杜秀華 劉雙新 宋玉杰 韓國有

(東北石油大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院)

單螺桿式水力機械是石油化工和鉆采機械領(lǐng)域中常用的水力機械，如單螺桿泵、單螺桿鉆具及單螺桿油氣混輸泵等。它們都是依靠一對螺桿-襯套副的嚙合來實現(xiàn)液體傳輸或動力傳遞的，因此螺桿-襯套副的滑動速度是影響其磨損程度和使用壽命的重要因素之一。早在20世紀(jì)80年代蘇義腦等就對短幅內(nèi)外擺線型螺桿-襯套副的線型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，形成了螺桿-襯套副線型的基本理論[1～3]。20世紀(jì)90年代萬邦烈等通過理論和試驗方法研究了螺桿-襯套副的嚙合理論與優(yōu)化設(shè)計方法[4～6]。2000年以后許多學(xué)者進(jìn)行了螺桿-襯套副的運動仿真和有限元計算，并取得了一定的成果[7～9]，但對螺桿-襯套副運動學(xué)方面的研究僅限于對結(jié)構(gòu)簡單的單頭普通內(nèi)擺線型螺桿-襯套副螺桿在襯套內(nèi)的運動軌跡和運動規(guī)律進(jìn)行分析，針對螺桿-襯套副滑動速度的研究尚無報道，為此筆者對多頭短幅內(nèi)擺線型螺桿-襯套副的線型設(shè)計、運動分析和滑動速度的計算方法進(jìn)行系統(tǒng)的研究。

1 螺桿-襯套副的線型設(shè)計

螺桿-襯套副的空間共軛問題可轉(zhuǎn)化為平面共軛曲線副的相對運動問題[10]，因此對螺桿-襯套副的嚙合狀況和運動分析可集中在其橫截面上。螺桿和襯套的橫截面曲線簡稱線型或型線。短幅內(nèi)擺線型螺桿-襯套副的線型設(shè)計首先形成一條短幅內(nèi)擺線作為襯套骨線，再利用外滾法形成螺桿骨線，最后分別向外側(cè)取骨線的等距線，形成螺桿-襯套副的線型。

首先采用無包心法形成Nw頭的短幅內(nèi)擺線作為襯套骨線R(θ)，其復(fù)矢量方程為[10]：

R(θ)=R2(Nejθ+Ke-jNθ)

(1)

式中K——變幅系數(shù)，0

N——螺桿頭數(shù),N=Nw-1；

R2——滾圓半徑，mm；

θ——導(dǎo)圓滾角，0≤θ≤2π。

形成短幅內(nèi)擺線的導(dǎo)圓半徑R1與滾圓半徑R2的關(guān)系為：

R1=NwR2

(2)

再采用外滾法，即以R(θ)的包心法導(dǎo)圓做動瞬心圓，攜帶R(θ)沿定瞬心圓外側(cè)做純滾動，R(θ)運動軌跡的內(nèi)包絡(luò)線即為螺桿骨線，如圖1所示，其中動瞬心圓半徑R″與定瞬心圓半徑R′分別為：

R″=NwKR2

(3)

R′=NKR2

(4)

圖1 外滾法形成螺桿骨線

因此動瞬心圓與定瞬心圓的偏心距E(即螺桿-襯套副的偏心距)為：

E=R″-R′=KR2

(5)

綜上，只要給定短幅內(nèi)擺線型螺桿-襯套副的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，即螺桿頭數(shù)N、偏心距E和變幅系數(shù)K，就可確定螺桿-襯套副的骨線，并滿足共軛條件。再給出等距半徑或等距半徑系數(shù)，則可設(shè)計出螺桿-襯套副的線型。

2 螺桿-襯套副的運動分析

螺桿-襯套副的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：短幅內(nèi)擺線型，變幅系數(shù)K=0.8，偏心距E=5mm，螺桿頭數(shù)N=3，等距半徑系數(shù)r0=2。根據(jù)上述線型設(shè)計方法得出螺桿-襯套副的線型如圖2所示。圖中曲線Z1、Z2、Z3分別表示螺桿的骨線、定瞬心圓和線型，曲線D1、D2、D3分別表示襯套的骨線、動瞬心圓和線型。為方便分析，在圖2中建立兩個復(fù)平面參考坐標(biāo)系，其中1-O1-j的原點位于襯套型線的幾何中心，且與襯套固連，為靜坐標(biāo)系；1-O2-j的原點位于螺桿型線的幾何中心上，且與螺桿固連，為動坐標(biāo)系。

圖2 螺桿-襯套副嚙合的初始狀態(tài)

單螺桿式水力機械工作時一般螺桿旋轉(zhuǎn)，襯套不動，即定瞬心圓攜帶螺桿骨線和型線在動瞬心圓內(nèi)做純滾動，稱為第一種嚙合運動，它可分解為兩種運動(圖3)：

a. 螺桿中心O2繞襯套中心O1做半徑為E的公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)角為φ1，公轉(zhuǎn)角速度為ω1，方向逆時針，螺桿的滾角為φ，滾角速度為ω，方向順時針，公轉(zhuǎn)角與滾角的關(guān)系為φ1=-Nφ/(N+1)；

b. 螺桿繞自身中心O2做自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)角φ2為公轉(zhuǎn)角與滾角的代數(shù)和，自轉(zhuǎn)角速度為ω2，方向為順時針，即φ2=φ/(N+1)。

圖3 第一種嚙合運動時間t時的嚙合狀態(tài)

螺桿-襯套副在嚙合過程中，螺桿骨線上的3個尖點將依次連續(xù)地劃過襯套骨線，這3個接觸點相對于螺桿來說是固定的，稱為固定接觸點(如點N)；螺桿與襯套骨線間還有一個接觸點(E點)，它沿襯套邊界逆時針流動，稱為流動接觸點。與螺桿骨線尖點對應(yīng)的一段型線(圓弧)，即螺桿的齒凸，其上的各點將依次與襯套型線接觸，因此對于型線來說，不存在固定接觸點，但流動接觸點仍然存在。為敘述問題方便，將型線的這兩類接觸點稱為螺桿齒凸接觸點(H、K、R點)和螺桿齒凹接觸點(S點)，簡稱為齒凸接觸點和齒凹接觸點。

當(dāng)φ>0的瞬時，螺桿齒凸與襯套齒凹由線接觸變?yōu)辄c接觸，螺桿的速度瞬心P沿定瞬心圓逆時針移動，而齒凸接觸點K(還有H、R)沿襯套輪廓順時針移動，齒凹接觸點S沿襯套輪廓逆時針移動；φ由0增大到π的過程中，瞬心到齒凸接觸點的距離PK逐漸增大到最大值；φ由π增大到2π的過程中，PK逐漸減小，直到螺桿齒凸又一次與襯套的下一個齒凹變?yōu)榫€接觸，完成螺桿與襯套嚙合的一個周期。由此可見，螺桿和襯套要完成一個循環(huán)的嚙合，螺桿導(dǎo)圓的滾角應(yīng)為(N+1)2π。

3 螺桿-襯套副滑動速度的計算方法

3.1齒凸接觸點的滑動速度

外滾法形成螺桿-襯套副時相當(dāng)于螺桿不動，襯套做行星運動，稱為第二種嚙合運動，它可分解為兩種運動(圖4)：

a. 襯套中心O1繞螺桿中心O2做半徑為E的公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)角φ1w，公轉(zhuǎn)角速度ω1w，方向為逆時針，襯套的滾角φw，滾角速度為ωw，方向為順時針，襯套的公轉(zhuǎn)角與滾角的關(guān)系為φ1w=-Nwφ/(Nw-1);

b. 襯套繞自身中心O1自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)角φ2w為公轉(zhuǎn)角與滾角的代數(shù)和，自轉(zhuǎn)角速度為ω2w，方向仍為逆時針，即φ2w=-φw/(Nw-1)。

圖4 第二種嚙合運動時間t時的嚙合狀態(tài)

單螺桿式水力機械一般是螺桿旋轉(zhuǎn)，襯套不動，因此為了方便利用短幅內(nèi)擺線型理論推導(dǎo)螺桿-襯套副的滑動速度，則要推出兩種嚙合運動的參數(shù)關(guān)系。圖3、4表示的是利用兩種運動形式達(dá)到相同嚙合狀態(tài)，由嚙合原理不難得到關(guān)系式φw=-φ1，φ1w=-φ，φ2w=-φ2。

由圖3可知，齒凸接觸點(如K點)的相對滑動速度Vt的表達(dá)式為：

Vt=PK×ω2

(6)

由幾何矢量關(guān)系得：

PK=O1K-O1P

(7)

O1K=O1N+NK

(8)

則：

Vt=(O1N+NK-O1P)ω2

(9)

其中，O1N為固定接觸點N在靜坐標(biāo)系1-O1-j中的運動軌跡，即定子骨線；NK為等距半徑矢量；O1P為襯套導(dǎo)圓半徑矢量。

θ角和滾角φ的關(guān)系由短幅內(nèi)擺線型固定接觸點的φ函數(shù)確定，φ函數(shù)為[10]：

φw=-Nθ+2Tπ，0<θ<2π，T=0，1，2，…，N-1

(10)

φw與固定接觸點對應(yīng)，若只考慮螺桿骨線第一個尖點的運動軌跡，令T=0，則：

θ=-φw/N

(11)

由此可知：

θ=-φ/(N+1)

(12)

固定接觸點的運動軌跡即為襯套骨線，方向順時針，則矢量方程為：

R(θ)=R2(Ne-jθ+KejNθ)

(13)

由此可知：

(14)

等距半徑矢量NK為：

(15)

(16)

P點是兩導(dǎo)圓做純滾動時的速度瞬心，因此：

O1P=R2(N+1)Kejφ1

(17)

結(jié)合上式，可得：

(18)

整理得齒凸接觸點的相對滑動速度為：

(19)

式(19)中滾角φ為順時針方向，為了在分析問題時，給φ代入正值，將φ前加上負(fù)號，式(19)變形為：

(20)

將K=1分別代入式(20)、(16)，整理后可得到普通內(nèi)擺線型螺桿-襯套副間齒凸接觸點的相對滑動速度為：

(21)

3.2齒凹接觸點的滑動速度

螺桿-襯套副在嚙合過程中，齒凹接觸點只有一個(S點)，如圖3所示。該點的滑動速度Va表示為：

Va=PS×ω2

(22)

由幾何矢量關(guān)系得：

PS=O1E+ES-O1P

(23)

其中，O1E為螺桿骨線流動接觸點在靜坐標(biāo)系1-O1-j中的運動軌跡；ES為等距半徑矢量。

螺桿骨線流動接觸點的運動軌跡即襯套骨線，方向逆時針，則有：

(24)

等距半徑矢量：

ES=R2r0ejα=rejα

(25)

(26)

其中，α表達(dá)式前的正負(fù)號依據(jù)具體情況而定，應(yīng)遵循等距向量朝外的原則。

θ和滾角φ的關(guān)系由短幅內(nèi)擺線型流動接觸點的φ函數(shù)確定，φ函數(shù)為[10]：

φw=-Nθ+2β+2Tπ，0≤θ<2π,T=0,1,2,…,N-1

(27)

(28)

整理式(27)、(28)，并取T=0(只分析第一頭)得：

Nφ/(N+1)=-Nθ+2β

(29)

(30)

由此可見，θ與φ之間無法用初等函數(shù)來表達(dá)，只能利用數(shù)值分析方法，繪制φ曲線接觸圖，進(jìn)而分析確定θ與φ的數(shù)值關(guān)系。

將式(18)、(24)、(25)分別代入式(22)、(23)得齒凹接觸點的滑動速度為：

(31)

式中的α和θ由式(26)、(29)、(30)確定，都用滾角φ表達(dá)。

將K=1代入式(26)、(30)并利用三角函數(shù)變換，得：

α=±(π/2)-(N-1)θ/2

(32)

β=(N+1)θ/2

(33)

將式(33)代入式(29)得φ與θ的關(guān)系為：

θ=-Nφ/(N+1)

(34)

將式(32)、(34)代入式(31)得到普通內(nèi)擺線型螺桿-襯套副齒凹接觸點的滑動速度為：

(35)

φ角為順時針，為了在分析問題時，給φ代入正值，則在φ前加上負(fù)號，則公式(35)變形為：

(36)

4 滑動速度計算公式的應(yīng)用

4頭普通內(nèi)擺線型螺桿-襯套副，設(shè)其偏心距E=10mm，等距半徑系數(shù)r0=1，自轉(zhuǎn)角速度ω2=π/10rad·s-1，滾角速度ω=π/2rad·s-1，公轉(zhuǎn)角速度ω1=2π/5rad·s-1。將數(shù)據(jù)分別代入式(21)、(36)，并將滾角φ用時間t表示(φ=ωt)得：

(37)

(38)

利用MATLAB軟件將式(37)、(38)生成曲線如圖5、6所示。

圖5 齒凸接觸點的滑動速度曲線

圖6 齒凹接觸點的滑動速度曲線

由曲線可知，齒凸接觸點的滑動速度在襯套內(nèi)凹處最小，在襯套內(nèi)凸中點處最大；齒凹接觸點的滑動速度在離開襯套內(nèi)凹處的瞬間最大，在襯套內(nèi)凸中點最小；齒凹接觸點的滑動速度的最大值是齒凸接觸點的滑動速度的最小值；齒凸接觸點的嚙合周期是齒凹接觸點的N倍。

5 結(jié)論

5.1單螺桿式水力機械中螺桿-襯套副的線型形成原理和過程較復(fù)雜，所涉及到的參數(shù)較多，分析確定了形成短幅內(nèi)擺線型螺桿-襯套副線型所需的基本參數(shù)。

5.2分析了螺桿-襯套副的嚙合過程與規(guī)律，定義了螺桿-襯套副骨線間的固定接觸點和流動接觸點，以及螺桿-襯套副型線間的齒凸接觸點和齒凹接觸點。

5.3推導(dǎo)出了短幅(普通)內(nèi)擺線型螺桿-襯套副齒凸接觸點和齒凹接觸點的相對滑動速度公式，并通過具體應(yīng)用得出了螺桿-襯套副在嚙合過程中齒凸接觸點和齒凹接觸點滑動速度的變化規(guī)律。

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