李家宇（安徽省合肥市長豐縣第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.同時，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣.

那么怎樣將自主探索、動手實踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式落到實處，構(gòu)建起高效愉悅的課堂是每個老師都迫切需要解決的課題，我認為深度挖掘課本例題習(xí)題，創(chuàng)新問題情境是解決上述問題的一個好辦法.

課本中每一個例題的設(shè)置都有其目的和作用，體現(xiàn)著本節(jié)知識應(yīng)達到的能力要求.我們不僅要緊扣課本，認識到認真鉆研課本的重要性，突出課本基礎(chǔ)知識的作用，突出課本例題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用，也要重視課本習(xí)題潛在功能的挖掘與利用.指導(dǎo)學(xué)生回歸課本，依“綱”固“本”，挖掘課本潛在功能，對課本典型問題進行引申、推廣、探究，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣.這不僅是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的，也與高考命題的“源于課本，高于課本”的理念是相吻合的.

在使用《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版選修2-1》時我進行了一些嘗試，感覺取得了很好的效果.

案例一：課本P41面的例2

例2 如圖，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作軸x的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

分析：點P在圓x2+y2=4上運動，由點P移動引起點M的運動，則稱點M是點P的伴隨點，因點M為線段PD的中點，則點M的坐標(biāo)可由點P來表示，從而能求點M的軌跡方程．

解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡） 設(shè) M（x，y），P（x1，y1）；

②（點與伴隨點的關(guān)系）因為M為線段DP的中點，

【點評】本例所用到的方法是“代入法求伴隨軌跡”.課本的用意是讓同學(xué)們理解并學(xué)會用這樣一種方法求一類點的軌跡.如果教師只是就例講例，而不對課本進行深入的挖掘，那就太可惜了.學(xué)生也會認為只是個普通的例題而已，而失去了學(xué)習(xí)的主動性，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程也將蕩然無存了.

我在和同學(xué)們探討完上面的例題后，緊接著給出了課本P50面B組第一題：

教師：這里的圓是確定的，不同的是改變了M的位置，大家可否先猜想一下M的軌跡呢？

學(xué)生：應(yīng)該還是橢圓吧？

教師：為什么呢？

學(xué)生：因為和例2很相似，點P移動引起點的運動，點M是還點P的伴隨點，只不過關(guān)系式改變了，實際還是受點P的控制.

教師：可否用相同的方法求解呢？

教師：回答得相當(dāng)不錯，請同學(xué)們試著做一下.（待大家得出正確的結(jié)論后，幾何畫板展示拖動，是橢圓）

教師：縱觀這兩道題，可有更一般化的題設(shè)和結(jié)論嗎？

學(xué)生：老師，我想可以把圓x2+y2=4換成更一般的圓x2+y2=R2，按照剛才的求法，例2和習(xí)題1應(yīng)該是焦點分別在x軸和y軸上的橢圓.

變式教學(xué)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的瑰寶.通過以上的探討，使同學(xué)們把握住軌跡問題中有一類是“變化中又有不變性”的問題，并掌握了解決方法.在這個過程中，同學(xué)們深刻體會到提出猜想，嚴(yán)格證明，體驗感悟，思想共鳴等一系列探究活動開展是很好的，因為他們更容易弄清問題的實質(zhì).

類似的做法我還應(yīng)用到了對《人教A版選修2-1》P41面的例3上.

在學(xué)過雙曲線后，我又和同學(xué)們一起探討了k值為正數(shù)時，動點C的軌跡方程.（為雙曲線）.

在課堂教學(xué)過程中，教師對課本例題習(xí)題進行深度的挖掘，改變題目的條件或結(jié)論，通過自主探究，培養(yǎng)學(xué)生手腦結(jié)合，注重實踐的習(xí)慣.不僅可以讓學(xué)生主動參與知識的形成過程，了解知識的來龍去脈，還能促進學(xué)生思維的發(fā)展，有助于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識，提高學(xué)習(xí)活動效率.

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該首先強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里.因此數(shù)學(xué)課應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).解析幾何的軌跡問題由于具有較強的綜合性且具有動態(tài)的因素，題目多變，解題方式靈活，同學(xué)們對此很不容易把握.很多老師對解析幾何的教學(xué)感到頭疼.其實利用“幾何畫板”輔助一下教學(xué)，讓同學(xué)們直觀感受解析幾何中軌跡問題的實質(zhì)，不失為一種有效的辦法.我在上完“雙曲線”后對這種方法進行了嘗試.

案例2：《人教A版選修2-1》P49面第7題

如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)P點在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

教師：猜猜看，點Q的軌跡是什么呢？

學(xué)生：可能是橢圓吧？

教師：“可能”一詞用得相當(dāng)好，因為還沒有證明.還只是猜想.我們來看一看（幾何畫板動態(tài)演示），確實是橢圓，能否證明呢？

學(xué)生：這里OP是定長r，連接QA，則由l是線段AP的垂直平分線可知 OA =QP即 OA +QO =QP +QO =r是一個定長，焦點是O和A，長軸是r.

教師：很好.想想AP的中點D的軌跡是什么呢？

學(xué)生：還是橢圓么？

教師：我們應(yīng)該從什么角度去思考啊？幾何關(guān)系.大家看，點還是受控制的吧.我們來看一看.（幾何畫板演示，軌跡是一個圓），怎樣解釋呢？

教師：再看，把A點放在圓外，線段AP改為直線AP，其他條件不變，點Q的軌跡會是什么情形呢？我們來看一看，大家來找?guī)缀侮P(guān)系.

學(xué)生：雙曲線.（學(xué)生感嘆軌跡的奇特，數(shù)學(xué)真好玩，一點也不枯燥）.

反思：教師首先對課本進行深挖掘利用好課本的例題習(xí)題，選擇合適的探究素材，預(yù)設(shè)和課題具有實質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)實驗活動和數(shù)學(xué)問題作為對象.借助“幾何畫板”直觀地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并且讓學(xué)生感到好玩.

高效的數(shù)學(xué)課堂是一種追求，更是一種境界.需要我們不斷日積月累，需要我們用自身創(chuàng)造、精心設(shè)計，我們教師要潛心研讀教材，充分挖掘教材中的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生健康心理有機結(jié)合，努力為學(xué)生創(chuàng)建學(xué)習(xí)的樂園，達到教書育人的目的.