姜培華，吳 玲，紀(jì)習(xí)習(xí)

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

本文討論了兩類積分的簡便求解問題，兩類積分如下:

1 積分(1)的求解

對(duì)于上述積分(1)若直接考慮一重積分的方法求解，實(shí)屬不易，因?yàn)閷?duì)于這樣的被積函數(shù)很難利用湊微分法和分部積分法來解決，為此只好另辟蹊徑．本文下面考慮四種辦法來解決此問題．

首先給出下面的引理1．

引理1 對(duì)于實(shí)數(shù)a∈R+下述積分等式成立:

證明 (ⅰ)給定下述三個(gè)平面區(qū)域:D1?D2?D3，其中:

L3=(1－e－2aR2)．又因當(dāng)R→+∞時(shí)由夾逼準(zhǔn)則可知當(dāng)R→+∞時(shí)，有從而可得結(jié)論(ⅰ)成立．

(ⅱ)給定下述三個(gè)空間區(qū)域:Ω1?Ω2?Ω3，其中:

1)二重積分法

考慮到I2并利用引理1的結(jié)論(ⅰ)可得:

2)三重積分法

考慮到I3并結(jié)合引理1中的結(jié)論(ⅱ)可得:

即有:

3)伽瑪函數(shù)法

首先給出伽瑪函數(shù)的定義和性質(zhì)，其定義和性質(zhì)在諸多文獻(xiàn)［1，2］中都有介紹．稱以下函數(shù)

為伽瑪函數(shù)，其中參數(shù)α＞0．伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì):

下面求解此積分:

令y=x2對(duì)式(4)作變換可得:

式中z=ay．

4)概率方法

構(gòu)造正態(tài)隨機(jī)變量X～N(0，1/2a)，則其密度函數(shù)為:

對(duì)于積分(1)推廣到如下形式:

綜上可以看出對(duì)于積分(1)考慮到被積函數(shù)的形式特點(diǎn)和積分區(qū)域的特性，運(yùn)用概率方法，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)母怕拭芏热デ蠼夥e分，比運(yùn)用代數(shù)方法和分析方法求解要簡潔明了．它使數(shù)學(xué)的不同分支之間架起了橋梁．

2 積分(2)的求解

對(duì)于積分(2)很容易看出其是一個(gè)定積分，與積分(1)有很大的區(qū)別，其積分上下限都是有限值．在這種情況下如果再利用二重積分法、三重積分法和伽瑪函數(shù)法都不能夠解決，為此考慮用概率方法并結(jié)合查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布表來解決．

記X～N(0，1)，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為φ(x)和Φ(x)．根據(jù)積分(2)中被積函數(shù)的特點(diǎn)可以構(gòu)造一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)密度函數(shù)來表示積分(2)，考慮到積分(2)的積分限都是有限數(shù)，進(jìn)而可以利用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化來查概率分布表求解．基于上述分析可得:

式中X～N(b，1/2a)．

當(dāng)參數(shù)a，b，c1，c2已知時(shí)，可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布表來計(jì)算該類積分．

3 應(yīng)用舉例

例1［3］證明不等式:

證明 設(shè)X與Y獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，記區(qū)域D1，D2分別為:

易知D1?D2，故有P{(X，Y)∈D1}＜P{(X，Y)∈D2}，考慮到X與Y獨(dú)立即有:

例2［4］已知X，Y相互獨(dú)立，X～U(0，1)，Y的概率密度為fY(y)=，y＞0，設(shè)a的二次方程a2+2Xa+Y=0，求其有實(shí)根的概率．

解 由獨(dú)立性可求出(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:

由韋達(dá)定理可知方程有實(shí)根的概率為:

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)(上)［M］．第5版．北京:高等教育出版社，2002．

［2］茆詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］．北京:高等教育出版社，2004．

［3］Peter－Bickel J．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)—基本概念及專題［M］．李澤慧，李效虎，荊炳義，譯．蘭州:蘭州大學(xué)出版社，2005．

［4］項(xiàng)立群，汪曉云，梅春暉，等．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2011．