李學(xué)鋒

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

一類帶投資和干擾的雙到達(dá)過程風(fēng)險(xiǎn)模型

李學(xué)鋒

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

研究了一類帶投資和干擾的雙到達(dá)過程風(fēng)險(xiǎn)模型，其中保費(fèi)收取為時(shí)間t的線性函數(shù)而兩種索賠均為復(fù)合Poisson過程，并考慮到投資和隨機(jī)干擾.利用鞅分析得到了該模型下的破產(chǎn)概率的Lundberg不等式及其精確表達(dá)式，利用微分和It公式得到了生存概率的積分微分方程，而且得出了當(dāng)索賠都服從指數(shù)分布時(shí)生存概率的微分方程.本文所得結(jié)果對保險(xiǎn)公司和保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)置預(yù)警措施可提供一定的理論依據(jù).

Poisson過程；破產(chǎn)概率；鞅；Lundberg不等式；It公式

自從1930年Cramer提出經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型后，風(fēng)險(xiǎn)理論便逐漸形成并發(fā)展起來，主要研究保險(xiǎn)事務(wù)中各種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率或生存概率.破產(chǎn)概率或生存概率也是衡量保險(xiǎn)公司穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，是管理風(fēng)險(xiǎn)的重要工具.破產(chǎn)概率高意味著保險(xiǎn)公司經(jīng)營不夠穩(wěn)定，這時(shí)保險(xiǎn)公司需要采取合理的措施提高其承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的能力，確保保險(xiǎn)公司能夠長期穩(wěn)定地發(fā)展下去.因此，為了更加符合保險(xiǎn)公司的實(shí)際需要，許多學(xué)者從不同的角度對經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了推廣和改進(jìn)，并用各種不同的方法計(jì)算或估算出破產(chǎn)概率或生存概率.文獻(xiàn)[1-3]考慮利率因素，對經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了推廣；文獻(xiàn)[4,5]將鞅理論用于破產(chǎn)概率的研究，促進(jìn)了破產(chǎn)理論的快速發(fā)展；文獻(xiàn)[6]中，Dufresne和Gerber研究了帶干擾的復(fù)合Poisson過程的風(fēng)險(xiǎn)模型；文獻(xiàn)[7-9]研究了索賠相關(guān)過程的風(fēng)險(xiǎn)模型；文獻(xiàn)[10]研究了帶投資的風(fēng)險(xiǎn)模型.

本文在上述工作的基礎(chǔ)上，考慮了帶投資和有隨機(jī)干擾的情形，建立了一種保險(xiǎn)可能引起兩種索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型.比如機(jī)動車保險(xiǎn)，發(fā)生事故后的保險(xiǎn)賠付可能有財(cái)產(chǎn)賠付(包括機(jī)動車和其它受損財(cái)產(chǎn))，還可能有人身傷害的賠付(包括受傷醫(yī)療費(fèi)和死亡賠付).利用鞅分析得到了該模型的破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式及最終破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式，并利用微分和It公式得到了生存概率的積分微分方程.

1 模型的定義

定義1 設(shè)(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機(jī)變量都定義在此空間)，則對于u≥0,t≥0，保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余為：

(1)

其中u≥0為保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金；a∈[0,1]為保險(xiǎn)公司根據(jù)初始準(zhǔn)備金及預(yù)測單位時(shí)間內(nèi)賠款額而設(shè)定的投資比例；j為單位時(shí)間內(nèi)的投資收益；c為保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收到的保險(xiǎn)費(fèi)；{M(t),t≥0}與{N(t),t≥0}分別為兩種索賠A和B的到達(dá)過程，即分別是保險(xiǎn)公司在[0,t]內(nèi)兩種索賠A和B發(fā)生的次數(shù)；Xk為索賠A的第k次索賠額；Yk為索賠B的第k次索賠額；{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，表示保險(xiǎn)公司不確定性收益和付款，σ>0為擾動系數(shù).

對上述模型做如下假設(shè)：

(1) {M(t),t≥0}與{N(t),t≥0}分別是參數(shù)為λ1,λ2的Poisson過程；

(2) {Xk,k=1,2,…}，{Yk,k=1,2,…}都為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)分別為F(x)和G(y),并假設(shè)它們的一、二階矩都存在,且E[Xk]=μ1,E[Yk]=μ2；

(3) {Xk,k=1,2,…}，{Yk,k=1,2,…}, {M(t),t≥0},{N(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互獨(dú)立.

(b-λ1μ1-λ2μ2)t>0，

定義2 保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最終破產(chǎn)概率為：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u},

則生存概率Ψ(u)=1-φ(u).

定義3 根據(jù)模型的假設(shè)，隨機(jī)變量Xk與Yk的矩母函數(shù)為：

(2)

顯然當(dāng)r→∞時(shí)，有mi(r)→∞，i=1,2.

2 相關(guān)引理

證明 (i)根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律知：

引理2 對于盈余過程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(3)

證明 E[e-rS(t)]=

引理3 方程g(r)=0存在唯一正解R.

g′(0+)=λ1μ1+λ2μ2-b<0,

所以當(dāng)r>0時(shí)g(r)是凸函數(shù)，又g(0)=0，且顯然有當(dāng)r→+∞時(shí)，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，記為R.此時(shí)稱g(r)=0為調(diào)節(jié)方程，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù).

(4)

引理5 破產(chǎn)時(shí)刻T是FS停時(shí)[12].

3 主要結(jié)果

定理1 風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率φ(u)滿足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u，

證明 由引理5知T是FS停時(shí)，取t0<∞，則易知T∧t0是FS停時(shí)，利用有界停時(shí)定理知：

e-ru=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(5)

又當(dāng)T<∞時(shí)，有u+S(T)≤0，所以e-r[u+S(T)]≥1，故：

定理2 風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率為：

(6)

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明 根據(jù)(5)式，取r=R,得：

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0),

(7)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律可知，當(dāng)t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收斂定理可知：

于是在(7)式兩端令t0→∞即得(6)式.

定理3 假設(shè)生存概率ψ(u)二次連續(xù)可微，則對任意u≥0，ψ(u)滿足積分微分方程：

(8)

且滿足邊界條件：

(9)

證明 令：

H(t)=u+bt+σW(t),

(10)

在充分小的時(shí)間段(0,t]內(nèi)，考慮(1)式所定義的風(fēng)險(xiǎn)過程U(t)，由于M(t)和N(t)都是Poisson過程，則在(0,t]內(nèi)有以下4種可能：

(i) M(t)和N(t)都沒有跳躍，其發(fā)生的概率為(1-λ1t)(1-λ2t)+o(t)；

(ii) M(t)有一個(gè)跳躍且N(t)沒有跳躍，其發(fā)生的概率為λ1t(1-λ2t)+o(t)；

(iii) M(t)沒有跳躍且N(t)有一個(gè)跳躍，其發(fā)生的概率為(1-λ1t)λ2t+o(t)；

(iv) 除上述外其他情況發(fā)生的概率為o(t)或0.

并注意到在(ii)和(iii)中，當(dāng)x>H(t)或y>H(t)時(shí)有：

ψ(H(t)-x)=0或ψ(H(t)-y)=0，

又由全概率公式有：

ψ(u)=(1-λ1t)(1-λ2t)E[ψ(H(t))]+

等價(jià)地，有：

(λ1+λ2)tE[ψ(H(t))]=E[ψ(H(t))]-

(11)

由(10)式有：

dH(t)=bdt+σdW(t)，

σψ′(H(t))dW(t),

即ψ(H(t))=

所以：

E[ψ(H(t))]=ψ(u)+

(12)

(11)式兩邊同時(shí)除以t，令t→0，同時(shí)利用(12)式得：

故(8)式成立.

在(8)式中令u→0，并由引理1即得(9)式.

推論 若F(x)和G(y)分別是參數(shù)為μ1與μ2的指數(shù)分布，生存概率ψ(u)二次連續(xù)可微，則對任意u≥0，ψ(u)滿足微分方程：

(λ1μ2+λ2μ1-bμ1μ2)ψ′(u)=

(13)

邊界條件同(9)式.

證明 由F(x)和G(y)分別是參數(shù)為μ1與μ2的指數(shù)分布知(8)式可化為：

令x1=u-x,y1=u-y，有：

(14)

(λ1μ1+λ2μ2)ψ′(u),

(15)

由(14)、(15)式即得(13)式.

4 結(jié)束語

本文提出的一類帶投資和干擾的雙到達(dá)過程風(fēng)險(xiǎn)模型具有很強(qiáng)的實(shí)際意義，非常接近保險(xiǎn)公司所經(jīng)營的一些業(yè)務(wù)，所得到的結(jié)果對保險(xiǎn)公司的自身設(shè)置預(yù)警措施提供了一定的理論指導(dǎo)意義，具有應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也能為保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)置相應(yīng)的監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)提供理論依據(jù).從最終破產(chǎn)概率可以看出，為確保保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營，一方面，保險(xiǎn)公司必須具備足夠的初始準(zhǔn)備金；另一方面，公司也不能一味為了提高市場份額而盲目降低保費(fèi)或高額承保.因此，保險(xiǎn)公司為減小風(fēng)險(xiǎn)，提高承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的能力，必須在獲得盡可能多的保單的同時(shí)，做好統(tǒng)計(jì)調(diào)查，以便厘定合理的保費(fèi)與索賠額；同時(shí)，保險(xiǎn)公司還需要考慮一些收益比較穩(wěn)定的投資項(xiàng)目，而且不能忽視一些隨機(jī)干擾對公司穩(wěn)定經(jīng)營的影響，往往這些因素也直接關(guān)系到保險(xiǎn)公司的生死存亡.當(dāng)然，保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營運(yùn)作情況可能更加復(fù)雜(例如公司的廣告宣傳、員工工資、房租、設(shè)備等等都需要公司進(jìn)行支付)，現(xiàn)有的風(fēng)險(xiǎn)模型(包括本文所建模型)都還有待進(jìn)一步改進(jìn)，而本文的思路、計(jì)算方法為以后的研究提供了有益的參考.

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A Kind of Double Arrival Process Risk Model
with Investment and Disturbance

Li Xuefeng

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we considered a kind of double arrival process risk model with investment and disturbance. In the model, the premium income is a linear function of timetand the two arrivals of the claims follow compound Poisson processes. Moreover, we took investment and random disturbance into account. Using martingale analysis, we obtained the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability. Using differential calculus andItformula, we obtained the integro-differential equation for survival probability. When the claims were exponentially distributed, we derived a differential equation for the survival probability. The results of this paper provide some theoretical guidance and have application values for the insurance companies and insurance regulatory authorities to set up early warning measures.

Poisson process；ruin probability；martingale；Lundberg inequality；Itformula

2015-08-11

李學(xué)鋒(1979-)，女，講師，碩士，研究方向：金融數(shù)學(xué)，E-mail: lxf@mail.scuec.edu.cn

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZQ14022)

O211；F840

A

1672-4321(2015)04-0132-04