張 偉 葉文華

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

在機(jī)械加工中，由于機(jī)床部件溫升而引起的熱變形會(huì)使機(jī)床上刀具與工件之間的相對(duì)位置發(fā)生偏移，從而產(chǎn)生熱誤差［1］。國(guó)內(nèi)外大量研究表明，在所有機(jī)床誤差源中，熱誤差是主要的因素之一，尤其對(duì)于精密加工，熱誤差占70%左右［2］，所以有效控制機(jī)床熱誤差是提高機(jī)床加工精度的重要方法。目前，熱誤差建模與補(bǔ)償技術(shù)是一種既有效又經(jīng)濟(jì)的減小機(jī)床熱誤差提高機(jī)床加工精度的手段［3－4］。數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償技術(shù)的核心是建立能夠客觀反映機(jī)床溫度與熱誤差之間關(guān)系的熱誤差模型，熱誤差模型的精確性和魯棒性取決于模型能否準(zhǔn)確反映機(jī)床溫度場(chǎng)動(dòng)態(tài)分布特性。由于機(jī)床溫度場(chǎng)具有非線性和時(shí)變性，且分布極為復(fù)雜，需要在機(jī)床上布置大量的溫度傳感器來獲得準(zhǔn)確的溫度場(chǎng)，但這會(huì)大大增加實(shí)驗(yàn)成本及工作量。由于機(jī)床各溫度測(cè)點(diǎn)之間存在很強(qiáng)的相關(guān)性，而這種相關(guān)性會(huì)極大地影響熱誤差模型的魯棒性，所以從降低實(shí)驗(yàn)成本和提高熱誤差模型魯棒性上考慮，數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償首先要解決的問題是機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化。

在國(guó)內(nèi)，沈金華等［5］利用多元統(tǒng)計(jì)分析中的聚類分析法對(duì)溫度變量進(jìn)行優(yōu)化，避免了溫度測(cè)點(diǎn)的相互影響；閆嘉鈺等［6］提出了基于灰色綜合關(guān)聯(lián)度，對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化選取，提高熱誤差模型精度的方法；凡志磊等［7］提出了基于偏相關(guān)分析的優(yōu)化方法，對(duì)溫度變量進(jìn)行優(yōu)化選擇，實(shí)現(xiàn)了溫度測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化布置；李郝林等［8］提出了基于信息論與機(jī)床熱誤差有限元分析方法，對(duì)機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化，得出了包含機(jī)床熱誤差互信息量最大的點(diǎn)。在國(guó)外，美國(guó)密歇根大學(xué)的Ma［9］根據(jù)熱誤差和溫度場(chǎng)的動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化了溫度測(cè)點(diǎn)的位置；韓國(guó)的Lee等［10］采用相關(guān)系數(shù)和線性回歸相結(jié)合的方法對(duì)溫度變量進(jìn)行了優(yōu)化，其線性模型具有應(yīng)用性強(qiáng)、計(jì)算時(shí)間短、模型精度高和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)；美國(guó)的Creighton等［11］利用有限元法建立了主軸溫升與熱變形模型，并用熱電偶和電容計(jì)獲取了主軸關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫升和熱變形，溫升和熱變形的實(shí)驗(yàn)值與有限元分析值具有良好的一致性。

溫度場(chǎng)的有限溫度測(cè)點(diǎn)測(cè)量相對(duì)于整個(gè)機(jī)床溫度分布場(chǎng)具有小樣本、貧信息等特點(diǎn)，本文利用灰色系統(tǒng)的基本理論，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的數(shù)據(jù)序列，建立了灰色關(guān)聯(lián)分析模型，以分析機(jī)床溫度場(chǎng)分布中測(cè)點(diǎn)溫度對(duì)熱誤差的影響程度，并根據(jù)提出的篩選準(zhǔn)則，選擇得到對(duì)機(jī)床熱誤差影響較大的溫度測(cè)點(diǎn)。由于溫度測(cè)點(diǎn)之間存在相關(guān)性，本文提出對(duì)溫度進(jìn)行模糊聚類，對(duì)所選擇的溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行再次篩選，得到最終用于建立機(jī)床熱誤差模型的溫度測(cè)點(diǎn)。在試驗(yàn)過程中，通對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，減少了測(cè)點(diǎn)數(shù)量，優(yōu)化了溫度測(cè)點(diǎn)在機(jī)床上的布置，避免了多溫度變量在熱誤差模型中產(chǎn)生復(fù)共線問題，從而提高了機(jī)床熱誤差模型的魯棒性。

1 溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)分析與模糊聚類分析

1.1 溫度變量灰色關(guān)聯(lián)分析模型

灰色關(guān)聯(lián)分析是按照系統(tǒng)中各特征參量系列之間的相似相近程度用數(shù)學(xué)理論所進(jìn)行的系統(tǒng)分析［12］。在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，灰色系統(tǒng)理論具有傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)理論無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，即在很少的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及所研究系統(tǒng)概率未知的情況下，計(jì)算結(jié)果可以充分體現(xiàn)所研究系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律［13］。本文在對(duì)機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，采用灰色關(guān)聯(lián)分析模型，通過一定的方法尋求溫度測(cè)點(diǎn)與熱誤差之間的關(guān)系，從而找出影響機(jī)床加工熱誤差的主要因素。

1.1.1數(shù)據(jù)序列的規(guī)范化處理

由于各影響因素的含義及目的不同，因而各序列通常具有不同的量綱和數(shù)據(jù)級(jí)。如果兩個(gè)序列間的數(shù)據(jù)相差很大，則小數(shù)值序列的作用容易被大數(shù)值序列掩蓋。為了保證各因素間具有等效性和同序性，需要對(duì)原始序列數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使之量綱一化和歸一化。對(duì)原始數(shù)據(jù)采用極差化變換處理法，極差化變換法有兩種處理方式，這里采用數(shù)值越大效用越小的因素處理法，即

式中，x（k）為歸一化數(shù)據(jù)；x（0）（k）為原始數(shù)據(jù)。

1.1.2灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)

設(shè)有熱誤差數(shù)據(jù)數(shù)列x0＝｛x0（k）｜k＝1，2，…，m｝及溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)數(shù)列xi＝｛xi（k）｜i＝1，2，…，n；k＝1，2，…，m｝，則x0對(duì)xi在第k點(diǎn)的關(guān)聯(lián)系數(shù)為

式中，minminΔ0i（k）為兩極最小差；maxmaxΔ0i（k）為兩極最大差；ρ為分辨系數(shù)，ρ∈ ［0，1］，一般取ρ＝0.5，在具體運(yùn)算中，可根據(jù)各數(shù)據(jù)序列間的關(guān)聯(lián)度對(duì)ρ取值進(jìn)行調(diào)整，以增加對(duì)比分析的分辨能力。

1.1.3灰色關(guān)聯(lián)度

熱誤差序列與溫度測(cè)點(diǎn)序列之間的關(guān)聯(lián)度可用兩序列各個(gè)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)度系數(shù)的平均值來計(jì)算，即

式中，r0i為溫度測(cè)點(diǎn)序列xi與熱誤差序列x0的關(guān)聯(lián)度。

最后將各個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)序列與熱誤差序列的關(guān)聯(lián)度按大小順序排列起來，即組成關(guān)聯(lián)序列，它直接反應(yīng)了各個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)對(duì)熱誤差的影響大小的關(guān)系。

1.2 溫度變量模糊聚類分析

模糊聚類分析是根據(jù)溫度變量間的相關(guān)性建立模糊關(guān)系，利用模糊關(guān)系對(duì)溫度變量進(jìn)行聚類分析的一種分析方法。為了簡(jiǎn)單直觀，一般將模糊關(guān)系轉(zhuǎn)化為模糊矩陣，用模糊矩陣進(jìn)行模糊聚類分析。

1.2.1模糊相似矩陣

采用相關(guān)系數(shù)法建立模糊相似矩陣R＝［rij］p×p，設(shè) X ＝ ｛x1，x2，…，xp｝為p個(gè)溫度變量的集合，其中xi＝ ｛xi1，xi2，…，xin｝（i＝1，2，…，p）為第i個(gè)溫度變量的n個(gè)觀測(cè)值，則用來描述變量x、y之間的關(guān)聯(lián)程度的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為

1.2.2模糊等價(jià)矩陣

模糊等價(jià)矩陣要同時(shí)滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性三個(gè)條件才可以進(jìn)行合理的分類。模糊相似矩陣R不一定具有傳遞性，要進(jìn)行分類，必須將模糊相似矩陣R構(gòu)造成模糊等價(jià)矩陣。采用平方法求R的傳遞閉包t（R），經(jīng)過有限次運(yùn)算后存在k使得R2k＝R2（k＋1）。令t（R）＝R2k，t（R）即為所求的模糊等價(jià)矩陣。

1.2.3溫度變量模糊聚類

式中，m為溫度變量總數(shù)；p為模型中溫度變量個(gè)數(shù)。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)方案

圖1 溫度傳感器分布示意圖

以MCH63臥式加工中心作為試驗(yàn)對(duì)象，根據(jù)文獻(xiàn)［2］的機(jī)床熱源分析在機(jī)床上布置29個(gè)溫度傳感器（圖1），并將一個(gè)電渦流位移傳感器安裝在工作臺(tái)上測(cè)量Z向（主軸軸向）的熱誤差（圖2）。溫度傳感器的安裝如表1所示。試驗(yàn)采用空切削方式，機(jī)床開機(jī)后主軸轉(zhuǎn)速為3000r／min，運(yùn)行15min后升為8000r／min，1h后升為12000 r／min，運(yùn) 行 1.5h 降 到 6000r／min，20min 后 停機(jī)，機(jī)床三軸進(jìn)給速度為2000mm／min。試驗(yàn)采集兩組數(shù)據(jù)，一組用于溫度熱誤差優(yōu)化建模分析，另一組則用于驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)精度。

表1 溫度傳感器的安裝位置

2.2 溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果

以機(jī)床Z向熱誤差數(shù)列為母序列x0，29個(gè)溫度傳感器的測(cè)量值數(shù)列為子序列xi（i＝1，2，…，29）。依據(jù)灰關(guān)聯(lián)分析理論，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行極差化變換，以消除量綱。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)上文的灰色關(guān)聯(lián)分析模型計(jì)算各子序列xi與母序列x0的灰關(guān)聯(lián)度。計(jì)算結(jié)果如下：

通過上述分析計(jì)算，對(duì)灰色關(guān)聯(lián)度按從大到小進(jìn)行排序，取其前15個(gè)因素作為主要因素。主要 因 素 為：r0，22、r0，6、r0，20、r0，28、r0，16、r0，11、r0，25、r0，12、r0，3、r0，26、r0，2、r0，17、r0，27、r0，24、r0，18。與之對(duì)應(yīng)的 傳 感 器 的 編 號(hào) 為 T7、T6、T14、T3、T19、T4、T28、T10、T11、T8、T24、T25、T18、T9、T13。

表2 閾值λ和、（）′ 值

表2 閾值λ和、（）′ 值

λ 0.91 0.93 0.95 0.1 2 5 7溫度變量 T3，T4，T6，T7，T14，T19 97分組數(shù)T4，T14，T19，T3，T7，T8 T6，T7，T14，T8，T9，T18 T6，T7，T14，T8，T9，T18，T28 R2 p 0.9723 0.9742 0.9964 0.9965（R2p）′ 0.9647 0.9672 0.9955 0.9953

圖3 關(guān)鍵溫度變量數(shù)據(jù)

2.3 結(jié)果驗(yàn)證

2.3.1對(duì)比灰色關(guān)聯(lián)和模糊聚類結(jié)合法與灰色關(guān)聯(lián)法的溫度變量?jī)?yōu)化結(jié)果

利用基于最小二乘的多元線性回歸模型對(duì)溫度變量的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)優(yōu)化得到的關(guān)鍵溫度變量建立Z向熱誤差模型：

式中，ΔZ為機(jī)床主軸軸向熱誤差；ΔT6、ΔT7、ΔT8、ΔT9、ΔT14、ΔT18分別為各關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)的溫升。

該模型熱誤差預(yù)測(cè)曲線如圖4a所示，圖4b是采用灰色關(guān)聯(lián)度選取關(guān)鍵溫度變量進(jìn)行建模的熱誤差預(yù)測(cè)圖。圖中殘差是熱誤差模型的預(yù)測(cè)值與測(cè)量值之差。從表3可以看出，采用灰色關(guān)聯(lián)結(jié)合模糊聚類法得到關(guān)鍵溫度變量建立的熱誤差模型，其平均誤差較小，誤差值分布范圍較小，最大殘差為7.6μm；而采用灰色關(guān)聯(lián)分析法得到的溫度變量建立熱誤差建模，其誤差平均值較大，誤差值分布范圍較廣，最大殘差為17μm，模型精度和魯棒性較差?？梢?，本文方法所選取的關(guān)鍵溫度變量對(duì)機(jī)床主軸熱誤差影響較為顯著。

圖4 Z向熱誤差模型預(yù)測(cè)圖

表3 熱誤差預(yù)測(cè)結(jié)果

2.3.2 λ值優(yōu)化

λ值不同時(shí)，關(guān)鍵溫度變量的選取也不同，熱誤差建模結(jié)果比較見表4。表中RMSE為均方根誤差，即熱誤差模型預(yù)測(cè)值與測(cè)量值間誤差的均方根，用來說明擬合曲線殘差的總體離散程度。由表4可知，不同λ值選取的溫度變量用于熱誤差建模所得的值都很大，可見模型擬合得很好。λ取0.97時(shí)，熱誤差模型的最大殘差、平均誤差與RMSE值最小，但其值卻變小了，可知在其精度提升的同時(shí)，魯棒性卻在下降。λ取0.95時(shí)，熱誤差模型的最大殘差、平均誤差與RMSE值稍大，但其值卻變大了，可知其魯棒性較高，溫度變量分類較合理。因此，利用復(fù)判定系數(shù)和修正復(fù)判定系數(shù)對(duì)λ值優(yōu)化可以準(zhǔn)確合理地確定溫度變量的分類。

表4 λ的優(yōu)化結(jié)果

3 結(jié)論

（1）本文采用灰色關(guān)聯(lián)和模糊聚類相結(jié)合的方法對(duì)溫度變量進(jìn)行選擇優(yōu)化，并在一臺(tái)臥式加工中心MCH63上進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。試驗(yàn)結(jié)果表明，機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)量由29個(gè)減少到6個(gè)，主軸方向（Z向）熱誤差從41.3μm減小到7.6μm。

（2）采用灰色關(guān)聯(lián)和模糊聚類法優(yōu)化得到的關(guān)鍵溫度變量用于熱誤差建模，其最大殘差僅為7.6μm，而灰色關(guān)聯(lián)分析法的最大殘差為17μm。因此，本文提出的灰色關(guān)聯(lián)和模糊聚類法優(yōu)于灰色關(guān)聯(lián)分析法，能使預(yù)測(cè)值更接近觀測(cè)值，預(yù)測(cè)效果好，既保證了熱誤差模型的預(yù)測(cè)精度，又避免了溫度變量之間的耦合影響，提高了熱誤差模型的魯棒性。

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