劉國林 王三民 尚 鵬

西北工業(yè)大學，西安，710072

0 引言

可展結(jié)構(gòu)是一種由收縮狀態(tài)展開成預(yù)先設(shè)定的展開狀態(tài)、承受載荷并保持穩(wěn)定構(gòu)型的結(jié)構(gòu)，因具有可收縮、可展開的特點，在航空、航天和建筑領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景?？烧菇Y(jié)構(gòu)可以看成是由某種類型的單元機構(gòu)按照某種方式陣列而成，這是這種機構(gòu)式結(jié)構(gòu)不同于于其他結(jié)構(gòu)的一個顯著特點。

隨著可展結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，許多學者在從事其構(gòu)型設(shè)計、運動及動力學分析等方面的研究工作。土耳其學者Gokhan等［1］以曲柄滑塊機構(gòu)為對象進行運動拓撲分析，發(fā)現(xiàn)了一種剪式單元機構(gòu)構(gòu)成環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)和多面體可展結(jié)構(gòu)的方法。雅典學者Charis［2］采用剪式機構(gòu)構(gòu)成了平面和曲面可展結(jié)構(gòu)，研究了其展開過程中的幾何非線性現(xiàn)象和桿件的變形。Karpov等［3－4］根據(jù)有限元理論，采用離散傅里葉變換，研究了不同單元構(gòu)成的陣列組合結(jié)構(gòu)的邊值問題，并進一步研究了因構(gòu)件尺寸誤差產(chǎn)生的構(gòu)件的初始裝配應(yīng)力的概率分布問題。Stephen［5］利用傳遞矩陣法研究了陣列組合結(jié)構(gòu)在不同的載荷和支撐下的彈性靜力學問題。EI－Raheb［6］根據(jù)周期對稱理論，研究了剪式機構(gòu)構(gòu)成的六邊形可展結(jié)構(gòu)的動力學特性，獲得了各階固有頻率和陣型。楊毅等［7］利用凝聚矩陣法，進行了剪式單元可展結(jié)構(gòu)的靜力學分析與拓撲優(yōu)化設(shè)計。陳向陽等［8］利用主從自由度分析了剪式單元的真實力學模型，并推導了混合坐標下剪式單元的剛度矩陣和自由振動方程。張春等［9］進行了空間可展機構(gòu)彈性動力學特性研究。

可展結(jié)構(gòu)的單元多、尺寸大，如果按照常規(guī)的有限元方法對其進行建模和分析，計算量大，效率低，耗時長。所以，如何在分析中有效地利用可展結(jié)構(gòu)由一個基本單元按照某種方式陣列而成的結(jié)構(gòu)特點，減小模型計算量，提高計算效率，成為目前研究的一個熱點。本文以剪式單元機構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)為研究對象，建立其靜力學分析有限元模型，根據(jù)總剛度矩陣的循環(huán)特性，通過離散傅里葉變換進行求解，得到了該類型可展結(jié)構(gòu)各鉸鏈處的位移和約束力。因陣列組合可展結(jié)構(gòu)的總剛度陣總可以通過簡單的變換而變成循環(huán)矩陣，所以該方法也可推廣應(yīng)用于其他類型的可展結(jié)構(gòu)中。該方法是進行陣列組合結(jié)構(gòu)靜力學分析的一種新方法。

1 建模方法

剪式單元線狀陣列可展結(jié)構(gòu)如圖1所示。該類可展結(jié)構(gòu)以剪式機構(gòu)作為單元機構(gòu)，相鄰剪式機構(gòu)之間鉸接連接，通過線狀陣列，得到N個剪式單元組成的平面可展結(jié)構(gòu)，各剪式單元機構(gòu)編號分別為0，1，…，N－1，各鉸鏈點編號為i0、j0、k0，…，iN－1、jN－1、kN－1，iN、jN。

圖1 剪式機構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)

1.1 剪式單元剛度陣

剪式單元機構(gòu)如圖2所示，由兩根桿通過中間的樞軸節(jié)點鉸接構(gòu)成，展開角度用θ表示。由于相鄰的剪式機構(gòu)之間鉸接，而每個剪式單元機構(gòu)有6個節(jié)點，分別為A、B、C、A′、B′、C′，故可將剪式機構(gòu)劃分為4個兩節(jié)點平面梁單元，分別為單元AB、BC、A′B′、B′C′。根據(jù)梁單元剛度陣及其在整體和局部坐標系下的轉(zhuǎn)換關(guān)系，組裝剪式機構(gòu)的4個梁單元，可得到整體坐標系下剪式單元的剛度矩陣和平衡方程。對于圖2b所示的剪式單元，常用于環(huán)狀陣列可展結(jié)構(gòu)，其單元剛度矩陣的建立稍有不同。

圖2 剪式機構(gòu)單元

由于節(jié)點B、B′鉸接，所以其平動自由度相等，即xB＝xB′、yB＝y(tǒng)B′，代入剪式單元的平衡方程，得

式中，f＊、q＊為16×1的列向量，分別為各節(jié)點處的節(jié)點力和位移；k＊為對應(yīng)剛度陣。

節(jié)點A、C、A′、C′的外部力矩為0，可以釋放其轉(zhuǎn)動自由度，節(jié)點B、B′是單元機構(gòu)的內(nèi)部節(jié)點，不與其他單元機構(gòu)直接發(fā)生聯(lián)系，可以凝聚其自由度。根據(jù)保留自由度和被凝聚的自由度，式（1）分塊表示為

其中，qr、f＊r分別表示保留自由度及其對應(yīng)的力或力矩，為8×1的列向量，qo、f＊o分別表示被凝聚的自由度及其對應(yīng)的力或力矩，同為8×1的列向量。krr、kro、kor、koo為矩陣k＊的分塊表示，無特殊含義。保留自由度為節(jié)點A、A′、C、C′的兩個平動自由度分量。由式（2）得凝聚后的平衡方程：

式中，kr為剪式機構(gòu)單元的剛度陣。

1.2 總剛度矩陣

將式（3）所得的剪式單元剛度矩陣進行組裝，得到總剛度矩陣K，平衡方程為

式中，F(xiàn)、q分別為節(jié)點力和位移矩陣。

由于相鄰剪式單元之間鉸接，所以有

將式（5）代入式（4），最后得平衡方程：

其中，qr（r＝0，1，…，N－1）為4×1的列向量，各分量分別為剪式單元r中節(jié)點A、A′的兩個平動自由度分量，qN分量分別為剪式單元N－1中節(jié)點C、C′的兩個平動自由度分量，F(xiàn)r（r＝0，1，…，N）為對應(yīng)于qr的載荷，矩陣K＊的各分量由前述計算過程確定。

將邊界條件代入式（6），得到一個靜定線性方程組，求解該方程組，可得到各節(jié)點的位移。但是當剪式單元機構(gòu)數(shù)量較多時，剛度矩陣K＊的規(guī)模會很大，導致計算量增加，計算效率降低?？烧菇Y(jié)構(gòu)由剪式機構(gòu)線狀陣列構(gòu)成，結(jié)構(gòu)上規(guī)律性較強，剛度矩陣K＊也具有較強的規(guī)律性，這是該類結(jié)構(gòu)剛度矩陣不同于普通結(jié)構(gòu)的一個顯著特點，該特點為求解式（6）提供了新的方法。

1.3 平衡方程的卷積形式

式（6）中，矩陣K＊的第2行至第N行是循環(huán)的形式，下面通過等價變形，將矩陣K＊表示為循環(huán)矩陣。

式（6）可以展開表示為

綜合式（8）、式（10）、式（11）得式（6）的等價方程組，表示成離散卷積的形式為

1.4 環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)的有限元模型

以上為剪式機構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)的有限元模型的建立過程，當進行環(huán)狀陣列時，因坐標變換矩陣不同，使得總剛度陣不是循環(huán)矩陣，這時，采用以下方法處理。

環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)如圖3所示，單元機構(gòu)如圖2b所示，每個單元機構(gòu)對應(yīng)的圓心角都是α。對每一個剪式單元建立固定坐標系XrOYr，O點位于圓心，OYr軸過鉸鏈點ir、jr。仍然劃分為4個單元AB、BC、A′B′、B′C′，對應(yīng)6個節(jié)點 A、B、C、A′、B′、C′。整體位移的選擇遵循以下原則：剪式單元r的節(jié)點A、B、A′、B′的整體位移以坐標系XrOYr為參考系，節(jié)點C、C′的整體位移以坐標系Xr＋1OYr＋1為參考系，從而保證不同剪式單元中的同一個梁單元的坐標變換矩陣相同。

按照前述過程，組裝整體坐標系下的梁單元剛度矩陣，并進行自由度凝聚，可得到剪式單元的剛度矩陣。上述整體自由度選擇原則保證了不同的剪式單元具有完全相同的剛度矩陣。組裝剪式單元的剛度矩陣，可得到可展結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。由于單元0與單元N在鉸鏈i0、j0處鉸接，所以總剛度陣為循環(huán)矩陣，無需進行式（12）所示的變換過程。另外，需要說明的是，載荷向量F的各分量應(yīng)表示在與對應(yīng)自由度相同的坐標系下，即剪式單元r的節(jié)點A、B、A′、B′的載荷表示在坐標系XrOYr中，節(jié)點C、C′的載荷表示在坐標系Xr＋1OYr＋1中。最后可得式（12）所示的卷積形式的有限元方程。

圖3 剪式機構(gòu)環(huán)狀陣列可展結(jié)構(gòu)

2 求解方法

式（12）將剪式機構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)的有限元方程表示為離散卷積的形式，離散傅里葉變換和離散卷積的性質(zhì)為求解該方程組提供了新的方法。式（12）本質(zhì)上仍是一個非齊次線性方程組，其通解可以表示為一個特解和對應(yīng)的齊次線性方程組的通解之和。

2.1 F（n）＝q（n）＊K（n）的特解

首先將F（n）、K（n）、q（n）進行拓展，使其成為周期性無限長序列，即

式（12）的另一種等價形式為

對式（14）兩邊進行離散傅里葉變換，然后在等式右側(cè)同時乘以和除以e－i2πsp／（N＋1），得

由式（15）得

對式（17）進行離散傅里葉逆變換得

q（s）即為所求得的位移。

由式（22）、式（23）得

因此，式（12）的特解可以表示為

2.2 q（n）＊K（n）的通解

對式（27）進行離散傅里葉逆變換得

式（29）即為q（n）＊K（n）＝0的通解。

以上求得了式（12）的特解及其對應(yīng)的齊次線性方程組的通解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及式（25）、式（29），式（12）的通解可以表示為

2.3 計算各鉸鏈點位移和約束力

式（12）的通解可以表示為式（30）的形式，但是，式中系數(shù)向量C以及F（0）、F（N）未知，所以，需進一步計算系數(shù)向量C和F（0）、F（N）。

由式（30）可得

將式（31）代入式（19），并根據(jù)F（N）＝FN＋FvN，得到一個靜定線性方程組，解之，得F（0）、F（N）、q（N）。

得到F（0）、F（N）后，代入式（25），可得各鉸鏈點的位移q（s），其中s＝1，2，…，N－1，將q（s）代入式（3），得到各剪式單元中節(jié)點 A、A′、C、C′的節(jié)點力，減去各節(jié)點處的外部載荷，得到各鉸鏈點的約束力。另外，根據(jù)自由度凝聚過程，還可以求得各鉸鏈點B、B′的位移和約束力。得到各節(jié)點的位移后，在單元的局部坐標系下，與幾何矩陣相乘，得到各單元的應(yīng)變，與應(yīng)力矩陣相乘，得到各單元的應(yīng)力。

3 算例

表1 直線陣列結(jié)構(gòu)鉸鏈點C、C′的位移 mm

表2 直線陣列結(jié)構(gòu)節(jié)點B、B′的最大應(yīng)力 MPa

例二為環(huán)狀陣列可展結(jié)構(gòu)，5個單元機構(gòu)，約束i0、j0處x、y方向位移，單元2、3的節(jié)點B、B′處受到100N的徑向力作用，其余條件同例一。計算結(jié)果如表3、表4所示。比較計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形遠小于直線可展結(jié)構(gòu)。

表3 環(huán)狀陣列結(jié)構(gòu)鉸鏈點C、C′的位移 mm

表4 環(huán)狀陣列結(jié)構(gòu)節(jié)點B、B′的最大應(yīng)力 MPa

4 結(jié)論

（1）本文根據(jù)有限單元法，將剪式單元機構(gòu)劃分為四個平面梁單元，通過對其自由端和鉸接點自由度進行凝聚，建立了剪式單元機構(gòu)的剛度矩陣，然后組裝剪式機構(gòu)的剛度矩陣得到可展結(jié)構(gòu)的總剛度陣和有限元方程。通過等價變形，將總剛度陣表示為循環(huán)矩陣，平衡方程表示為離散卷積的形式。

（2）根據(jù)離散傅里葉變換和離散卷積的性質(zhì)以及非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，提出了一種新的方法求解平衡方程，得到了各單元的變形和應(yīng)力，以及各鉸鏈點的約束力，最后采用兩個算例驗證了方法的有效性。

（3）由于陣列組合結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上的循環(huán)對稱的特點，文中所用方法不僅適用于剪式機構(gòu)陣列形成的可展結(jié)構(gòu)，也適用于其他類型的單元機構(gòu)陣列形成的各種形式的可展結(jié)構(gòu)。該方法相對于常規(guī)的有限元方法，計算量減小了，提高了計算效率。

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