段 汕,謝英華

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

一種基于傾斜投影的圖像分析方法

段 汕,謝英華

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

將Pyt′ev形態(tài)學(xué)中基于傾斜投影的絕對形狀和相對形狀的模型推廣到3個(gè)圖像空間,并運(yùn)用投影算子建立了3個(gè)圖像空間的絕對形狀和相對形狀的相關(guān)理論. 在此基礎(chǔ)上對不同圖像的形狀進(jìn)行了相關(guān)性和獨(dú)立性分析,得出了有關(guān)3個(gè)圖像空間的相對形狀的獨(dú)立指數(shù)和絕對形狀的連通指數(shù),這為圖像形狀的分析比較及圖像識別提供了有效的工具.

傾斜投影;絕對形狀;相對形狀;絕對形狀的連通指數(shù);相對形狀的獨(dú)立指數(shù)

隨著圖像形態(tài)分析方法的發(fā)展,新的方法和思想不斷被研究者提出. Pyt′ev形態(tài)學(xué)幾乎與Serra數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)同時(shí)被提出[1-4],它將圖像集合視為一個(gè)有限維的Hilbert空間,運(yùn)用向量代數(shù)和泛函分析等不同于Serra數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的一些基礎(chǔ)理論分析不同圖像空間的相關(guān)性和獨(dú)立性. Pyt′ev在文獻(xiàn)[2]中運(yùn)用投影算子,通過空間分解引入了絕對形狀和相對形狀的概念和理論,并在此基礎(chǔ)上提出了基于2個(gè)圖像空間的相關(guān)性及獨(dú)立性分析方法. 在該方法中,Pyt′ev用泛函分析的思想提出了相對形狀的獨(dú)立指數(shù)[2]和絕對形狀的連通指數(shù)[2],為分析不同圖像形狀間的連通性和獨(dú)立性提供了量化指標(biāo).

本文在Pyt′ev研究的基礎(chǔ)上,將2個(gè)圖像空間的情形推廣到3個(gè)圖像空間,運(yùn)用投影算子的理論建立了3個(gè)圖像空間的絕對形狀和相對形狀的相關(guān)理論,在一定條件下對3個(gè)圖像空間進(jìn)行了相關(guān)性和獨(dú)立性分析,并同時(shí)提出了有關(guān)3個(gè)圖像空間的相對形狀的獨(dú)立指數(shù)和絕對形狀的連通指數(shù),為分析圖像間的形狀相關(guān)性及相對獨(dú)立性提供了重要的量化研究方法.

1 預(yù)備知識

Pyt′ev在文獻(xiàn)[2]中給出了兩個(gè)圖像空間L(1)和L(2)的相關(guān)性和獨(dú)立性分析, 其中:

(1)

在(1)式中:

在L(1)的場景中出現(xiàn)一個(gè)新目標(biāo)的情形下, 它表現(xiàn)為如下形式:

i=0,1,…,n}.

(2)

依據(jù)文獻(xiàn)[2],將f(i)(i=1,2,3)稱作圖像f的絕對形狀.L(1),L(2)和L(3)稱作圖像的絕對形狀空間[2].

2 圖像空間的直和分解

2.1 相對形狀

L(1),L(2)和L(3)作為L的3個(gè)子空間,依據(jù)以下方式可產(chǎn)生下列7個(gè)子空間:

(4)

2.2 傾斜投影

由(4)式,對任意的f∈L,有:

(5)

在式(5)中定義算子S(1,2,3),S(1,2),S(2,3),S(3,1),S(1),S(2),S(3)如下.

在文獻(xiàn)[2]中,以上7個(gè)投影算子也被稱作圖像的相對形狀. 由以上分析表示,在已知基底的情形下,對圖像的相對形狀的描述關(guān)鍵在于獲取(5)式中的系數(shù).

3 投影構(gòu)造與相關(guān)性分析

3.1 傾斜投影構(gòu)造

(5)式中的各個(gè)系數(shù)為:

若設(shè)A是向量組

b=

可知以上系統(tǒng)可以表示為矩陣方程:

Ax=b.

(6)

通過求解矩陣方程(6),我們可以得到基于7個(gè)子空間基底的圖像的傾斜投影表示.

3.2 相關(guān)性分析

為了分析矩陣A,將A分塊為:

.

i≠j,m≠n,i,j,m,n=1,2,3.

則A中的分塊矩陣和Qij有如下對應(yīng)關(guān)系:

A11=Q1,2:m=1,n=2;A12=Q1,2:m=2,n=3;

A13=Q1,2:m=3,n=1;A14=Q1,2:m=n=1;

A15=Q1,2:m=n=2;A16=Q1,2:m=n=3;

A21=Q2,3:m=1,n=2;A22=Q2,3:m=2,n=3;

A23=Q2,3:m=3,n=1;A24=Q2,3:m=n=1;

A25=Q2,3:m=n=2;A26=Q2,3:m=n=3;

A31=Q3,1:m=1,n=2;A32=Q3,1:m=2,n=3;

A33=Q3,1:m=3,n=1;A34=Q3,1:m=n=1;

A35=Q3,1:m=n=2;A36=Q3,1:m=n=3;

A41=Q1,1:m=1,n=2;A42=Q1,1:m=2,n=3;

A43=Q1,1:m=3,n=1;A44=Q1,1:m=n=1;

A45=Q1,1:m=n=2;A46=Q1,1:m=n=3;

A51=Q2,2:m=1,n=2;A52=Q2,2:m=2,n=3;

A53=Q2,2:m=3,n=1;A54=Q2,2:m=n=1;

A55=Q2,2:m=n=2;A56=Q2,2:m=n=3;

A61=Q3,3:m=1,n=2;A62=Q3,3:m=2,n=3;

A63=Q3,3:m=3,n=1;A64=Q3,3:m=n=1;

A65=Q3,3:m=n=2;A66=Q3,3:m=n=3.

(7)

(8)

(9)

(10)

由(8),(9)式相乘得:

即detB21·B12=det(A42·A24)·det(A53·A35)·det(A61·A16).因

A24=

所以

同理可得:

對B21·B12的結(jié)構(gòu)的研究,以下分2種情況：

情況一:

由以上關(guān)系式可知隨著連通部分增加,則δ越小. 若對⑵式做以上研究則可以得到相同的結(jié)果.

情況二:

由上可知,若同時(shí)滿足以上3個(gè)條件,則B21·B12=0和|A|=|B22|, 其中

綜上所述,由格拉姆矩陣的性質(zhì)知δ∈(0,1],而且δ越大則表明7個(gè)相對部分獨(dú)立性越強(qiáng). 比如當(dāng)δ=1,7個(gè)相對部分完全相對獨(dú)立;隨著δ→0,可知7個(gè)相對部分是幾乎完全相互連通. 因此把δ=

將con=con(L(1),L(2),L(3))=

稱為L(1),L(2)和L(3)絕對形狀的連通指數(shù).顯然有con∈[0,4]. 且隨著con增大,L(1),L(2)和L(3)連通部分越來越大. 當(dāng)con=4時(shí),它們是相互包含的;而當(dāng)con=0時(shí),它們是完全相互獨(dú)立的.

以上結(jié)果可以總結(jié)為定理1、定理2.

定理2 基于3個(gè)圖像空間的連通指數(shù)con=con(L(1),L(2),L(3)),它滿足:

(a) con∈[0,4];

4 結(jié)束語

本文在相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上, 運(yùn)用投影算子的理論建立了3個(gè)圖像空間的絕對形狀和相對形狀的相關(guān)理論,給出了3個(gè)圖像空間的相對形狀的連通指數(shù)和絕對形狀的獨(dú)立指數(shù)的具體形式,分析了不同圖像形狀間的連通性和獨(dú)立性. 由于涉及的數(shù)據(jù)較多,對有關(guān)3個(gè)圖像空間的相對形狀的矩陣分析時(shí),本文只對幾種特殊情形進(jìn)行了分析. 對一般情況下的研究,有待進(jìn)一步深入.

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An Image Analysis Method Based on the Oblique Projection

Duan Shan, Xie Yinghua

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

This paper generalizes the model of absolute forms and relative forms based on oblique projections in Pyt′ev morphology to three image spaces, and uses projection operator to establish the relative theory of absolute forms and relative forms in the three image spaces. Then the paper analyses the correlation and independence about different shapes, and obtains the index of morphological independence of relative forms and the index of morphological connection of absolute forms. The results provide an effective tool for image shape comparison and image recognition.

oblique projection; absolute form; relative form; index of morphological connection of absolute form; index of morphological independence of relative form

2015-11-27

段 汕(1962-),女,教授,博士,研究方向:數(shù)學(xué)應(yīng)用方法與圖像處理,E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374085)

O143

A

1672-4321(2015)04-0103-06