楊興明， 朱 建， 高銀平， 許東昌

（合肥工業(yè)大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

輪式移動機器人是一種典型的具有非完整約束的系統(tǒng)，因其具有廣泛的應(yīng)用前景和理論意義引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1－6］。近年來，根據(jù)基于的模型不同，移動機器人路徑跟蹤的研究可以分為基于運動學(xué)模型和動力學(xué)模型2種研究方式?；谶\動學(xué)模型的研究主要是以速度作為控制量使真實軌跡和參考軌跡之間的誤差收斂到0，研究的是速度和參考軌跡之間的關(guān)系。基于動力學(xué)模型控制器反映的是控制電壓和速度之間的關(guān)系，能夠比較真實地反應(yīng)移動機器人的控制規(guī)律。

文獻［7－8］基于動力學(xué)模型，利用自適應(yīng)的方法實現(xiàn)了三輪移動機器人的路徑跟蹤?？紤]到雙輪移動機器人比三輪或四輪機器人具有更好的機動性和靈活性，體積更小，尤其是在擁擠的空間，更能體現(xiàn)其靈活性，雙輪移動機器人的路徑跟蹤也同樣具有很高的研究價值。

本文針對雙輪移動機器人的研究首先建立系統(tǒng)的運動學(xué)模型和動力學(xué)模型，并針對運動學(xué)模型通過反演技術(shù)設(shè)計運動學(xué)控制器，進而考慮到系統(tǒng)的不確定性和跟蹤速度與姿態(tài)平衡控制欠驅(qū)動的特點，基于動力學(xué)模型設(shè)計了分層滑?？刂破鳎詈笸ㄟ^Matlab仿真驗證該控制方法的有效性。

1 雙輪移動機器人模型的建立

（1）雙輪移動機器人的運動學(xué)模型。在機器人移動的區(qū)域內(nèi)建立笛卡爾坐標(biāo)系（Oxy），選擇移動機器人2個驅(qū)動輪軸線的中點坐標(biāo)（xc，yc）作為參考點，則機器人的位姿可以描述為：p＝［xc，yc，θ］T，其中θ為機器人的方向角。假設(shè)機器人運動滿足純滾動無滑動的約束條件，則根據(jù)文獻［9］可以得到系統(tǒng)的運動學(xué)方程：

其中，vc、ωc分別為小車運動速度和轉(zhuǎn)彎角速度。

（2）雙輪移動機器人的動力學(xué)模型。圖1所示為雙輪平衡機器人的簡化模型。其中，R表示車輪半徑；l表示車體重心到電機軸線之間的距離；D表示兩輪之間的距離。

下文中用到的符號含義如下：x、v表示車底盤中心的位移和速度；δ表示擺桿與豎直方向的角度；θ、ω表示車體繞豎直方向旋轉(zhuǎn)的角度和角速度；Mp、mr分別表示車體質(zhì)量和小輪的質(zhì)量；Jr、Jp、Jθ分別表示小輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量、車體繞電機軸的轉(zhuǎn)動慣量和車體繞擺桿的轉(zhuǎn)動慣量；φ表示斜坡角度，在這里取0；；Km、Ke表示電機的力矩系數(shù)和電機的反電動勢系數(shù)；ul、ur表示左右輪的控制電壓；cl、cr表示左右電機的輸出轉(zhuǎn)矩。

圖1 雙輪移動機器人的簡化模型

［10］，利用牛頓力學(xué)的建模方法對系統(tǒng)建模，可以得到與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的方程組，即

定義X＝［δ，x，，v，θ，ω］T為狀態(tài)變量，對（2）式進行線性化后，利用電機的輸出轉(zhuǎn)矩和控制電壓的關(guān)系c＝Km（u－K），把狀態(tài)方程中控制量cl、cr轉(zhuǎn)化為由電機的輸入電壓ul、ur作為控制量。然后定義ul＝0.5uv＋0.5uω，ur＝0.5uv－0.5uω，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中

其中，uv（t）、uω（t）為控制輸入；fv（X，t）、fδ（X，t）、fω（X，t）不確 定 部 分 分 別 為 Δfv（X，t）、Δfδ（X，t）、Δfω（X，t），假設(shè)系統(tǒng)不確定部分上界已知，且滿足｜Δfv（X，t）｜≤ΔFv，｜Δfδ（X，t）｜≤ΔFδ，｜Δfω（X，t）｜≤ΔFω；dv（t）、dδ（t）、dω（t）為界干擾且滿足條件｜dv（t）｜≤Dv，｜dδ（t）｜≤Dδ，｜dω（t）｜≤Dω。

由于系統(tǒng)的平衡角度難以大范圍可控，因此必須對系統(tǒng)平衡角度的控制范圍進行分析，系統(tǒng)平衡角度的臨界值可以定義為δ0，當(dāng)δ的變化超過δ0時，即使電機對系統(tǒng)施加最大的力矩，也不能使系統(tǒng)回到平衡點附近。當(dāng)｜δ｜＝δ0時，機器人平衡角度的變化速率＝0，假設(shè)機器人兩輪的運動速度是相同的，則可以得到系統(tǒng)的綜合邊界條件為：

把（4）式代入（2）式中前2個式中的任意一個，例如代入第1個式中并假設(shè)兩電機的最大扭轉(zhuǎn)力矩相同為Cm，可得：

將各參數(shù)值代入（5）式并由電機的最大扭轉(zhuǎn)力矩Cm＝6.8N·m，可以求得系統(tǒng)平衡角度的控制范圍為：－27.6°≤δ≤27.6°。

2 雙輪移動機器人控制器的設(shè)計

圖2所示為雙輪機器人的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其中，pd＝［xd，yd，θd］T表示參考位姿；ep＝［ex，ey，eθ］T表示跟蹤誤差；Vc＝［vc，ωc］T為運動學(xué)控制器輸出的控制速度和角速度；e＝［ev，eω］T表示動力學(xué)控制器對Vc的跟蹤誤差；eδ為機器人平衡角度δ的跟蹤誤差，在機器人的運動過程中希望其能夠保持豎直，所以取δd＝0；u＝［uv，uω］T表示動力學(xué)控制器的輸出電壓，由于機器人的欠驅(qū)動特點uv控制機器人的速度v和平衡角度的變化速率，uω控制機器人的轉(zhuǎn)彎角速度ω；V＝［v，ω］T表示機器人的實際速度和轉(zhuǎn)動角速度；p＝［xc，yc，θ］T表示機器人的實際位姿。

圖2 雙輪移動機器人系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.1 運動學(xué)控制器的設(shè)計

在固定的坐標(biāo)系內(nèi)系統(tǒng)的位姿誤差為：

通過反演法設(shè)計控制器，步驟如下。

（1）引入虛擬量α。根據(jù)（1）式有：

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對V1求導(dǎo)，并把（7）式代入可得：

則需設(shè)計虛擬量α滿足如下條件：

其中，C1＞0；C2＞0。則由（10）式可得線速度vc和虛擬控制量α為：

（2）定義z＝α－θ，實現(xiàn)θ跟蹤α。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

對（12）式求導(dǎo)：

取角速度ωc的控制率為：

則有：

2.2 動力學(xué)控制器的設(shè)計

雙輪移動機器人的動力學(xué)系統(tǒng)可以分為平衡控制系統(tǒng)、速度控制系統(tǒng)和轉(zhuǎn)彎角速度控制系統(tǒng)3個子系統(tǒng)，由于其平衡控制子系統(tǒng)和速度控制子系統(tǒng)由同一個控制電壓uv來控制，所以具有欠驅(qū)動的特點，為了避免復(fù)雜的解耦過程，本文采用分層滑?？刂破骺刂茩C器人的平衡角度δ和運動速度v，采用傳統(tǒng)的滑模控制器控制機器人的轉(zhuǎn)彎角速度。

定義ev＝vc－v，eω＝ω－ωc，eδ＝－δ，設(shè)計第1層滑模面為：

其中，λδ、λv、λω為待設(shè)計正的滑模面常系數(shù)。

對（16）式求導(dǎo)，并結(jié)合（3）式可以得到：

為了使得平衡控制子系統(tǒng)和速度控制子系統(tǒng)趨近各自的滑模面，令δ＝0，v＝0，先不考慮dδ、dv對系統(tǒng)的影響，則每個子系統(tǒng)的等效控制律可以取為：

為了使得平衡角度δ和運動速度v跟蹤誤差都為0，則根據(jù)第1層滑模面（16）式定義第2層滑模面：

其中，λ為正常數(shù)。取趨近率：

結(jié)合（18）式、（19）式可設(shè)計系統(tǒng)的控制律為：

其中，kv、kω為切換項增益，為正常數(shù)。增加系統(tǒng)的切換項主要是為了提高控制器的抗干擾能力。

為了證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在系統(tǒng)的可控范圍內(nèi)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

則對V3求導(dǎo)，然后結(jié)合（17）～（19）式和（22）式可得：

由（23）式可知：

所以＜0，則系統(tǒng)的滑動模態(tài)存在且可達，系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了抑制傳統(tǒng)滑?？刂破饔捎诳刂坡实牟贿B續(xù)性導(dǎo)致的抖振問題，在滑模面附近引入邊界層，用脈沖函數(shù)取代不連續(xù)的符號函數(shù)。此時控制律為：

脈沖函數(shù)sat（·）被定義為：

其中，μ為邊界層寬度。

3 仿真結(jié)果

3.1 仿真參數(shù)的選取

通過簡化模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程：

外界的干擾主要由路面的不平整引起，當(dāng)?shù)孛娴钠露葹?°，造成的干擾為dθ＝1.377 1，dx＝－0.903 8。

（2）控制器中的參數(shù)取值。λv、λδ、λω、λ的選擇決定了滑模面的性能特征，本文參考文獻［11］采用零極點配置的方法選取λω＝1.520，λδ＝3.975 3，λv＝0.862 3，λ＝1.744。其他參數(shù)：kω＝6，μ＝10，kv＝15，C1＝0.5，C2＝0.5，C3＝2。

3.2 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文所提出算法的有效性，在加入系統(tǒng)不確定性干擾的條件下，利用本文設(shè)計的控制器對雙輪機器人進行軌跡跟蹤控制仿真。

（1）直線軌跡的跟蹤。假設(shè)給定的參考軌跡是一條起始點為（0，0）、斜率為π／4的直線。機器人的初始位姿為（0.2，0，π／3），初始姿態(tài)角度為8.6°，在t＝20s時引入5°坡造成的脈沖干擾dθ、dx。在0～30s的時間內(nèi)對參考曲線以0.1m／s的速度進行跟蹤仿真，結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3 0～30s內(nèi)移動機器人平面運動曲線

圖4 0～30s移動機器人的位姿誤差

從圖4的位姿誤差曲線可以看出，移動機器人在6s內(nèi)跟蹤誤差收斂到0，對直線具有良好的跟蹤性能，在20s時引入外界干擾，系統(tǒng)仍可以穩(wěn)定跟蹤參考曲線。

2008年后，隨著中國地質(zhì)調(diào)查局新一輪區(qū)域化探項目的實施[1]，青海省第五地質(zhì)礦產(chǎn)勘查院承擔(dān)并完成了青海柴達木盆地周緣的區(qū)域化探掃面工作，并在該區(qū)新圈定了一大批面積大、強度高、具有找礦前景的化探異常[2]，通過對少數(shù)地球化學(xué)異常檢查，新發(fā)現(xiàn)夏日哈木等礦(床)點數(shù)十處[3]，極大的推動了該區(qū)的地質(zhì)找礦工作。但該景觀區(qū)的化探方法技術(shù)研究工作較少[4-6]，這使得人們對該區(qū)的化探采樣工作更加關(guān)注。

從圖5的仿真曲線可以看出，移動機器人自身在4s內(nèi)達到平衡，在5s內(nèi)速度達到并保持在0.1m／s。

綜上所述，本文設(shè)計的控制方法可以在保持雙輪移動機器人自身平衡的同時穩(wěn)定地跟蹤期望的直線軌跡。

（2）圓軌跡的跟蹤。假設(shè)給定的參考軌跡的圓方程為：x2＋y2＝1，其起始點為（1，0），機器人的初始位姿為（0.8，0，0），初始姿態(tài)角度δ為8.6°，在t＝40s時引入5°坡造成的脈沖干擾dθ、dx。在0～70s的時間內(nèi)對參考曲線以0.1m／s的速度進行跟蹤仿真，結(jié)果如圖7～圖10所示。

從圖8的位姿誤差曲線可以看出，移動機器人在8s內(nèi)跟蹤誤差收斂到0，在20s時引入外界干擾，系統(tǒng)仍可以穩(wěn)定跟蹤參考曲線，說明系統(tǒng)對圓具有良好的跟蹤性能。

圖5 0～30s機器人的平衡角度和速度

圖6 0～30s控制電壓

圖7 0～70s移動機器人平面運動曲線

圖8 0～70s移動機器人的位姿誤差

圖9 0～70s機器人的平衡角度和速度

圖10 0～70s控制電壓

從圖9的仿真曲線可以看出，移動機器人在5.5s內(nèi)達到姿態(tài)平衡，在7.5s內(nèi)速度達到0.1m／s。

綜上所述，本文設(shè)計的控制方法可以在保持雙輪移動機器人自身平衡的同時穩(wěn)定地跟蹤期望的圓軌跡。

4 結(jié)束語

本文針對雙輪機器人的路徑跟蹤問題，把系統(tǒng)的控制分為運動學(xué)控制和動力學(xué)控制2個部分。在動力學(xué)控制中，由于系統(tǒng)的姿態(tài)平衡和跟蹤速度的欠驅(qū)動特點，本文采用分層滑?？刂破鲗崿F(xiàn)對跟蹤速度和姿態(tài)平衡的控制。在加入系統(tǒng)不確定性干擾的條件下，對直線軌跡和圓軌跡的跟蹤控制進行仿真，仿真結(jié)果表明該控制方法可以控制雙輪移動機器人在保持姿態(tài)平衡的同時實現(xiàn)軌跡的精確跟蹤。

［參考文獻］

［1］ Morin P，Samson C.Control of nonholonomic mobile robots based on the transverse function approach［J］.Robot，2009，25：1058－1073.

［2］ Fukao T，Nakagawa H，Adachi N.Adaptive tracking control of a nonholonomic mobile robot［J］.Robot，2000，16：609－615.

［3］ 郁 伉，肖本賢，李艷紅.受非完整性約束的移動機器人路徑跟蹤算法［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，33（9）：1315－1319.

［4］ 楊 芳，王朝立.不確定非完整移動機器人的軌跡跟蹤控制［J］.控制工程，2012，19（2）：258－261.

［5］ Buccieri D，Perritaz D，Mullhaupt P，et al.Velocity－scheduling control for a unicycle mobile robot：theory and experiments［J］.Robot，2009，25：451－458.

［6］ Coelho P，Nunes U.Path－following control of mobile robots in presence of uncertainties［J］.Robot，2005，21：252－261.

［7］ Fukao T，Nakagawa H，Adachi N.Adaptive tracking control of a nonholonomic mobile robot［J］.Robotics and Automation，2000，16（5）：609－615.

［8］ Pourboghrat F，Karlsson M P.Adaptive control of dynamic mobile robot with nonholonomic constraints［J］.Computers and Electrical Engineering，2002，28：241－253.

［9］ Jiang Z P，Nijmeijer H.Tracking control of mobile robots：a case study in backstepping［J］.Automatica，1997，33（7）：1393－1399.

［10］ 陳 星，魏衡華，張玉斌.兩輪行走倒立擺系統(tǒng)的建模與魯棒方差控制［J］.計算機仿真，2006，23（3）：263－266.

［11］ Ackermann J，Utkin V.Sliding mode control design based on Ackermann's formula［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1998，43（2）：234－237.