廖金萍

【摘 要】本文給出了多項(xiàng)式矩陣及逆矩陣的定義以及求多項(xiàng)式矩陣逆矩陣的三種方法。

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式矩陣;逆矩陣

矩陣是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，在自然科學(xué)，工程技術(shù)乃至社會(huì)科學(xué)中均有廣泛應(yīng)用，而矩陣的求逆是矩陣?yán)碚撝醒芯康闹匾獑栴}。本文將教學(xué)中有關(guān)多項(xiàng)式矩陣的逆矩陣的求法通過例題的方式作一些總結(jié)。

一、預(yù)備知識(shí)

（1）逆矩陣定義：n階方陣A，如果有n階方陣B，使得AB=BA=E（E是n階的單位矩陣），則A可逆，且A逆記為A-1，A-1=B.

（2）多項(xiàng)式矩陣定義：設(shè)f（x）=a0xn+a1xn-1+…+am，將x換成n階方陣A，則f（A）=a0An+a1An-1+…+amE稱為A的多項(xiàng)式矩陣。

二、求多項(xiàng)式矩陣逆矩陣的傳統(tǒng)方法

求多項(xiàng)式矩陣f（A）的逆矩陣，一般可用待定系數(shù)法和分解因式法：

1.因式分解法求逆矩陣

例1：設(shè)A2-A-6E=0，證明A+3E可逆并求其逆.

解A2-A-6E=A2+3A-4E-6E=A（A+3E）-4（A+3E）+6E=（A-4E）（A+3E）+6E=0即- 1-6 （A-4E）（A+3E）=E，故（A+3E）-1=- 1-6 （A-4E）

2.待定系數(shù)法求逆矩陣

例2：設(shè)A2-A-6E=0，證明A+3E可逆并求其逆.

解：由待定系數(shù)法可設(shè)（A+3E）（A+aE）=bE，即A2+（3+a）A+（3a-b）E=0

因?yàn)锳2-A-6E=0，比較系數(shù)可得：

，

解得，a=-4，b=-6

則（A+3E）-1= 1-b （A+aE）=- 1-6 （A-4E）.

三、求多項(xiàng)式矩陣逆矩陣的特殊方法——多項(xiàng)式除法求逆矩陣

定理1：設(shè)A為一個(gè)n階矩陣，C為復(fù)數(shù)域，f（x），g（x）∈C[x]，f（A）=0，則g（A）可逆的充要條件是（f（x），g（x））=1，此時(shí)有u（x），v（x）∈C[x]，使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，且[g（A）]-1=v（A），特別地，當(dāng)g（x）為一次多項(xiàng)式時(shí)，利用f（x）=g（x）q（x）+r（r是非零常數(shù)）可得g（A）q（A）=-rE，即[g（A）]-1=- 1-r q（A）.

例3：設(shè)A2-A-6E=0，證明A+3E可逆并求其逆.

解：設(shè)f（x）=x2-x-6，g（x）=x+3利用多項(xiàng)式除法得：f（x）=（x-4）（x+3），所以[g（A）]-1=（A+3E）-1=- 1-6 （A-4E）

參考文獻(xiàn)：

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[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)附冊(cè)（學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解） [M].北京：高等教育出版社，2009