孫寶玉，田洪東，孫相臣，王 寧

(1.長春工業(yè)大學機電工程學院，吉林長春130012;2.吉林省紅石國有林管理分局，吉林吉林132423)

0 引言

隨著世界經濟的迅速發(fā)展，市場競爭日益激烈，新的技術革命不斷取得進展。為了取得市場上的競爭力，促使產品越來越向小批量、高質量、低成本的方向發(fā)展，具有復雜曲面的產品越來越多［1］。

復雜曲面零件廣泛應用于軍事、航空航天和某些高科技領域，一般都需要具有極高的幾何形狀精度和極低的表面粗糙度，復雜曲面加工技術與裝備的研究成為現代精密制造的研究重點［2］。

近十幾年來，隨著計算機技術和現代控制理論等相關技術的不斷發(fā)展，以數控加工為代表的柔順加工手段不斷完善，實現了復雜曲面的自動化形狀加工。與此同時，國內外的學者提出了很多新的研拋方法，例如氣囊研拋［3］、電流變研拋［4］、磁流變研拋［5］等。目前，高精度復雜曲面多采用研拋工藝作為最終的加工工序［6］，所以研拋工藝對工件的表面粗糙度起著至關重要的作用。但是在曲面拋光中，拋光工具曲率與被拋光曲面曲率不一致是普遍現象［7］。

本研究以五軸聯(lián)動超精密研拋加工設備為平臺，對研拋過程進行分析，根據Preston 理論，從工件與研拋工具頭在工作過程中的相對速度入手，根據復雜曲面上每一研拋點的去除量要求和相鄰兩點之間的位置關系，分別建立復雜曲面的去除函數模型、加工模型和殘差模型，為實際的曲面研拋過程提供理論依據。

1 復雜曲面五自由度研拋加工設備

筆者研究的復雜曲面研拋加工模型是基于五軸研拋加工設備建立的，實物圖如圖1所示。

圖1 復雜曲面研拋加工設備

該設備主要包括:

一個X、Y、Z 軸三平動自由度的精密數控平臺，一個氣浮轉臺，限制工件繞Z 軸旋轉的自由度，一個高精密擺臺，限制工件繞Y 軸擺動的自由度，一個氣浮電主軸。

研拋時電主軸裝夾在Z 軸上，加工時研拋工具自身旋轉，并同時隨Z 軸升降，電主軸微進給實現微量材料去除，工件固定在旋轉工作臺上。

復雜曲面加工曲率變化的時候，通過控制擺動臺的角度，使工件法線方向與研拋工具主軸方向一致。其主要特征是研拋工具繞Z 軸作高速回轉，可沿X 軸和Z 軸移動;工件沿Y 軸運動，繞擺動臺的B 軸擺動，繞Z 軸轉動;研拋工具相對于工件沿預先設置的路徑運動，并主動調整研拋工具與工件之間的相對姿態(tài)，以獲得均勻的面形精度加工表面質量。

2 研拋加工模型的建立

2.1 去除理論基礎

曲面研磨拋光技術已成為高質量模具制造、化學機械設備的研磨拋光以及導軌焊縫的磨削等各類需要獲得較高表面質量的零件制造業(yè)的薄弱環(huán)節(jié)［8］。

復雜曲面零件的研拋加工受多種因素的影響，控制定量的去除比較困難。一直以來，研究人員一直在尋找材料去除量與各影響因素之間的相互作用關系，但到目前為止，描述最成功就是Preston［9］在1927年提出的Preston 方程，指出在一定范圍內，復雜曲面的加工過程可以看作是一個線性的過程，其材料去除量模型為:

式中:Δv(x，y，t)—工件表面任意點(x，y)上的材料去除量;t(x，y)—該點上研拋頭駐留的時間;P(x，y，t)—任意時刻作用于研拋點上的法向壓力;v(x，y，t)—任意時刻研拋頭與工件研拋點處的相對速度;Cp—Preston 系數，它是與加工溫度、工件與研拋頭材料、拋光液等工藝參數有關，而和壓力、速度無關的實常數。

根據該假設，定義去除函數為加工過程中，磨頭在單位時間內的平均材料去除量，即:

式中:T—加工周期。

設磨頭在點(x，y)處的駐留時間函數為D(x，y)，則磨頭在工件表面速度變化時，工件材料去除量的函數E(x，y)與R(x，y)，D(x，y)的關系為:

式(3)表明:

在工件加工過程中，材料的去除量等于磨頭的去除函數R(x，y)與駐留時間函數D(x，y)在整個加工區(qū)域的二維卷積。

2.2 去除函數模型的建立

基于本研究采用的研拋機構，精確控制擺動臺擺動，筆者在實現接觸點與所選取點重合的基礎上，使得去除深度達到每一點的法向去除量。

加工過程中研拋頭與工件位置如圖2所示。

圖2 加工中研拋頭與工件位置圖

圖2 中，擺臺一次擺動的角度為Δθ，Δθ 可根據復雜曲面的口徑及所取點的個數來求得。在第n 次脈沖擺動下，拋光工具的軸線與工件軸線夾角為nΔθ，工件與拋光工具接觸點P(Xn，0，Yn)，在接觸點，工件的線速度為v1，拋光工具上線速度為v2，接觸點速度關系圖，即位置關系如圖3所示。

圖3 接觸點速度關系圖

本研究以復雜曲面的曲率半徑的原點為原點，建立坐標系σ(O:X，Y，Z)，如圖2所示:PO =R，即復雜曲面每一研拋點的半徑，∠POZ=nΔθ。

為了便于分析，筆者把上述運動看做為工件位置固定，只有一個轉動，相對來說，拋光工具是擺動的，每擺一次擺角為Δθ，同時工件與拋光工具的接觸點也隨著擺角的增大，在圓弧上逆時針移動，接觸點速度關系圖如圖3所示。

下面以P 點為原點，建立接觸點坐標系。

令OX 不動，將坐標系σ 沿X 軸偏移－O'N，其中O'N=RsinnΔθ，再沿著OZ 偏移ON，ON=RcosnΔθ，于是在新坐標系σ'(O':X'，Y'，Z')，OO' =R。

坐標系σ'與σ 采用的是平移的坐標變換關系:

在加工過程中因為研拋工具自轉，工件自轉的同時還有一個繞Y 軸的擺動，兩者相互作用形成曲面，如圖2所示。

設工件自轉的速度為ω1，拋光工具自轉速度為ω2，擺動臺的擺動速度為ω3，O'X'與OZ 交點為N，ON =r1=RcosnΔθ。

于是得到，在原坐標系σ 下:

在實際加工過程中，速度是3 個方向的綜合值，即:

把所求的vx，vy，vz代入，整理得:

由于公式太復雜，通過引入符號進行簡化:g =ω2/ω1，f1=r2/R，則:

為了更進一步地簡化，本研究根據實驗設備實測數據，取:ω1=300，ω2=3 000，ω3=1，R =80，r2=10，g=10，f1=1/8，K=1，P=1，式(9)變?yōu)?

設nΔθ=φ，取HΔθ=π/4，則:

3 復雜曲面的加工進給模型建立

圖4 去除特性曲線

理論上，磨頭是沿著復雜曲面表面各點的法線方向進給，本研究采用了球形研拋工具頭，在加工過程中研拋工具頭沿X，Z 兩個方向進給，復雜曲面加工表面與研拋工具的圓弧接觸，隨著研拋工具頭的進給，從點接觸到面接觸。

研拋頭與工件進給關系圖如圖5所示。

圖5 研拋頭與工件進給關系圖

當研拋工具頭向下進給，隨著磨削深度的增加，直到球面在加工點的法向磨削深度達到預先求得的加工深度時停止，此時研拋工具頭進給量在復雜曲面上的投影如圖5所示。

P 點為研拋工具頭與被加工工件初始接觸點，隨著研拋工具頭的進給，P 點兩邊圓弧長度等長度逐漸增大，PN 為P 點的法向去除高度，當PN=Δn時，研拋工具頭完成進給量PP1，這時的幾何關系如圖5所示。

根據余弦定理可知:

式中:h—研拋工具頭每一次的進給量。

這樣，隨著加工過程中精密擺動臺的每一次擺動，擺動角度增加Δθ，從加工的初始點依次移動，在復雜曲面形狀給定的情況下，本研究根據復雜曲面表面所取點的個數來設定Δθ，在確定復雜曲面形狀的情況下，就可以得到每個加工點的進給量h。

4 復雜曲面加工殘差模型建立

在加工過程中，精密擺動臺精確控制擺角來調整加工位置，每一次脈沖擺動的角度為Δθ，在殘差模型建立過程中，以球形研拋工具頭擺動為例，每一次的擺動角度為Δθ，這樣本研究通過選取相鄰的兩個加工位置來說明研拋工具頭在加工過程中留下的殘差。

研拋頭與工件殘差圖如圖6所示。

圖6 研拋頭與工件殘差圖

由圖6 可知，在加工過程中，研拋工具頭在Pn－1，Pn點的位置關系，在實際加工時，研拋工具頭沿Z 軸上下運動，由精密擺動臺的擺動來實現工件表面各加工點的相對移動。

為了便于說明問題，假設工件不動，由研拋工具頭的相對擺動來實現加工，擺動的角度與精密擺動臺的每一次脈沖擺動一致，即每一次擺動角為圖6 中O?為研拋工具頭在加工點Pn－1與Pn時擺動徑向軸線的交點，其中研拋工具頭端面半徑為r2，在磨削深度達到Pn－1，Pn點要求深度之后，兩端部圓弧的交點為C，連接OS，OS 與復雜曲面投影的交點為C，CS 即為Pn－1，Pn點加工時的殘差，CS =ε，根據最小殘差原則(在保證精度與效率的前提下，殘差最小)。可以選取加工時研拋工具頭走的步長，即。

在實際加工過程中，由于各種因素影響，例如各點的曲率半徑的變化，研拋工具頭本身存在的誤差等等，C 點并不一定為Pn－1P 弧的中點，但是殘差ε 通常都是非常小的，誤差更是微小，于是筆者在這里假設C點是Pn－1P 的中點，連接O″n－1C，O″nC。有:

式中:R—復雜曲面的曲率半徑，Δn－1—點Pn－1的曲率半徑，Δn—點Pn的曲率半徑。

于是，OC=R－(Δn－1+Δn)/2。根據圖6 關系可以得到O″n－1S=O″nC=r2。在三角形OSO″n－1中，已知角1/2Δθ，根據余弦定理可以得到:

為了簡化式(15)，假設:

解一元二次方程，得到:

求解復雜曲面加工過程中的殘差同樣可以反過來作用于加工精度，當得到的殘差大于所要求的精度值時，可以減小步長，即相鄰加工點之間的距離，這樣可以減小殘差，但是步長越小，意味著加工的次數越多，加工時間越長，從效率與精度的方面綜合考慮，通過復雜曲面加工過程中的殘差模型建立，給加工步長的選擇提供了有力的理論依據。

5 實驗驗證

根據前面所建立的模型，本研究采用如圖7所示的變螺旋線軌跡對如圖8所示的凸面鏡進行研拋，凸面鏡的底面直徑是10 cm。變螺旋線軌跡規(guī)劃方法的優(yōu)點是可以根據曲率的不同，在不同區(qū)域選取合理的行距，使軌跡分布合理。本研究采用的步長是2 mm。

圖7 變螺旋線軌跡

圖8 研拋凸面鏡

本研究采用光學輪廓儀Veeco 對工件進行放大20 倍的粗糙度測量，獲得了表面粗糙度為Ra ＜0.04，證明了本研究所建立的模型的正確性和可行性。

由實驗結果可知，在研拋過程中，規(guī)劃的軌跡并沒有與實際的研拋軌跡完全重合，分析原因，主要有以下幾點:

(1)設備控制誤差;

(2)工件裝夾和安裝誤差;

(3)曲面擬合誤差;

(4)研拋頭的實際加工半徑和計算半徑的誤差。

6 結束語

隨著現代人們對復雜曲面質量的要求提高，帶動了復雜曲面加工設備的進一步發(fā)展。本研究根據Preston 理論，在五軸復雜曲面研拋裝置中，從工件與研拋工具頭在工作過程中的相對速度入手，推導出了復雜曲面加工的去除函數模型，加工進給模型，并進一步推得殘差模型，根據殘差模型驗證數控加工選擇步長的合理性，并以一個凸面鏡工件為例進行了實驗測試。實驗結果表明，本研究獲得了較好的表面質量，說明所建立的曲面研拋加工模型的正確性和實用性。

本研究中采用的是K9 玻璃的凸透鏡，在后續(xù)的研究中，應該逐步把所建立的模型應用到不同的材料、不同形狀的工件和不同形狀的研拋頭中去，使所建立的模型更加具有普遍性。

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