孔明英

小學(xué)數(shù)學(xué)教科書作為教師教與學(xué)生學(xué)的范本與主要素材，其內(nèi)容的銜接影響著數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式、途徑、效果等多個(gè)層面。特別是對(duì)類似于“式與方程”這樣的知識(shí)，既是小學(xué)數(shù)學(xué)由算術(shù)過渡到代數(shù)的第一個(gè)顯性知識(shí)模塊，又是數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容、思想方法與思維方式上的一次飛躍，作為一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的知識(shí)模塊，其內(nèi)容本身及其與前后知識(shí)的銜接對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維的過渡與發(fā)展均具有重要影響。下面擬以現(xiàn)行蘇教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書為例，探尋“式與方程”的銜接特征，以期為教科書的設(shè)置以及教師對(duì)教材的有效使用提供一些幫助。

一、 教科書中“式與方程”的銜接特征

1. 主體內(nèi)容的獨(dú)立單元式螺旋上升

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“式與方程”主要包括用字母表示數(shù)、簡易方程和列方程解決簡單的實(shí)際問題等內(nèi)容。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書就“式與方程”的內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的心理特征、知識(shí)間的邏輯關(guān)系等情況，在編排方式上采用了螺旋上升式。其具體的設(shè)置情況如表1所示。

表 1 蘇教版教科書“式與方程”主體單元設(shè)置情況

蘇教版教科書在四年級(jí)下學(xué)期最后一個(gè)單元安排了用字母表示數(shù)，這是在學(xué)生經(jīng)過第一學(xué)段的準(zhǔn)備后，明確設(shè)置代數(shù)知識(shí)，要求滲透代數(shù)思想方法的獨(dú)立單元。在此單元中教材大部分內(nèi)容是先通過簡單的問題情境，讓學(xué)生先理解字母可以表示數(shù)，進(jìn)而逐步提升原有問題情境的復(fù)雜性，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生熟練地使用含有字母的式子表示各種基本的數(shù)量關(guān)系。其中的例題大多數(shù)采用了歸納的思想方法，通過特例、由算式表示數(shù)量等，啟發(fā)學(xué)生歸納出一般的規(guī)律，而這個(gè)一般規(guī)律需要用含有字母的式子來表示。如下例所示：

擺1個(gè)三角形用3根小棒

擺2個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：2×3

擺3個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×3

擺4個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×3

……

擺a個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×（ ）

問題：你知道這里的a可以表示哪些數(shù)么？[1]

接著再學(xué)習(xí)化簡形如“ax±by”這樣含有字母的式子，這部分需要列出的含有字母的式子已經(jīng)達(dá)到了以三步運(yùn)算為主，且是后繼學(xué)習(xí)形如ax+by=c式方程的基礎(chǔ)。

到五年級(jí)下冊第一單元方程部分，教材首先結(jié)合具體情境——“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生了解等式和方程的關(guān)系，理解并會(huì)應(yīng)用包含四則運(yùn)算的簡單方程。其中有關(guān)等式的性質(zhì)是貫穿整個(gè)方程學(xué)習(xí)的核心——“等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式”，“等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式”。這樣使先前等式性質(zhì)與新知充分聯(lián)系起來。教材另外重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是未知數(shù)的表達(dá)既可以是“x”，亦可以是“y”，還可以是“a”，甚至可以是任何字母，即數(shù)學(xué)不再是單純地研究量的科學(xué)，還是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，“變量不再表示數(shù)，而是表示一個(gè)給定域中的類[2]”（如在五年級(jí)下冊蘇教版教材第2頁到第3頁都刻意用不同的字母來表示等式中的未知量）。同時(shí)拓展了字母代數(shù)的含義，做到有機(jī)地與“式與方程”前一單元內(nèi)容的銜接。

到六年級(jí)上冊的方程單元，考慮到學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地運(yùn)用等式的性質(zhì)來解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b的方程，對(duì)于ax±by的化簡也已學(xué)過，教科書主要設(shè)置用形如ax+b=c、ax÷b=c和ax+bx=c的方程來解決實(shí)際問題，并引導(dǎo)學(xué)生自主探索有關(guān)方程的解法。三個(gè)獨(dú)立單元的學(xué)習(xí)使學(xué)生分析、抽象概括的能力得到增強(qiáng)，符號(hào)感得到逐步發(fā)展，與此同時(shí)，對(duì)方程解的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，在文化層面上還傳遞了一種自省的內(nèi)涵。

2.多層面的漸進(jìn)式前置滲透

表 2 “式與方程”前置性內(nèi)容簡要分析

由符號(hào)“●”“▲”“（ ）”“□”這些既可表示填寫數(shù)的空位，也可用來表示數(shù)的符號(hào)這樣的孕伏階段逐漸過渡到圖形面積計(jì)算公式和一些運(yùn)算定律的前置性知識(shí)，為正式學(xué)習(xí)字母表示數(shù)做好鋪墊。由25+（ ）=18+（ ）等算術(shù)或代數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系式進(jìn)行呈現(xiàn)與滲透，體現(xiàn)代數(shù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征與代數(shù)思維的關(guān)系性等。如此形成從不同層面的情境、不同層面的知識(shí)、不同層面的思維進(jìn)行前置性滲透，為學(xué)生后繼“式與方程”的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3.多元化的散點(diǎn)式后置拓展

小學(xué)數(shù)學(xué)的“式與方程”實(shí)際上是代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)開端與顯性知識(shí)模塊，后繼其他知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)可以此為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展。現(xiàn)選取“比與比例”以及六年級(jí)上冊《解決問題的策略》中的“替換與假設(shè)策略”內(nèi)容對(duì)方程知識(shí)的隱性延伸做稍微的闡述：第一，方程“等價(jià)思想”的拓展應(yīng)用。具體表現(xiàn)為六年級(jí)上冊認(rèn)識(shí)比單元《大樹多高》中測量大樹高度的實(shí)踐活動(dòng)就是利用“在同一地點(diǎn)，同時(shí)測量不同的竹竿，高度與影長的比值是相等的”這種等價(jià)思想列出具有對(duì)應(yīng)性的方程的。第二，方程“假設(shè)思想”的拓展應(yīng)用。具體表現(xiàn)如解決問題策略單元的例2“全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？”教材試圖啟發(fā)學(xué)生使用多種具體的假設(shè)方法解決問題，這些均屬于方程知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，單元后面的“雞兔同籠”問題也有異曲同工之效。如此通過或顯性或隱性、不同數(shù)學(xué)知識(shí)模塊以及不同知識(shí)領(lǐng)域?qū)Ψ匠讨R(shí)進(jìn)行散點(diǎn)式的拓展、滲透與鞏固，有效地強(qiáng)化與提升了“式與方程”與其他知識(shí)內(nèi)容的銜接與融合。

二、 教科書中“式與方程”銜接的建議

1.加強(qiáng)“式與方程”單元編排的系統(tǒng)性

“式與方程”模塊在蘇教版教科書劃分為四、五、六三個(gè)年級(jí)的各一個(gè)單元來編排，雖然設(shè)置了針對(duì)性的銜接點(diǎn)，但時(shí)間跨度較長，由于遺忘等會(huì)造成銜接的困難，同時(shí)也會(huì)對(duì)形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生不利影響。知識(shí)系統(tǒng)性的不完整，對(duì)學(xué)生的靈活運(yùn)用是具有破壞性的，所以可適當(dāng)集中設(shè)置，如將五、六年級(jí)兩單元合并為一單元，增強(qiáng)方程體系的系統(tǒng)性。這樣安排也能更好地貫徹《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中降低的解方程的要求（由之前“理解等式的性質(zhì)”到現(xiàn)今的“依據(jù)等式的性質(zhì)來解方程”），在人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中此內(nèi)容就編排在5年級(jí)上冊的一個(gè)單元里。endprint

2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的銜接

“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！币虼私炭茣谇懊娴囊氲胶罄^的復(fù)習(xí)階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)自主設(shè)計(jì)問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的討論與交流，提升彼此的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與解決問題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識(shí)，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)的銜接與提升

蘇教版教科書在“式與方程”三個(gè)模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點(diǎn)數(shù)學(xué)史知識(shí)，一個(gè)是最早有意識(shí)地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達(dá)，另一點(diǎn)是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對(duì)方程及代數(shù)具有重要貢獻(xiàn)的笛卡爾的有關(guān)觀點(diǎn)：“如果我們要解決一個(gè)問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個(gè)量命名——不論是未知量還是已知量。平等對(duì)待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達(dá)式表示同一個(gè)量。因?yàn)檫@兩個(gè)表達(dá)式表示同一個(gè)量，所以可以建立等式[2]。”這是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號(hào)特征的數(shù)學(xué)史知識(shí)需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實(shí)所蘊(yùn)含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強(qiáng)，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計(jì)的同時(shí)，還要進(jìn)一步關(guān)注各個(gè)主題之間的有機(jī)銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價(jià)值，增進(jìn)教科書的有效使用。

參考文獻(xiàn)

[1] 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（四年級(jí)下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凱維奇.數(shù)學(xué)的故事.馮速譯[M].?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2002：110.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2000.

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint

2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的銜接

“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！币虼私炭茣谇懊娴囊氲胶罄^的復(fù)習(xí)階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)自主設(shè)計(jì)問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的討論與交流，提升彼此的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與解決問題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識(shí)，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)的銜接與提升

蘇教版教科書在“式與方程”三個(gè)模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點(diǎn)數(shù)學(xué)史知識(shí)，一個(gè)是最早有意識(shí)地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達(dá)，另一點(diǎn)是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對(duì)方程及代數(shù)具有重要貢獻(xiàn)的笛卡爾的有關(guān)觀點(diǎn)：“如果我們要解決一個(gè)問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個(gè)量命名——不論是未知量還是已知量。平等對(duì)待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達(dá)式表示同一個(gè)量。因?yàn)檫@兩個(gè)表達(dá)式表示同一個(gè)量，所以可以建立等式[2]?！边@是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號(hào)特征的數(shù)學(xué)史知識(shí)需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實(shí)所蘊(yùn)含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強(qiáng)，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計(jì)的同時(shí)，還要進(jìn)一步關(guān)注各個(gè)主題之間的有機(jī)銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價(jià)值，增進(jìn)教科書的有效使用。

參考文獻(xiàn)

[1] 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（四年級(jí)下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凱維奇.數(shù)學(xué)的故事.馮速譯[M].海口：海南出版社，2002：110.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2000.

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint

2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的銜接

“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！币虼私炭茣谇懊娴囊氲胶罄^的復(fù)習(xí)階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)自主設(shè)計(jì)問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的討論與交流，提升彼此的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與解決問題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識(shí)，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)的銜接與提升

蘇教版教科書在“式與方程”三個(gè)模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點(diǎn)數(shù)學(xué)史知識(shí)，一個(gè)是最早有意識(shí)地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達(dá)，另一點(diǎn)是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對(duì)方程及代數(shù)具有重要貢獻(xiàn)的笛卡爾的有關(guān)觀點(diǎn)：“如果我們要解決一個(gè)問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個(gè)量命名——不論是未知量還是已知量。平等對(duì)待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達(dá)式表示同一個(gè)量。因?yàn)檫@兩個(gè)表達(dá)式表示同一個(gè)量，所以可以建立等式[2]?！边@是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號(hào)特征的數(shù)學(xué)史知識(shí)需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實(shí)所蘊(yùn)含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強(qiáng)，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計(jì)的同時(shí)，還要進(jìn)一步關(guān)注各個(gè)主題之間的有機(jī)銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價(jià)值，增進(jìn)教科書的有效使用。

參考文獻(xiàn)

[1] 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（四年級(jí)下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凱維奇.數(shù)學(xué)的故事.馮速譯[M].海口：海南出版社，2002：110.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2000.

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint