ρ，θ），滿足|OM|=r，即得ρ=r，因此第（1）小問圓的極坐標方程為ρ=r.

師：（追問）解決第（1）小問的關(guān)鍵是什么？對于極點在圓心，半徑為r的圓的極坐標方程：ρ=r如何理解？

生5：解決第（1）小問的關(guān)鍵是根據(jù)問題的幾何特征建立適當?shù)臉O坐標系，才能使圓的極坐標方程最簡單.根據(jù)圓的幾何特征將極點設(shè)置在圓心，半徑為r的圓的極坐標方程（ρ=r）是最簡單的，其方程的真實意義是：極徑ρ是定值，極角θ是任意的實數(shù)，完全凸顯了圓的定義內(nèi)容.

師：生5回答的很好，進一步說明了圓的幾何特征：圓上任意一點到圓心的距離都等于r.下面請幾位同學回答后面幾道小題.

生6：根據(jù)大家探究問題的方法，設(shè)圓上任意一點M（ρ，θ），分類討論：當O、C、M三點不共線時，在△OCM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|· cos∠COM，化簡得當O、C、M三點共線時，點M（0，0）或）滿足上述極坐標關(guān)系式，故得第（2）小問圓的極坐標方程為同理可得第（3）小問圓的極坐標方程為ρ=2acos（π-θ）.我將第（2）、（3）小問與探究問題整體思考，總覺得它們之間有一種聯(lián)系，好像是能夠用一個方程模式來表示，但我沒有找到，很遺憾！

生7：（愛動腦筋的生7舉了二次手，急得不耐煩，筆者示意回答）我們一組早就解決問題（2）、（3）、（4）了，而且也弄清了它們之間的關(guān)系.我先將第（4）小問的解答思路敘述一下：如圖4，設(shè)圓上任意一點M（ρ，θ），連接CM，當O、C、M三點不共線時，在△OCM中，由余弦定理得|CM|2=|OC|2+|OM|2-2|OC|·|OM|cos∠COM，化簡得極坐標關(guān)系式ρ2=r2-a2+2aρcos（α-θ）.當O、C、M三點共線時，點M（a-r，α）或M（a+r，α）滿足上述極坐標關(guān)系式，因此得圓的極坐標方程ρ2=r2-a2+2aρcos（α-θ）.

其中第（2）、（3）小問和探究問題都是上述圓的極坐標方程的特例.對于第（2）小問，圓心）（a>0），半徑為a，則將上述方程中的α、r用和a替換，即得ρ=2acos）.對于第（3）小問，圓心C（a，π）（a>0），半徑為a，則將上述方程中的α、r用π和a替換，即得ρ= 2acos（π-θ）.這就說明第（4）小問就是圓在極坐標系下的一般方程.

生8：（生8忽然站起來）老師，我找到了第（2）、（3）小問和探究問題的關(guān)系：這三個圓的圓心所在的位置在以極點為圓心，半徑為a的圓上，也可以說這三個圓是半徑為a且經(jīng)過極點的動圓在幾個特殊位置的情況.

師：如何根據(jù)條件列出圓的極坐標方程問題基本解決了，請大家將例題所涉及的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的普通方程.

生9：我對第（1）、（2）、（3）小問的極坐標方程進行等價變形：極坐標方程兩邊用ρ去乘、化簡，再通過極坐標與直角坐標的關(guān)系，得到第（1）、（2）、（3）小問的普通方程分別為x2+y2=r2、x2+（y-a）2=a2、（x+a）2+y2=a2.第（4）小問沒有化簡出來.

教師在教室巡視時，對部分巡視引導、點撥，學生能積極應對互化較好地模仿操作，部分小組的學生答案不同時，自己尋找解決問題的原因、方法.

生10：（舉手）第（4）小問的極坐標方程化為普通方程：（x-acosα）2+（y-asinα）2=r2，表明圓心為（acosα，asinα），半徑為r的圓.（回答后學生用掌聲贊揚）

師：將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程（普通方程）需要注意什么？

生9：老師我來說，首先明確兩種坐標轉(zhuǎn)化的條件：極點與直角坐標系原點重合；極徑與直角坐標系的橫軸的非負半軸重合；兩種坐標系的單位長度相同；再考慮轉(zhuǎn)化時檢驗極點是否在曲線上，若在曲線上就是等價變形，否則不是等價變形.

師：說得好！極坐標系和直角坐標系都是一對有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點的位置方法，都是研究平面圖形的重要工具.有時根據(jù)需要進行兩種坐標系轉(zhuǎn)化，必須掌握這兩種坐標間的互化，注意互化公式和等價變形.將另一問題：如何從圓的極坐標方程中得出圓心和半徑留到課外，請大家思考？

……

五、教學反思

雖然極坐標教學過程中，產(chǎn)生了不少的困難、疑惑，但面對縣區(qū)學生、新教材、新課程和高考，一定要群策群力，想辦法解決問題.按照新課標、教材對坐標系的定位，只要精心設(shè)計教學，從學生的已有知識最近發(fā)展區(qū)入手，消除了對新課標教材安排的種種困惑（如個別教師只介紹兩種坐標系的互化公式，能夠做一些簡單地將極坐標方程與直角坐標方程公式互化的套用，沒有一點極坐標系的建系思想和方法），以此總結(jié)拋磚引玉，喚起同仁對新課標教材整體編排的思考.

1.突出極坐標原理，掌握極坐標教學的重點

要想很好地解決困惑，一定要明確極坐標的教學在數(shù)學教學中的地位和作用，抓住極坐標是什么，要解決什么.極坐標是選修部分的內(nèi)容，是表示空間點位置的一種方式方法，自然合理地從一個層面架起了代數(shù)與幾何溝通的橋梁，采用代數(shù)方法來刻畫幾何問題是極坐標的精髓，其鮮明的概括性、解決問題的指向性、應用的廣泛性和操作的具體性閃亮凸顯.

教學時要重點突出極坐標思想、原理，以教材提供的資源著重演繹極坐標思想方法，認真落實教材編排的意圖和目的，極力滲透新課標理念，讓教材編寫專家的編寫思路得到更好的體現(xiàn).尤其能夠在農(nóng)村縣區(qū)中學的學生更加深刻地理解不同坐標系的建立思想、方法，對解決數(shù)學問題的作用和價值，如對不同坐標系（直角坐標系、極坐標系）下的圓的方程有什么認識.

2.注重極坐標思路，突破極坐標教學的難點

選修模塊既為高考命題增加了素材，又為高考題的創(chuàng)新提供了背景和數(shù)學思想，教學時要研究高考試題，明確考綱中的重點和?？键c，在教學和復習時做到位.同時要高度重視和關(guān)注極坐標知識會與其他數(shù)學模塊結(jié)合，形成高考命題的生長點，這就是教學的難點，如極坐標中的極坐標原理、思路和結(jié)構(gòu)特征的表現(xiàn)是重中之重，都是以（ρ，θ）的結(jié)構(gòu)形式表現(xiàn)出來.只有明確幾何意義，才能更好地理解極坐標概念，掌握極坐標的應用.

3.強化極坐標思想，拓展學生的多元思維空間

《標準》既是編寫教材的依據(jù)，又是考試命題的依據(jù).學習極坐標一節(jié)時，要充分體現(xiàn)出平面內(nèi)對點位置的確定有許多方法，讓學生從不同的視角進一步地探究點線面的空間位置表示，拓寬思維空間和深度，讓極坐標的教學成為學生研究數(shù)學的敲門磚，圍繞學生的發(fā)展將難點分散，采取有效手段突破難點，在極坐標知識的層次性、相關(guān)性和系統(tǒng)性的基礎(chǔ)上探究數(shù)學本質(zhì).

1.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學選修4-4（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.宮前長.對稱樸實見奇異內(nèi)蘊深厚顯品位［J］.中學數(shù)學（上），2013（3）.

3.宮前長.磨課“磨”出更理性的數(shù)學課堂［J］.中國數(shù)學教育（高中版），2012（11）.

4.宮前長.“e”樣的背景異樣的精彩［J］.中學數(shù)學（上），2014（9）.F