齊 琦， 陳明生， 吳先良， 劉 藝

（1.合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230061；2.合肥師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，安徽 合肥 230061）

矩量法（MOM）是求解微分方程和積分方程的一種重要方法［1］，自提出后已廣泛應(yīng)用于計(jì)算電磁學(xué)。然而，隨著電大尺寸目標(biāo)的計(jì)算需求增加，MOM的諸多缺陷也被人們發(fā)現(xiàn)，如計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，內(nèi)存占用較大等。為了克服該方法的缺陷，多種快速算法應(yīng)運(yùn)而生。具有代表性的有自適應(yīng)積分法（AIM）［2］、共軛梯度快速傅里葉變換法（CG－FFT）［3］、快速多極子法（FMM）等［4－7］，其中FMM效果尤為顯著。

MOM在電磁散射計(jì)算問(wèn)題中，需將散射體表面離散成多個(gè)單元來(lái)表示電流元，通過(guò)格林函數(shù)來(lái)嚴(yán)格表述場(chǎng)單元與源單元之間的相互作用，生成一個(gè)稠密的阻抗矩陣。而FMM則采用遠(yuǎn)場(chǎng)近似的思想，避免阻抗矩陣的直接生成，從而節(jié)約了計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存消耗。雖然FMM在計(jì)算復(fù)雜度上有了很大的優(yōu)化，但是對(duì)于較大的電大尺寸目標(biāo)的計(jì)算，仍需較多的時(shí)間和內(nèi)存。因此，如何進(jìn)一步優(yōu)化成為必要的研究課題。

離散小波變換（DWT）［8］作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在計(jì)算電磁學(xué)中，常應(yīng)用于阻抗矩陣的稀疏化預(yù)處理。本文將該技術(shù)與FMM結(jié)合，在計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)組作用時(shí)加入DWT，使得矩陣中的某些元素比其他元素小，并忽略它們以使解聚和聚集矩陣稀疏化，從而加速積分方程的求解；通過(guò)對(duì)不同幾何形態(tài)的二維電大理想導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射特性進(jìn)行分析，驗(yàn)證了DWT－FMM 方法的正確性。

1 導(dǎo)體目標(biāo)的矩量法解

在外加電場(chǎng)激勵(lì)二維導(dǎo)體圓柱的情況中，柱體產(chǎn)生了感應(yīng)面電流Jz，同時(shí)所有的線性電流元Jzdl又疊加產(chǎn)生了一個(gè)散射場(chǎng)，即

由導(dǎo)體表面C上電場(chǎng)切向分量為0的邊界條件

得到積分方程：

其中，（ρ）為已知的激勵(lì)源；Jz為未知的感應(yīng)面電流；k為波數(shù)。采用脈沖函數(shù)為基函數(shù)將積分方程離散，并以狄拉克函數(shù)作檢驗(yàn)函數(shù)。為此，將柱體輪廓C分為N個(gè)單元ΔCn。脈沖函數(shù)的定義為：

對(duì)Jz采用脈沖基函數(shù)展開(kāi)得到：

將（5）式代入（3）式，并在每個(gè) ΔCm的中點(diǎn)（xm，ym）滿足所得方程，便得到矩陣方程：

其中，Zmn為阻抗矩陣；an為待求的表面電流系數(shù)向量。Zmn中的元素按（7）式計(jì)算：

其中，ΔCn為每個(gè)單元的長(zhǎng)度；γ＝1.781 07為歐拉常數(shù)。若阻抗矩陣是非奇異的，即Zmn－1存在，則電流系數(shù)向量可由（8）式解得：

并由（9）式求得目標(biāo)的RCS，即

2 DWT技術(shù)的一般應(yīng)用

在求解大型稠密的矩陣方程問(wèn)題中，為了降低計(jì)算的復(fù)雜度，將矩陣稀疏化是慣用的思路。DWT是一種有效的稀疏化方法，在計(jì)算電磁學(xué)中，常用于MOM的阻抗矩陣預(yù)處理技術(shù)。以（6）式為例進(jìn)行小波變換得：

其中，W是小波變換矩陣，為正交陣；WH表示W(wǎng)的共軛轉(zhuǎn)置；WWH＝I，I為單位矩陣。經(jīng)（10）式處理后可以得到：

由于小波變換的性質(zhì)，在變換后的阻抗矩陣中，有很大一部分元素與另一部分相比，會(huì)顯得很小。這些很小的元素是矩陣中的高頻分量，包含的信息量很小。若此時(shí)設(shè)定一個(gè)合適的閾值，將小于閾值的矩陣元素全部置0，阻抗矩陣便得到了稀疏。在得到矩陣方程（11）式的解后，對(duì)其作小波逆變換an＝WH，便得到了原方程（6）式的近似解。

W的構(gòu)造過(guò)程如下：

小波濾波器具有α階消失矩，其系數(shù)為h（k），k＝0，1，2，…，2α－1，k取其他值時(shí)，h（k）＝0，濾波器寬度為m＝2α。

其中，HN、GN是（N／2）×N的矩陣，分別由長(zhǎng)度為N的向量［h（2α－1），…，h（2），h（1），h（0），0，…，0］和［－h(huán)（0），h（1），－h(huán)（2），…，（－1）j＋1h（j），…，h（2α－1），0，…，0］以2為周長(zhǎng)圓周移位得到，由其結(jié)構(gòu)可知，W是一個(gè)非常稀疏的矩陣，且隨著N的增大，其稀疏化程度會(huì)越來(lái)越高。

3 DWT－FMM

在外加電場(chǎng)Eiz激勵(lì)二維理想導(dǎo)體圓柱的情況中，傳統(tǒng)FMM將柱體輪廓上的N個(gè)單元分成G組，每組包含M個(gè)單元，即N＝GM。對(duì)于任意一組，其余的組可以分為近場(chǎng)組和遠(yuǎn)場(chǎng)組2類。通常定義2組的中心點(diǎn)距離小于半個(gè)波長(zhǎng)的為近場(chǎng)組，否則為遠(yuǎn)場(chǎng)組。在一般的二維電大目標(biāo)情況中，定義每組相鄰的左右2組為其近場(chǎng)組，如圖1所示。

圖1 遠(yuǎn)場(chǎng)組示意圖

FMM利用遠(yuǎn)場(chǎng)近似思想避免稠密阻抗矩陣的直接生成，將遠(yuǎn)場(chǎng)作用過(guò)程分解成聚集、轉(zhuǎn)移、發(fā)散3個(gè)步驟：① 聚集是將Gl內(nèi)M個(gè)單元所對(duì)應(yīng)的等效電流聚集在組的中心位置，其目的是為了獲得具有轉(zhuǎn)移特性的新函數(shù)組，即Gl內(nèi)所有等效電流對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)組的作用能夠由通過(guò)轉(zhuǎn)移這組新函數(shù)完成；②轉(zhuǎn)移是將聚集所得到的一組函數(shù)由Gl的中心位置轉(zhuǎn)移到Gl′的中心位置；③ 發(fā)散是將轉(zhuǎn)移到Gl′中心位置的那組函數(shù)發(fā)散到組內(nèi)的所有M個(gè)單元對(duì)應(yīng)的等效電流上，從而計(jì)算出Gl和Gl′的遠(yuǎn)場(chǎng)相互作用。任意組Gl′的單元j受到其所有遠(yuǎn)場(chǎng)組Gl內(nèi)任意單元i作用的總和Fbj按（13）式計(jì)算：

其中

本文所提出的DWT－FMM技術(shù)是對(duì)傳統(tǒng)FMM中解聚和發(fā)散2個(gè)步驟進(jìn)行優(yōu)化。在每組中，總是存在一些與中心點(diǎn)作用比較小的單元，在發(fā)散和解聚的計(jì)算過(guò)程中忽略這些弱作用單元仍能得到較為滿意的結(jié)果。由上述可知，組Gl與Gl′的遠(yuǎn)場(chǎng)作用矩陣由（15）式得到：

對(duì)（15）式中的解聚和發(fā)散矩陣做單邊DWT，則有：

若在（16）式中令：

則（16）式變化為：

將和中小于給定閾值的元素置0，從而矩陣得到了稀疏。

4 數(shù)值仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證該方法的有效性，本文分別對(duì)理想導(dǎo)體圓柱和方柱的RCS特性進(jìn)行計(jì)算。將頻率為300MHz的TM波垂直入射到半徑為10m的無(wú)限長(zhǎng)電大理想導(dǎo)體圓柱和邊長(zhǎng)為20m的無(wú)限長(zhǎng)電大理想導(dǎo)體方柱上。文中定義矩陣的壓縮率是矩陣中現(xiàn)有非零元素的個(gè)數(shù)與壓縮前非零元素個(gè)數(shù)的比值。DWT－FMM方法有著較為可觀的壓縮率，見(jiàn)表1所列。

表1 矩陣壓縮率

以圓柱中任意一組的解聚矩陣來(lái)查看其壓縮前后的情況，如圖2所示，黑色部分代表非零元素，可以看出，壓縮后的矩陣中非零元素只占了很小的比例。

圖2 解聚矩陣

將2種方法所得到的目標(biāo)RCS進(jìn)行對(duì)比，如圖3、圖4所示。顯然，DWT－FMM的精確性是優(yōu)秀的。

圖3 方柱RCS

圖4 圓柱RCS

5 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用小波變換的特性使得快速多極子中的解聚和聚集矩陣得到了充分的稀疏，提高了傳統(tǒng)快速多極子的效率。計(jì)算結(jié)果表明，DWTFMM方法在計(jì)算電大導(dǎo)體目標(biāo)電磁散射特性時(shí)，有效降低了計(jì)算復(fù)雜度，對(duì)電腦內(nèi)存的消耗有著可觀的改善。

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