堯軍平，李翔光，龍文元，張 磊

(1.南昌航空大學(xué) 輕合金加工科學(xué)與技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063；2.School of Engineering, The Ohio State University, Columbus, OH 43210, USA)

作為目前實(shí)際應(yīng)用最輕的金屬結(jié)構(gòu)材料，鎂合金具有比強(qiáng)度和比剛度高、密度小(1.75～1.90 g/cm3)、阻尼性和切削加工性好等優(yōu)點(diǎn)，用鎂合金生產(chǎn)的鑄件具有優(yōu)良的減振和降噪性能、耐磨性能、低慣性能、電磁屏蔽性、易回收特性等，被贊譽(yù)為21世紀(jì)的“綠色”工程材料，在電子、汽車和航空工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1-3]。鎂合金鑄件的力學(xué)性能強(qiáng)烈依賴于其在凝固過程中所形成的顯微組織，枝晶是鎂合金最常見的凝固顯微組織，其形貌特征決定著鎂合金鑄件的力學(xué)性能。采用微觀組織數(shù)值模擬能夠獲得鎂合金枝晶形貌、微觀偏析等方面的信息，進(jìn)而對(duì)鎂合金的力學(xué)性能進(jìn)行預(yù)測(cè)，并據(jù)此調(diào)整優(yōu)化生產(chǎn)工藝，從而得到力學(xué)性能更優(yōu)良的鑄件。

微觀組織模擬的方法主要有確定性方法、CA法和相場(chǎng)法等。相場(chǎng)法由于在微觀組織模擬方面的綜合優(yōu)勢(shì)，已成為國(guó)內(nèi)外微觀組織模擬的熱點(diǎn)。目前，學(xué)者所進(jìn)行的微觀組織模擬絕大部分是針對(duì)具有 FCC晶胞的金屬(例如Ni、Al和Cu)。而鎂合金是典型的HCP晶體結(jié)構(gòu)，具有不同于FCC結(jié)構(gòu)晶體的各向異性特征。因此，要對(duì)鎂合金枝晶生長(zhǎng)行為進(jìn)行模擬就必須建立適合HCP晶體結(jié)構(gòu)金屬的數(shù)值模型。在鎂合金微觀組織相場(chǎng)法模擬方面，EIKEN等[4-6]對(duì)鎂合金進(jìn)行了二維、三維以及定向凝固微觀組織的模擬。CHAWLA等[7]和WANG等[8]對(duì)鎂合金三維等軸晶的生長(zhǎng)進(jìn)行了模擬。MONTIEL等[9]對(duì)鎂合金焊接條件下的微觀組織進(jìn)行了模擬研究?？娂颐鞯萚10]研究了模擬參數(shù)對(duì)鎂合金枝晶生長(zhǎng)過程的影響。袁訓(xùn)鋒等[11]基于WHEELER等[12]提出的模型研究了強(qiáng)迫對(duì)流對(duì)鎂合金枝晶生長(zhǎng)行為的影響。

就實(shí)際凝固過程而言，一般情況都是多晶粒共同生長(zhǎng)的，并且晶粒的結(jié)晶取向并不一致。不同取向多枝晶生長(zhǎng)的模擬采用多相場(chǎng)模型是比較合理的，但多相場(chǎng)模型的一個(gè)明顯缺點(diǎn)是變量太多，每一個(gè)晶粒都需要一個(gè)單獨(dú)的相場(chǎng)控制方程，這將引起計(jì)算空間和計(jì)算量數(shù)倍甚至數(shù)十倍的增加，如果在模型中再耦合溫度場(chǎng)和流場(chǎng)，其計(jì)算量將更為巨大。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)不同取向多枝晶生長(zhǎng)的模擬并減少計(jì)算量，本文作者將基于KIM等[13-15]提出的KKS相場(chǎng)模型(相比WBM模型，該模型消除了WBM模型中的附加勢(shì)壘，計(jì)算效率更高，并且該相場(chǎng)模型可以通過耦合真實(shí)的熱力學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)來模擬實(shí)際合金的凝固)，根據(jù) KOBAYASHI等[16]提出的描述晶粒取向的方法，建立一個(gè)新的相場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)、流場(chǎng)、溫度場(chǎng)以及取向場(chǎng)相耦合且適合于模擬HCP晶系鎂合金多枝晶生長(zhǎng)的相場(chǎng)模型，并采用該模型對(duì)純擴(kuò)散和強(qiáng)迫對(duì)流作用下的鎂合金多枝晶生長(zhǎng)行為進(jìn)行模擬研究。

1 相場(chǎng)模型

1.1 相場(chǎng)控制方程

在KKS相場(chǎng)模型的基礎(chǔ)上耦合晶粒取向后，自由能函數(shù)變?yōu)?/p>

式中：區(qū)域自由能密度f(φ,c,T)=h(φ)fS(cS)+[1-h(φ)]fL(c)+wg(φ)；相場(chǎng)變量φ=0代表液態(tài)，Lφ=1代表固態(tài)；cS和cL分別代表固相和液相中的溶質(zhì)濃度；固液混合濃度c=h(φ)cS+[1-h(φ)]cL，fS(cS)和fL(cL)分別為固相和液相中的自由能密度，在界面區(qū)域內(nèi)固相和液相的化學(xué)勢(shì)相等，即fS[c(x,t)]=cSSfcLL[cL(x,t)]，h(φ)為勢(shì)函數(shù)，h(φ)=φ3(10-15φ+6φ2)，g(φ)為剩余自由能函數(shù)，g(φ)=φ2(1-φ)2，wg(φ)為界面的過剩自由能，fori為空間取向錯(cuò)配引起的能量變化，fori=Hh(φ)|?θ|，H為調(diào)節(jié)取向能錯(cuò)配大小的參數(shù)，θ為取向場(chǎng)，代表結(jié)晶取向，在每一個(gè)晶粒內(nèi)部θ為0到1之間的某個(gè)定值，在液相中隨機(jī)變化。根據(jù)經(jīng)典線性不可逆熱力學(xué)，相場(chǎng)變量φ隨時(shí)間的變化假設(shè)與自由能函數(shù)的變化成正比，即有

將自由能函數(shù)(1)代入式(2)，并利用稀溶液近似處理，可得：

式中：c為溶質(zhì)濃度；上標(biāo)e表示平衡狀態(tài)；下標(biāo) S和L分表表示固相和液相；R是摩爾氣體常數(shù)；T是熱力學(xué)溫度；Vm是摩爾體積；Mφ是與界面動(dòng)力學(xué)有關(guān)的相場(chǎng)參數(shù)。

為了考慮界面能各向異性，并適應(yīng)六重對(duì)稱性鎂合金的求解，可將梯度項(xiàng)系數(shù)ε表示為

式中：?為界面法向與x軸的夾角；ε0為梯度項(xiàng)系數(shù)ε(?)的平均值，?=arctan(φy/φx)；2πθ/m代表主軸生長(zhǎng)方向與x軸之間的夾角；k為各向異性的模數(shù)，表示系統(tǒng)的對(duì)稱次數(shù)，其值取6；v為各向異性強(qiáng)度。引入界面能各向異性后，方程(3)變?yōu)?/p>

1.2 質(zhì)量和動(dòng)量方程

質(zhì)量守恒方程(連續(xù)性方程)如下：

動(dòng)量守恒方程如下：

式中：V為速度矢量，假設(shè)Vx為x軸方向的分速度，Vy為y軸方向的分速度，則；p為壓力；ρ表示密度，假設(shè)液相和固相的密度相等；μ為動(dòng)力學(xué)粘度；單位體積界面散耗力，h取值2.757。

由上可知，幾內(nèi)亞BOFFA礦區(qū)的坐標(biāo)系統(tǒng)應(yīng)為：采用Clarke1880參考橢球，投影采用6°分帶的UTM投影，中央子午線為西經(jīng)15°，測(cè)區(qū)將抵償高程面改到1 498 m。高程基準(zhǔn)為WGS-72大地水準(zhǔn)面。

1.3 溶質(zhì)場(chǎng)控制方程

保守的溶質(zhì)場(chǎng)隨時(shí)間的演化滿足Cahn-Hilliard方程，耦合流場(chǎng)的溶質(zhì)場(chǎng)擴(kuò)散方程在數(shù)學(xué)上表示為

將式(1)代入式(8)后，可得：

式中：Mc為溶質(zhì)場(chǎng)可動(dòng)性系數(shù)；D(φ)為體系的溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)，D(φ)=DL+h(φ)(DS-DL)；DS和DL分別固、液相中的溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)。

1.4 取向場(chǎng)控制方程

非保守的取向場(chǎng)θ隨時(shí)間的演化滿足 Ginzburg-Landau方程，在數(shù)學(xué)上表達(dá)為

將式(1)代入式(10)后，則有

式中：Mθ為取向場(chǎng)場(chǎng)可動(dòng)性系數(shù)；H為調(diào)節(jié)取向能錯(cuò)配大小的參數(shù)。

1.5 溫度場(chǎng)控制方程

耦合流場(chǎng)后，溫度場(chǎng)控制方程表示為

式中：T為熱力學(xué)溫度；L為潛熱；cp為定壓比熱容；D為λ/(ρcp)，λ為導(dǎo)熱系數(shù)。

1.6 擾動(dòng)

擾動(dòng)可引發(fā)枝晶側(cè)向分枝的生長(zhǎng)，為了模擬實(shí)際凝固過程中界面處的波動(dòng)和二次或更高次枝晶的生長(zhǎng)，本研究在溶質(zhì)擴(kuò)散方程中加入隨機(jī)擾動(dòng)，即：

式中：χ為在-1～+1之間取值的隨機(jī)數(shù)，ω˙為與時(shí)間有關(guān)的擾動(dòng)強(qiáng)度因子。

2 計(jì)算求解

2.1 材料物性參數(shù)

模擬所用AZ91D鎂合金物性參數(shù)如表1所示[17]。

表1 AZ91D鎂合金物性參數(shù)Table1 Physical properties of AZ91D magnesium alloy

需要說明的是，為簡(jiǎn)化問題，模型中忽略了導(dǎo)熱系數(shù)λ隨溫度的變化。

2.2 數(shù)值計(jì)算方法

采用顯示有限差分法求解相場(chǎng)控制方程(5)、溶質(zhì)場(chǎng)控制方程(9)和取向場(chǎng)控制方程(11)；采用simple算法求解質(zhì)量守恒方程(6)和動(dòng)量守恒方程(7)；采用交替方向隱式差分法(ADI)求解溫度場(chǎng)控制方程。避免了時(shí)間步長(zhǎng)的限制，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)Δt=Δx2/5DL，相場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)、流場(chǎng)和取向場(chǎng)的網(wǎng)格尺寸為Δx=Δy= 1.0×10-8m。由于合金的熱擴(kuò)散系數(shù)是其溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)的幾百倍，為了減少計(jì)算量，取溫度場(chǎng)的網(wǎng)格尺寸為溶質(zhì)場(chǎng)網(wǎng)格尺寸的10倍，即網(wǎng)格尺寸為1.0×10-7m。在計(jì)算區(qū)域的邊界上，溫度場(chǎng)采用定溫邊界條件，相場(chǎng)、流場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)、取向場(chǎng)及壓力場(chǎng)均采用Zero-Neumann邊界條件。

3 模擬結(jié)果與分析

3.1 純擴(kuò)散時(shí)的多枝晶生長(zhǎng)形貌與溶質(zhì)分布

圖1所示為純擴(kuò)散時(shí)具有不同擇優(yōu)生長(zhǎng)取向角的多枝晶生長(zhǎng)形貌(見圖1(a)和(c))和溶質(zhì)分布情況(見圖1(b)和(d))。為便于研究，初始晶核位置和擇優(yōu)生長(zhǎng)取向角均由人工預(yù)先設(shè)定，中心晶核A的擇優(yōu)生長(zhǎng)取向角為0°，初始溫度為765 K。如圖1(a)和(b)所示，枝晶生長(zhǎng)初期，在枝晶相互碰撞接觸前，晶粒間無相互影響，其形貌與單個(gè)枝晶生長(zhǎng)時(shí)的形貌是相同的，以晶粒A為例，在{0001}基面上，整個(gè)枝晶沿著20〉晶向以對(duì)稱形式生長(zhǎng)，一次枝晶主干間互成60°夾角，一次枝晶干與該主干上的二次枝晶臂間也約成 60°夾角。貧Al區(qū)主要集中于一次枝晶干和二次枝晶臂的軸對(duì)稱中心位置，這主要是由于凝固過程枝晶尖端曲率效應(yīng)引起過冷，使固相線向下移動(dòng)，而固相中溶質(zhì)的擴(kuò)散速度又遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于枝晶的生長(zhǎng)速度。在液固界面前沿出現(xiàn)了溶質(zhì)Al的富集。這主要是由于鎂合金的凝固屬于非平衡結(jié)晶過程，合金在凝固過程中需要對(duì)溶質(zhì)進(jìn)行再分配，這導(dǎo)致固相中溶質(zhì)的濃度低于初始濃度，而液相中溶質(zhì)的擴(kuò)散速度也要小于枝晶生長(zhǎng)速度，凝固析出的溶質(zhì)不能及時(shí)充分地?cái)U(kuò)散到液相中，從而在枝晶前沿富集。隨著凝固的進(jìn)行，如圖1(c)和(d)所示，枝晶間開始相互影響，在相互接觸碰撞的區(qū)域(見圖1(d)中方框所選區(qū)域)，主枝的生長(zhǎng)受到明顯抑制，枝晶尖端變禿。這主要是由于枝晶相互接觸的界面上，凝固析出的溶質(zhì)和釋放的潛熱的擴(kuò)散通道在相互碰撞枝晶的夾擊下而變得彎曲狹長(zhǎng)，這嚴(yán)重阻礙了溶質(zhì)和熱量的擴(kuò)散，凝固析出的溶質(zhì)和釋放的熱量在此富集造成了該區(qū)域?qū)嶋H過冷度的減小從而抑制了枝晶的生長(zhǎng)。如果生長(zhǎng)前沿不受阻礙，枝晶臂仍會(huì)繼續(xù)向過冷液相中伸展，因此，雖然在碰撞前枝晶具有規(guī)則的六重對(duì)稱形狀，但最終也會(huì)遭到破壞而形成不規(guī)則的枝晶形貌。同時(shí)，由于晶粒的結(jié)晶取向并不一致，各晶粒所受到的碰撞不同，這導(dǎo)致各晶粒最終的枝晶形貌也就不相同。

圖1 純擴(kuò)散時(shí)多枝晶生長(zhǎng)在不同時(shí)刻的枝晶形貌和溶質(zhì)分布Fig.1 Dendritic morphologies((a),(c))and distributions of solute ((b),(d)) for multiple grains growth without flow at different times:(a), (b) t=5 000Δt; (c), (d) t=9 000Δt

在實(shí)際凝固過程中，晶粒的形核是連續(xù)的并且晶粒的結(jié)晶取向也是隨機(jī)的。圖2所示為鎂合金的晶粒形核與生長(zhǎng)過程。為了簡(jiǎn)化問題，設(shè)定最大形核個(gè)數(shù)，并假設(shè)形核速率為一定值。由圖2可見，隨著凝固的進(jìn)行，晶核數(shù)目逐漸增加，但達(dá)到一個(gè)最大值時(shí)，晶粒的數(shù)目并不再增加，這最大值是由設(shè)定的最大形核個(gè)數(shù)決定。各晶粒間競(jìng)爭(zhēng)形核與生長(zhǎng)，晶粒的結(jié)晶取向并不一致，先形核的晶粒由于擁有足夠的生長(zhǎng)空間，生長(zhǎng)出了發(fā)達(dá)的二次枝晶，而后形核的晶粒由于受生長(zhǎng)空間、先形核晶粒生長(zhǎng)所析出溶質(zhì)和釋放潛熱的影響，其一次枝晶臂或二次枝晶臂生長(zhǎng)速度減慢并最終提前結(jié)束生長(zhǎng)。在晶粒相互碰撞的區(qū)域，溶質(zhì)的擴(kuò)散通道變得彎曲而狹長(zhǎng)，溶質(zhì)的擴(kuò)散受阻，溶質(zhì)濃度高，這導(dǎo)致這些區(qū)域的實(shí)際過冷度減小，區(qū)域的熔點(diǎn)降低，其凝固比其他區(qū)域慢，從而最終在這些區(qū)域形成晶界。

3.2 強(qiáng)迫對(duì)流作用下的多枝晶生長(zhǎng)形貌與溶質(zhì)分布

圖3所示為強(qiáng)迫對(duì)流作用下鎂合金多枝晶生長(zhǎng)的枝晶形貌和溶質(zhì)場(chǎng)分布情況。水平流速v=0.01 m/s，其他初始條件與圖1相同。如圖3(a)和(b)所示，枝晶相互碰撞前，晶粒各自生長(zhǎng)，晶粒間相互影響較弱，枝晶形貌與相同初始條件下的單個(gè)枝晶生長(zhǎng)的形貌相同，上游方向一次枝晶臂最長(zhǎng)，上游側(cè)與水平方向呈60°夾角的兩枝晶臂次之，下游側(cè)與水平方向呈60°夾角的兩枝晶臂較短，下游方向枝晶臂最短。這是由于過冷熔體流過晶粒，將凝固析出的溶質(zhì)和釋放的潛熱從枝晶的上游沖刷到下游并在下游富集，這樣就使得枝晶上游的熱過冷度和成分過冷度都增大，促進(jìn)枝晶的生長(zhǎng)，而枝晶下游區(qū)由于溶質(zhì)和潛熱的富集，熱過冷度和成分過冷度都減小，枝晶生長(zhǎng)受到明顯抑制。隨著枝晶的生長(zhǎng)，如圖3(c)和3(d)所示，晶粒A、B、C、D、E的溶質(zhì)場(chǎng)和溫度場(chǎng)相互碰撞重疊。由于枝晶B、D以及枝晶A、B、D分別有效阻擋了過冷熔體對(duì)枝晶A和枝晶C、E的沖刷以及枝晶間的碰撞使得溶質(zhì)擴(kuò)散通道變得狹長(zhǎng)，在枝晶A和枝晶C、E上游側(cè)發(fā)生碰撞接觸的區(qū)域形成了局部溶質(zhì)富集區(qū)(圖3(d)中所框選區(qū)域)，這使得這些區(qū)域?qū)嶋H過冷度減小，其枝晶臂的生長(zhǎng)速度減小甚至停止生長(zhǎng)，枝晶干尖端變禿。在枝晶生長(zhǎng)前沿不受阻礙的區(qū)域，枝晶臂則仍會(huì)繼續(xù)向過冷熔體中伸展，枝晶形貌與相同初始條件下的單枝晶生長(zhǎng)形貌不再相同。

圖4所示為AZ91D砂型鑄件在光學(xué)顯微鏡偏振光下的枝晶結(jié)構(gòu)。由圖可以看出，鎂合金枝晶生長(zhǎng)表現(xiàn)出顯著的密排六方結(jié)構(gòu)，6個(gè)一次枝晶臂之間約成60°夾角，相向生長(zhǎng)的枝晶互相影響競(jìng)相生長(zhǎng)，不同枝晶的一次晶臂彼此抑制，各一次晶臂長(zhǎng)度存在很大差異，擁有發(fā)達(dá)的二次枝晶臂，枝晶形貌不具有對(duì)稱性?？梢?，圖3(c)所示的強(qiáng)迫對(duì)流作用下鎂合金多枝晶生長(zhǎng)形貌的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是十分相似的。

3.3 多枝晶生長(zhǎng)行為定量分析

為進(jìn)一步分析純擴(kuò)散時(shí)和強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)行為，分別計(jì)算了純擴(kuò)散時(shí)以及強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)在不同時(shí)刻的枝晶尖端生長(zhǎng)速度，并與相同模擬條件下純擴(kuò)散時(shí)和強(qiáng)迫對(duì)流作用下單枝晶生長(zhǎng)的枝晶尖端生長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖5所示。由圖5可看出，各枝晶尖端生長(zhǎng)速度都比較平穩(wěn)，這是由于溫度場(chǎng)采用的是定溫邊界條件，潛熱的釋放并不會(huì)使模擬區(qū)域的溫度發(fā)生大的變化。各穩(wěn)態(tài)枝晶尖端生長(zhǎng)速度的具體大小關(guān)系為vtip1＞vtip2＞vtip3＞vtip4＞vtip5＞vtip6(其中vtip1～vtip6分別表示單枝晶上游尖端、多枝晶上游尖端、純擴(kuò)散下單枝晶尖端、純擴(kuò)散下多枝晶尖端、單枝晶下游尖端、多枝晶下游尖端的穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)速度)。

圖2 純擴(kuò)散時(shí)連續(xù)形核多枝晶生長(zhǎng)在不同時(shí)刻的溶質(zhì)分布Fig.2 Distributions of solute for multiple grains growth without flow at different times used continuous nucleation model: (a) t=5 000Δt; (b) t=10 000Δt; (c) t=15 000Δt

圖3 強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)在不同時(shí)刻的枝晶形貌和溶質(zhì)分布Fig.3 Dendritic morphologies((a),(c))and distributions of solute ((b),(d)) for multiple grains growth without flow at different times:(a), (b) t=5 000Δt; (c), (d) t=8 000Δt

圖4 砂型AZ91D鑄態(tài)的微觀組織[18]Fig.4 As-cast microstructure of sand mould AZ91D casting polarized light[18]

圖5 枝晶尖端生長(zhǎng)速度與凝固時(shí)間的關(guān)系Fig.5 Relationship between tip velocity and solidification time

計(jì)算了純擴(kuò)散時(shí)和強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)時(shí)的固相率變化曲線，結(jié)果如圖6所示。從圖6中可看出，純擴(kuò)散時(shí)和強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)時(shí)的固相率都隨凝固時(shí)間的增加以二次函數(shù)的形式增長(zhǎng)，同一時(shí)刻純擴(kuò)散時(shí)多枝晶生長(zhǎng)的固相率要大一些，固相率之間的差距隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而增大?？梢?，強(qiáng)迫對(duì)流的沖刷作用雖然促進(jìn)了迎流枝晶的生長(zhǎng)，但也抑制了順流枝晶的生長(zhǎng)。同時(shí)，強(qiáng)迫對(duì)流還使得枝晶間的相互作用更加強(qiáng)烈，這最終導(dǎo)致強(qiáng)迫對(duì)流對(duì)枝晶生長(zhǎng)的促進(jìn)作用要小于其抑制作用。

圖6 純擴(kuò)散及強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)的固相率與凝固時(shí)間的關(guān)系Fig.6 Relationship between solid fraction and solidification time for multiple grains growth without and with flow

4 結(jié)論

1) 基于KKS相場(chǎng)模型，建立了一個(gè)新的耦合相場(chǎng)、溶質(zhì)場(chǎng)、流場(chǎng)、取向場(chǎng)和溫度場(chǎng)并適應(yīng)HCP晶系的單相二元合金相場(chǎng)模型，并采用該模型研究純擴(kuò)散時(shí)和強(qiáng)迫對(duì)流作用下的多枝晶生長(zhǎng)行為。

2) 純擴(kuò)散時(shí)，枝晶間未相互碰撞前，枝晶間無相互影響，枝晶呈明顯六方異性，與單枝晶生長(zhǎng)過程相同。枝晶相互碰撞后，枝晶的生長(zhǎng)受到了抑制，枝晶尖端變禿，在碰撞區(qū)域出現(xiàn)溶質(zhì)的富集。

3) 強(qiáng)迫對(duì)流作用時(shí)，熱量和溶質(zhì)被過冷熔體沖刷到下游，從而加速了枝晶在上游方向的生長(zhǎng)，抑制了下游方向的生長(zhǎng)，枝晶互相影響并競(jìng)爭(zhēng)生長(zhǎng)，最終形成非對(duì)稱枝晶形貌。模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分相似。

4) 計(jì)算了不同凝固條件下的枝晶尖端生長(zhǎng)速度以及純擴(kuò)散時(shí)和強(qiáng)迫對(duì)流作用下多枝晶生長(zhǎng)的固相率變化曲線。尖端速度的大小關(guān)系為vtip1＞vtip2＞vtip3＞vtip4＞vtip5＞vtip6；同一時(shí)刻純擴(kuò)散時(shí)多枝晶生長(zhǎng)的固相率比強(qiáng)迫對(duì)流作用下的要大。

5) 該模型能夠很好地對(duì)不同取向多枝晶的生長(zhǎng)進(jìn)行描述。

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