鐘 琪，劉貴杰，王安憶，翟元壯

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東青島266100)

0 引言

隨著工業(yè)的發(fā)展，各種并聯(lián)機(jī)構(gòu)不斷被設(shè)計出來并應(yīng)用于多個領(lǐng)域。其中，Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)是在1985年法國Reymond Clavel 教授設(shè)計出的一款新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，根據(jù)機(jī)構(gòu)動靜平臺呈三角形而命名為Delta 機(jī)構(gòu)［1］。Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)只有3 個移動自由度，具有工作空間大、正解運(yùn)動學(xué)簡單、定位精度高等特點(diǎn)。通過運(yùn)動副衍變可以得到移動副驅(qū)動的Delta 機(jī)構(gòu)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)在并聯(lián)式3D 打印機(jī)產(chǎn)品中獲得了廣泛的應(yīng)用。同時，該類型3D 打印機(jī)以價格低廉、結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn)已占據(jù)了部分市場。為此，對3P-Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行詳盡的研究具有現(xiàn)實(shí)意義。

為滿足該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的具體設(shè)計要求，本研究對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了詳盡的運(yùn)動學(xué)分析。其中，關(guān)鍵問題是工作空間分析和機(jī)構(gòu)優(yōu)化。工作空間分析的方法是解析法和搜索法。在工作空間分析基礎(chǔ)上，筆者取其內(nèi)切圓柱體為設(shè)計空間并推導(dǎo)出其度量參數(shù)公式。當(dāng)工作空間滿足要求時，機(jī)構(gòu)的操作性能還應(yīng)達(dá)到設(shè)計要求。因此，本研究提出以雅克比矩陣的條件數(shù)積分和工作空間高度作為目標(biāo)函數(shù)的機(jī)構(gòu)優(yōu)化思路。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析

典型的Delta 機(jī)構(gòu)的輸入驅(qū)動為3 個轉(zhuǎn)動副。當(dāng)轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動半徑趨于無窮大時，轉(zhuǎn)動副會衍變?yōu)橐苿痈?，即得到移動副?qū)動的Delta 機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)如圖1所示。根據(jù)衍變關(guān)系，本研究將該機(jī)構(gòu)命名為3P-Delta 機(jī)構(gòu)。

圖1 3P-Delta 機(jī)構(gòu)

3P-Delta 機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺和3 條完全相同的支鏈組成，利用3 條支鏈來連接動靜平臺，結(jié)構(gòu)如圖2所示。單個運(yùn)動支鏈?zhǔn)怯? 個球鉸與桿件構(gòu)成的平行四邊形閉環(huán)，該閉環(huán)一條邊與驅(qū)動滑塊相連，一條邊與動平臺相連。3 組平行四邊形閉環(huán)確保了動平臺與靜平臺的平行，消除了動平臺的轉(zhuǎn)動自由度，而保留了3 個移動自由度［2］。

圖2 機(jī)構(gòu)簡圖

根據(jù)機(jī)構(gòu)學(xué)理論，該機(jī)構(gòu)自由度數(shù)F 可以利用Kutzbach-G˙r ˙ubler 公式計算得到，如下:

式中:n—運(yùn)動構(gòu)件數(shù)目，g—運(yùn)動副數(shù)目，fi—第i 運(yùn)動副具有的自由度數(shù)。

計算自由度時應(yīng)將4 個球鉸中的兩個按虎克鉸考慮以消除連桿繞自軸轉(zhuǎn)動的局部自由度。運(yùn)動構(gòu)件數(shù)目n=11，運(yùn)動副數(shù)目g=15，移動副有一個自由度，虎克鉸有兩個自由度，球鉸有3 個自由度。將其代入式(1)可得到該機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目F=3。

由于閉環(huán)結(jié)構(gòu)消除了轉(zhuǎn)動自由度，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3 個移動自由度，即動平臺能在三維空間中實(shí)現(xiàn)平動。

2 機(jī)構(gòu)的約束方程

機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示。本研究在該機(jī)構(gòu)上建立兩個坐標(biāo)系。其中，靜坐標(biāo)系O -XYZ 原點(diǎn)固定在靜平臺的幾何中心，動坐標(biāo)系O' -X'Y'Z'原點(diǎn)固定在動平臺的幾何中心，其中Z 軸和Z'軸分別垂直于靜平臺和動平臺。Y 軸和Y'軸分別垂直于B1B2和P1P2。

從動桿是圖中的EiPi，長度記為La。移動副滑動的距離是為圖中的BiEi，長度記為-λi。靜平臺外接圓半徑|OBi| =R，動平臺外接圓半徑|O'Pi| =r，矢量OBi與X 軸的夾角記為ηi。

根據(jù)|PiEi| =La，可推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的約束方程。記R1=R-r，機(jī)構(gòu)的約束方程可化簡為:

式中:ηi=(4i-3)π/6，(i=1，2，3)。

可看出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為從動桿長La和動靜平臺半徑差R1。

3 位置反解及正解

機(jī)構(gòu)約束方程可視為關(guān)于λi的一元二次方程:

可見Ui、Vi均為已知量，求解上述方程，可得:

式(4)即是該機(jī)構(gòu)的位置反解公式，即給定動平臺的位置，可求出驅(qū)動滑塊的位移。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)是所有分支機(jī)構(gòu)同時接受驅(qū)動器輸入，而最終共同給出輸出。因此，對正解而言，該機(jī)構(gòu)的約束方程為一個含有3 個未知數(shù)，3 個非線性方程的方程組。由于方程組的復(fù)雜性，其位置正解的求解極其復(fù)雜，甚至無法得到解析解。但由于3P-Delta機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)約束方程較簡單，研究者可利用Matlab 軟件求解出該機(jī)構(gòu)的正解公式。

4 工作空間分析

工作空間是評價機(jī)構(gòu)性能的重要指標(biāo)之一。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的大小和形狀受到限制的因素有:運(yùn)動副活動空間的限制;約束機(jī)構(gòu)的限制;奇異位置;連桿之間的相互干涉。本研究采用解析法和搜索法兩種方法進(jìn)行該機(jī)構(gòu)的工作空間分析。

4.1 解析法

在解析法中，先不考慮運(yùn)動副活動空間的限制，那么主要的約束條件是機(jī)構(gòu)的約束方程。

將機(jī)構(gòu)約束方程式(2)進(jìn)行變形，可得:

即:

其中:一個不等式表示單運(yùn)動支鏈約束的空間區(qū)域是一個長度無限的圓柱體區(qū)域。該圓柱體的軸線方程為

，圓柱體半徑為La。

該機(jī)構(gòu)有3 條運(yùn)動支鏈，則運(yùn)動空間是3 個圓柱體相交的公共區(qū)域——曲面三棱柱，工作空間三維示意圖如圖3所示。

圖3 工作空間三維示意圖

曲面三棱柱是該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)空間。該區(qū)域是一個不規(guī)則的形狀，不便于采用參數(shù)來描述。為方便實(shí)際應(yīng)用和衡量，本研究取該區(qū)域的內(nèi)切圓柱作為該機(jī)構(gòu)的設(shè)計空間。

可推導(dǎo)出該內(nèi)切圓柱體的半徑為:

即為:

其中一個不等式表示單支鏈的球鉸擺角約束的空間，是兩條平行直線的內(nèi)側(cè)區(qū)域，直線斜率Ki=tanηi。則球鉸約束的工作空間如圖4所示。

圖4 受球鉸約束的工作空間

可看出受球鉸約束的工作空間為六棱柱體，其內(nèi)切圓柱體的半徑為:

該公式說明在一定范圍內(nèi)工作空間的內(nèi)切圓柱體半徑只和從動桿桿長有關(guān)，與動靜平臺半徑無關(guān)。

綜上，內(nèi)切圓柱體的半徑應(yīng)為:

4.2 搜索法

在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，該機(jī)構(gòu)的工作空間還受導(dǎo)軌長度限制。研究者可采用圓柱坐標(biāo)搜索法尋找工作區(qū)域的邊界。本研究采用Matlab 軟件編寫搜索程序，其搜索框圖如圖5所示。

圖5 工作空間搜索框圖

該搜索程序的核心是反解公式和約束條件。其中，已經(jīng)得到了反解公式。約束條件主要應(yīng)考慮的是導(dǎo)軌長度和球鉸轉(zhuǎn)動角度的限制。分析可得，導(dǎo)軌長度限制了工作空間在垂直方向上的延伸;而球鉸擺動角度限制了工作空間在水平面上的延伸。

先不考慮球鉸擺動角度的限制，僅考慮導(dǎo)軌長度的限制，則應(yīng)滿足:

Matlab 程序搜索得到的工作空間如圖6所示。

圖6 受導(dǎo)軌限制后的工作空間

由于導(dǎo)軌的限制，工作空間是上下端有變形的曲面三棱柱，和解析法結(jié)論一致。其中，上端變形很陡，下端變形較緩。

設(shè)導(dǎo)軌長度為L，曲面三棱柱的3 個側(cè)面均是圓柱面，其半徑為桿長La，即連桿處于水平位置。因此，當(dāng)機(jī)構(gòu)從側(cè)面運(yùn)動至開始變形的邊界位置時，至少有一個連桿處于水平位置?？筛鶕?jù)邊界位置推導(dǎo)出未因?qū)к壪拗贫冃蔚墓ぷ骺臻g高度:

由于下端變形較緩，在允許誤差值為δ 的空間變形的情況下，下端增加的工作空間高度為:

因此，總工作空間高度為:

再考慮球鉸轉(zhuǎn)動角度的限制，搜索得到的工作空間如圖7所示。可看出工作空間是上下端有變形的六棱柱，和解析法結(jié)論一致。

綜上，內(nèi)切圓柱體半徑r0和工作空間高度H 可作為度量參數(shù)來描述工作空間的大小。

圖7 同時受到導(dǎo)軌和球鉸限制的工作空間

5 機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣

5.1 機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣

速度正解公式:

圖8 支鏈?zhǔn)噶繄D

設(shè)在坐標(biāo)系O -XYZ 中矢量可得到雅克比矩陣為:

5.2 雅克比矩陣的條件數(shù)

通常將雅克比矩陣的條件數(shù)作為機(jī)構(gòu)操作性能的指標(biāo)，稱為機(jī)構(gòu)的靈活度。條件數(shù)的定義為:

式中:λmax，λmin—矩陣JTJ 的最大和最小特征值。條件數(shù)的值越小，即趨近于1，機(jī)構(gòu)的操作性能越好?？傻玫綏l件數(shù)在工作區(qū)域截面上的分布情況如圖9所示。

圖9 條件數(shù)的對數(shù)等高線圖

由于矩陣運(yùn)算的特點(diǎn)和計算誤差，條件數(shù)的分布有小幅的波動。由圖9 可知，條件數(shù)在中心區(qū)域有最小值，邊界處有最大值，即機(jī)構(gòu)在中心區(qū)域操作性能較好。

6 機(jī)構(gòu)優(yōu)化

本研究以雅克比矩陣的條件數(shù)在給定工作空間的平均數(shù)來評價機(jī)構(gòu)的操作性能［3］，即:

在本次設(shè)計中，設(shè)計空間w 為一個圓柱體，而且條件數(shù)在每個截面上的分布都一致。因此，可將積分區(qū)域簡化，即:

式中:w—設(shè)計空間的水平截面，即圓域。

為方便積分，本研究將J 中的坐標(biāo)(x，y)變換為極坐標(biāo)(R，θ)，有如下關(guān)系:

上述積分轉(zhuǎn)化為:

本研究選定球鉸，即最大擺動角度確定，取16°。由式(9 ～10)，當(dāng)r2＜r1時，工作空間的內(nèi)切圓半徑只和最大擺角與從動桿長有關(guān)。選定桿長La=300 mm，則積分區(qū)域確定，半徑為82.7 mm。此時，可取積分G(J)來評價機(jī)構(gòu)的操作性能。

優(yōu)化變量為動靜平臺半徑差R1，取優(yōu)化區(qū)間為［140，220］。導(dǎo)軌長度取為450 mm，可得到積分G(J)和工作空間高度H0變化趨勢，機(jī)構(gòu)優(yōu)化曲線如圖10所示。

圖10 機(jī)構(gòu)優(yōu)化曲線

由圖10 可知，機(jī)構(gòu)的條件數(shù)積分起初隨平臺半徑差增大而減小，而當(dāng)可達(dá)空間接近積分區(qū)域時，條件數(shù)積分開始增大。工作區(qū)間高度的變化曲線出現(xiàn)了極小值。綜合考慮，選取平臺的半徑差R1=205 mm。

因此，當(dāng)選定最大擺角為16°的球鉸并要求工作空間半徑為82.7 mm 時，最優(yōu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)可確定為:桿長La=300 mm、平臺的半徑差R1=205 mm。

7 結(jié)束語

本研究明確了移動副驅(qū)動的Delta 機(jī)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)是從動桿長La和平臺半徑差R1。根據(jù)分析，實(shí)際工作空間還受導(dǎo)軌長度和球鉸擺動角度的限制。為量化工作空間的大小，本研究取工作空間的內(nèi)接圓柱體作為設(shè)計空間，并推導(dǎo)出工作空間的度量參數(shù):半徑r0、高度H。為滿足對操作性能和工作空間的設(shè)計要求，筆者提出了以雅克比矩陣的條件數(shù)積分和工作空間高度H0為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行該機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計的思路。

本研究為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計提供了參考和理論依據(jù)。在工程應(yīng)用中，根據(jù)實(shí)際設(shè)計要求，可利用工作空間度量參數(shù)公式和雅克比矩陣的條件數(shù)確定該機(jī)構(gòu)最優(yōu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。其中，筆者推導(dǎo)出的工作空間度量參數(shù)能較完善地描述該機(jī)構(gòu)的工作空間，具有推廣價值。

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