占建偉 ，吳鵬，龔航，彭競，歐鋼

(1. 國防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙，410073；2. 第二炮兵工程大學(xué) 四系，陜西 西安，710025)

在衛(wèi)星信號受遮擋嚴(yán)重地區(qū)，例如城市高樓、停車場、隧道、室內(nèi)，可能出現(xiàn)部分信號中斷或全部信號中斷情況。定義可見衛(wèi)星僅有3顆的情況為“3-D不完備條件”，可見衛(wèi)星數(shù)大于 4顆的情況為“完備條件”[1]。統(tǒng)計表明，“3-D不完備條件”以大于10%的概率頻繁出現(xiàn)，每次出現(xiàn)平均持續(xù)約為50 s[2]，這導(dǎo)致接收機(jī)首次定位時間和失鎖重捕時間大大增加，采用完備條件下的定位方法可能無法給出定位結(jié)果或者定位精度很差，嚴(yán)重影響B(tài)DS，GPS和Galileo等各類接收機(jī)的定位可用性和可靠性，使其應(yīng)用范圍受到了極大限制。針對這一問題，往往通過集成傳感器引入外部測量信息輔助的方法降低對可見衛(wèi)星數(shù)的依賴，以實(shí)現(xiàn)三維定位，如氣壓高度表、RFID，偽衛(wèi)星、INS或者電子地圖匹配等方法[3?6]。但是，以上方法需借助外部設(shè)備，往往成本較大，作用范圍具有一定的局限性。不借助任何外部信息、完全利用接收機(jī)在非輔助條件下解算得到鐘差解算值，通過建立鐘差預(yù)測模型，預(yù)測未來所需某時刻的鐘差用于輔助定位的方法，實(shí)現(xiàn)簡單、靈活、性價比高。目前，已有若干文獻(xiàn)對接收機(jī)鐘差輔助建模及輔助定位算法進(jìn)行了一定的研究[7?10]，但不夠成熟和全面。歸納起來，上述文獻(xiàn)所提出的方法主要有以下幾個特點(diǎn)：(1) 以往的研究往往集中于廉價原子鐘、恒溫晶振，缺少對廉價溫補(bǔ)晶體振蕩器(TCXO)的相關(guān)分析，而后者在許多接收機(jī)里很普及，盡管其長穩(wěn)不如原子鐘理想，但是其50 s以內(nèi)的短期穩(wěn)定度一般可以達(dá)到10?9以上[1]；(2) 鐘差模型的建立采用的是等間隔的觀測數(shù)據(jù)，而城市典型環(huán)境下的信號中斷往往呈現(xiàn)間歇性的特點(diǎn)，用戶定位的連續(xù)性得不到保證，解算得到的鐘差解算值序列往往是不等間隔的；(3) 單一的鐘差預(yù)測模型有其自身的特點(diǎn)和適用范圍，對于不同的環(huán)境，單一模型的可靠性得不到保證，在實(shí)用上存在一定的局限性和缺陷。為了解決上述問題，本文作者利用非等間距接收機(jī)鐘差解算值序列，基于傳統(tǒng)的多項(xiàng)式模型和灰色模型，分別提出廣義延拓逼近法的改進(jìn)多項(xiàng)式模型和改進(jìn)非等間距灰色模型；并在此基礎(chǔ)上提出了一種動態(tài)加權(quán)組合預(yù)測模型及其相應(yīng)的輔助定位算法。

1 鐘差預(yù)報模型建模

1.1 改進(jìn)的多項(xiàng)式鐘差模型

設(shè)在城市遮擋環(huán)境中得到預(yù)處理后的不等間隔健康鐘差序列為x(t1)，x(t2)，…，x(tm)，其中ti?ti-1≠常數(shù)。根據(jù)鐘差的物理意義，一般采用多項(xiàng)式模型對接收機(jī)鐘差進(jìn)行建模[11]。

其中，α0，α1，α2，…，αn為待定的多項(xiàng)式模型參數(shù)，分別表示鐘偏、鐘速、頻率漂移等；n為模型的階數(shù)，可通過殘差確定，針對大多數(shù)接收機(jī)晶振，n=2時可滿足模型精度要求；t0為參考時刻，一般進(jìn)行歸一化處理，即令t0=0；w(ti)由多種噪聲組成，主要包括相位噪聲和測量噪聲。

考慮到原點(diǎn)tn及附近的鐘差解算值對預(yù)測值影響最大，因此選擇約束在原點(diǎn)誤差最小的條件下，通過使殘差平方和達(dá)到最小值來確定α中各參數(shù)α0，α1，α2，…，αn，具體如式(2)所示。

其中：Hn為H矩陣的第n行構(gòu)成的行向量。

式(2)可以采用拉格朗日乘子法進(jìn)行解算[12]。

1.2 改進(jìn)的不等間隔灰色模型

灰色 GM(1,1)模型廣泛應(yīng)用于少數(shù)據(jù)、貧信息、不確定性問題的預(yù)測，在衛(wèi)星鐘差的長期預(yù)報中具有一定的實(shí)用性[13]。而接收機(jī)鐘差與衛(wèi)星鐘差一樣，受多種噪聲的影響，有些噪聲特性已經(jīng)明確，有些噪聲特性未知或者不確定，符合灰色系統(tǒng)的特點(diǎn)，因此，本文嘗試將接收機(jī)鐘差序列視為灰色系統(tǒng)。

傳統(tǒng)的 GM(1,1)模型都是基于等間隔觀測數(shù)據(jù)建立的，并不能直接應(yīng)用于非等間隔鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)報，必須進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)。相似問題在其他領(lǐng)域已經(jīng)有一定研究，考慮到典型城市3-D不完備條件下接收機(jī)觀測數(shù)據(jù)少，線性化的特點(diǎn)，本文采用文獻(xiàn)[13]。中提出的改進(jìn)模型AMUGM(1,1)。該模型的特點(diǎn)是通過優(yōu)化背景值，擴(kuò)大了模型的實(shí)用性，使其同時適用于具有線性變化和指數(shù)變化規(guī)律的數(shù)據(jù)序列預(yù)測，其鐘差預(yù)測值的表達(dá)式為

當(dāng)m＞4時，利用最小二乘原理，可求得參數(shù)估計值為：

式中，x(1)(ti) 表示原始序列與時間間隔相乘后的一次累加序列，其累加關(guān)系如(13)所示；β，c1，c2，c3依據(jù)平均值和最小二乘原理求取。待確定各參數(shù)后，可以依據(jù)式(6)預(yù)測鐘差值。

1.3 動態(tài)加權(quán)組合模型

任何單一的預(yù)報模型都有自身的特點(diǎn)和適用性。如多項(xiàng)式模型物理意義明確，短期預(yù)報效果好，而灰色模型在只有少量觀測數(shù)據(jù)情況下，長期預(yù)報也能保證預(yù)報的精度[11]。因此，應(yīng)用組合方式是實(shí)現(xiàn)2種模型優(yōu)勢互補(bǔ)的一種有效途徑。在各種組合模型中，加權(quán)線性組合模型被廣泛應(yīng)用，該模型具有優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化準(zhǔn)則建立及求解簡單、計算量小的優(yōu)點(diǎn)。

權(quán)值wp和wGM通過求解組合模擬誤差平方和最小值來確定，對應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如式(16)所示。同時定義ε，εp和εGM分別為對應(yīng)觀測值組成的列向量，如式(17)～(19)所示。

利用消元法和并將I對w求微分，易得到最優(yōu)權(quán)值為wp。如式(20)所示。而wGM可依據(jù)式(14)的約束方程解算得到。

以上建立的模型可以用來預(yù)測短時內(nèi)的鐘差，但是由于參數(shù)固定，其預(yù)測誤差會隨著時間增長而逐漸積累。因此，提出采用“滑動窗”來鎖定最新的鐘差解算值，同時剔除“最舊鐘差解算值”，然后重新估計模型參數(shù)。這樣，每次計算就只需要固定長度的最新觀測值，大大減小了存儲量，提高了運(yùn)算速度。

1.4 模型短期預(yù)測能力評價標(biāo)

建立組合模型后，選用的預(yù)測性能評價標(biāo)準(zhǔn)主要包括殘差平方s和平均相對誤差Δ，計算公式如下：

2 鐘差輔助定位算法

2.1 鐘差輔助的原理

依據(jù)鐘差組合預(yù)測模型外推預(yù)測得到接收機(jī)鐘差預(yù)報值，可建立如下約束方程用于輔助定位：

其中，ωx為偽距測量誤差標(biāo)準(zhǔn)差和鐘差誤差標(biāo)準(zhǔn)差的歸一化參數(shù)，用于調(diào)整約束方程(23)的誤差分量，使得調(diào)整后的誤差分量具有相同的方差。

將式(23)并入無任何輔助的基本定位方程組(25)，從而可完成3-D不完備條件下的輔助定位。

圖1 短時預(yù)報鐘差輔助定位算法Fig. 1 Flow of clock-aided positioning algorithm for short-term prediction

其中：Δρ為測量偽距值與偽距估計值之間的偏差；ε為偽距測量誤差矢量；G為n×4的觀測矩陣；n為可視有效衛(wèi)星數(shù)?？梢钥闯?，基于鐘差輔助的定位算法實(shí)際上相當(dāng)于增加了1顆觀測衛(wèi)星，是解決3-D不完備條件下定位連續(xù)性和可用性的有效方法之一。

值得注意的是：針對短時預(yù)報得到鐘差預(yù)測值，在滑動過程中，不宜作為新息引入模型。原因是與正常解算鐘差值相比，鐘差預(yù)測值多了1項(xiàng)預(yù)測誤差。由式(26)可知，該預(yù)測誤差將引起額外的定位誤差。

2.2 接收機(jī)鐘差輔助的定位精度

在鐘差輔助定位中，鐘差預(yù)測模型的精度將直接影響最終的三維定位精度，其影響可采用式(26)進(jìn)行評估[10]。而式(27)進(jìn)一步表明，當(dāng)鐘差預(yù)測值和實(shí)際鐘差之間的誤差σb大于時間精度因子(DTDOP)和衛(wèi)星基準(zhǔn)偽距測量均方差σs的乘積時，鐘差輔助定位的誤差比完備定位條件下的定位誤差大。

其中，H3為3×3的幾何觀測矩陣。

而在鐘差輔助定位中，σb應(yīng)由2部分組成，模型預(yù)測值與實(shí)際鐘差解算值間誤差σp，以及實(shí)際鐘差解算值與真實(shí)鐘差間誤差σc。當(dāng)預(yù)測模型為改進(jìn)二次多項(xiàng)式模型時[8]，三者的關(guān)系可以表示為

根據(jù)式(29)可知，σp作為鐘差σb的主要組成部分，將是影響輔助定位精度的主要誤差因素。因此，高精度的鐘差預(yù)報模型有利于提高定位精度。

3 試驗(yàn)結(jié)果及討論

3.1 鐘差預(yù)報性能評估

3.1.1 鐘差數(shù)據(jù)合理性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證鐘差預(yù)測模型輔助接收機(jī)定位解算的性能，于 2013?03?20在長沙某固定點(diǎn)采用北斗接收機(jī)進(jìn)行靜態(tài)數(shù)據(jù)采集，采樣頻率為1 Hz，接收機(jī)記錄了各可視衛(wèi)星的坐標(biāo)、偽距、精度因子和接收機(jī)鐘差等觀測數(shù)據(jù)，時間起點(diǎn)對應(yīng)的周內(nèi)時間為265 151 s。其中，定位解算時采用的衛(wèi)星偽距均方根誤差分別為：σGEO=6.5 m，σIGSO=4.5 m，σs=σGEO。

晶振的頻率穩(wěn)定度在一定的程度上反映了鐘差的可預(yù)測性[1]。利用上述連續(xù)的鐘差解算值計算得到頻率穩(wěn)定度，如圖2所示。 由圖2可見：實(shí)驗(yàn)所得北斗接收機(jī)TCVCXO(CFPT-XXX)晶振50 s的頻率穩(wěn)定度約為2.5×10?9，鐘差預(yù)測可以達(dá)到納秒級。

圖2 實(shí)驗(yàn)所用北斗接收機(jī)晶振的頻率穩(wěn)定度Fig. 2 Frequency stability of BDS receiver’oscillator

3.1.2 3-D不完備條件下不連續(xù)定位場景

實(shí)際測試統(tǒng)計表明，在城市、峽谷等信號遮擋嚴(yán)重的區(qū)域，3-D不完備條件的平均維持時間約為50 s。因此，從上述連續(xù)的歷史觀測數(shù)據(jù)中分段選擇連續(xù)的鐘差解算值，對典型的城市定位場景進(jìn)行建模，如圖3所示。由圖3可見：整個觀測時段內(nèi)接收機(jī)經(jīng)歷了3次3-D不完備條件，分別為圖中A，B，C段，其余為完備時段，可以得到鐘差解算值。定義ΔtA，ΔtB和ΔtC的信號中斷時長分別為：ΔtA=54 s，ΔtB=14 s，ΔtC=14 s。

圖3 典型城市環(huán)境下的輔助定位場景Fig. 3 Experimental scenario in typical urban environment

3.1.3 3-D不完備條件下組合預(yù)測模型性能

(1) 組合預(yù)測模型與一般多項(xiàng)式模型比較。2種模型利用上述不等間隔鐘差解算值數(shù)據(jù)連續(xù)外推 155 ～205 s，結(jié)果如圖4所示。從圖4可見：隨著預(yù)測時間的延長，2種模型的預(yù)測誤差都逐漸積累；當(dāng)預(yù)測時為55 s時，組合預(yù)測模型的預(yù)測誤差達(dá)到?0.279 m，一般二次多項(xiàng)式模型達(dá)到?0.343 m；當(dāng)預(yù)測時長達(dá)到80 s時，組合預(yù)測模型的預(yù)測誤差達(dá)到?1.096 m，一般二次多項(xiàng)式模型達(dá)到?1.187 m。而從變化趨勢來講，2種模型是一致的，差異僅表現(xiàn)在預(yù)測起點(diǎn)。這是組合預(yù)測模型采用加權(quán)和廣義延拓逼近優(yōu)化的結(jié)果。總體來看，與一般二次多項(xiàng)式模型相比，組合預(yù)測模型預(yù)測精度提高1.764 m, 但都能滿足3-D不完備條件下信號中斷時長最大50 s時的精度要求。

圖4 典型城市環(huán)境下組合模型與傳統(tǒng)二次模型鐘差預(yù)測結(jié)果對比(Δt=30 s)Fig. 4 Comparison of RCB predictions using combination and second-order polynomial model in typical urban environment

(2) 信號遮擋時長對組合預(yù)測模型精度的影響。圖5所示為信號受遮擋時長ΔtA，ΔtB，ΔtC不同取值對預(yù)測精度的影響?？紤]到典型城市環(huán)境的特點(diǎn)，各參數(shù)的取值范圍滿足式(30)。從圖 5可見：從總的趨勢上講，鐘差預(yù)測誤差隨著 Δti的延長而積累，導(dǎo)致定位精度降低。經(jīng)計算，當(dāng)ΔtA=23 s時，鐘差預(yù)測誤差達(dá)到最大值，emax=?2.010 m。

(3) 新息對組合預(yù)測模型精度的影響。為了驗(yàn)證“滑動窗”對預(yù)測精度的影響，針對不同的新息類型和滑動方式，采用表1所示的4種方式進(jìn)行預(yù)測精度對比分析，其仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

從圖4、圖6、圖7和表1可見：(1) 將鐘差預(yù)測值引入模型觀測值序列動態(tài)更新模型參數(shù)后，將導(dǎo)致模型精度下降；(2) 組合預(yù)測模型 2的精度略低于非滑動模型 1。這與滑動窗選取的觀測值長度有關(guān)，在觀測數(shù)據(jù)充足的情況下，可以避免此影響。

圖5 信號遮擋時長對模型預(yù)測精度的影響(i=A，B，C)Fig. 5 Duration of signal blockage effect on prediction accuracy

表1 不同新息對模型預(yù)測精度的影響Table 1 Effect of different types of new information on prediction accuracy

圖6 將鐘差解算值作為新息時模型預(yù)測精度Fig. 6 Prediction accuracy of models using RCB as new information

圖7 將健康鐘差預(yù)測值作為信息時模型的預(yù)測精度Fig. 7 Prediction accuracy of models using predicted RCB as new information

3.2 鐘輔助定位性能評估

為了驗(yàn)證組合預(yù)測模型輔助定位算法的性能，采用受ΔtA，ΔtB和ΔtC等信號受遮擋影響的20個不等間隔歷史鐘差解算值作為歷史觀測數(shù)據(jù), 進(jìn)行輔助定位性能仿真，并與完備條件下的4星定位結(jié)果進(jìn)行比較。其中鐘差輔助定位所用 3顆星為 SV01，SV 04和SV07，完備條件下的定位所用4顆星為SV01，SV 04，SV07和SV08，定位頻率為1 Hz。

圖8和圖9所示為2種定位方法的三維定位誤差及其累積分布。從圖8可見：4星定位的定位誤差為10.960 m；而輔助定位的定位誤差為11.263 m，比正常定位略微增大 2.76%。這是受鐘差預(yù)報誤差影響而導(dǎo)致的，但仍然可以滿足短時3-D不完備條件下北斗接收機(jī)輔助定位精度需求。

圖8 鐘差輔助定位和四星定位解算結(jié)果Fig. 8 Positioning results of clock-aided algorithm and four-satellite method

圖9 鐘差輔助定位和四星定位解算結(jié)果累積概率分布對比Fig. 9 Cumulative distribution function of positioning errors of clock-aided algorithm and four-satellite method

通過以上的對比分析可以看出：采用預(yù)測鐘差解算值進(jìn)行輔助定位，在短時期內(nèi)可以繼續(xù)為用戶提供與完備條件下性能相當(dāng)?shù)亩ㄎ?、?dǎo)航和授時服務(wù)，有效地提高了定位的連續(xù)性和可用性。

4 結(jié)論

(1) 廣義嚴(yán)拓逼近法通過優(yōu)化預(yù)測模型在原點(diǎn)的誤差，使得模型具有更高的短期外推精度和可靠性。

(2) 采用“滑動窗”的方式，可以將健康的鐘差解算值引入模型，建立參數(shù)動態(tài)更新的鐘差預(yù)測模型，使模型更好地符合實(shí)時變化規(guī)律，以保持更高的預(yù)測精度。

(3) 線性組合模型通過最優(yōu)加權(quán)組合，實(shí)現(xiàn)了單一的改進(jìn)多項(xiàng)式模型和改進(jìn)不等間隔灰色模型的優(yōu)勢互補(bǔ)，有效提高了模型的適用性和可靠性。

(4) 通過北斗接收機(jī)的實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析表明，該算法解決了一定外推時間內(nèi)3-D不完備條件下的定位連續(xù)性問題，針對不同類型的不等間隔序列，都能保證滿足導(dǎo)航定位精度要求，有效提高了定位的連續(xù)性和可靠性。且該新方法無需增加額外的設(shè)備，輔助方式靈活、簡單、經(jīng)濟(jì)。

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