李錦昱 楊玉昌 程香華

突出對考生能力的考查
——2014年高考數(shù)學(xué)試題述評

李錦昱 楊玉昌 程香華

本文對2014年全國高考數(shù)學(xué)試卷進行了整體評價，并以全國課標(biāo)Ⅰ卷為藍(lán)本，詳細(xì)分析了高考試題的優(yōu)缺點。針對近年特別是2014年部分省市試題存在的問題與不足，對今后高考命題提出了改進建議。

高考；數(shù)學(xué)；述評

1 整體評價

2014年全國高考共有19套數(shù)學(xué)試卷，其中教育部考試中心命制3套，省市自主命題16套。各套試卷遵循《考試大綱》的各項要求，試卷結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，難易適度，有較好的信度和效度。試題科學(xué)、規(guī)范，各種難度的試題比例適當(dāng)，有較好的區(qū)分度。答案和評分參考準(zhǔn)確、合理。試卷考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本生活經(jīng)驗，堅持重點內(nèi)容重點考查，注重知識間的內(nèi)在聯(lián)系，對于中學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用。試卷以能力立意為核心，全面考查各項數(shù)學(xué)能力，重點考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解及思維能力和創(chuàng)新意識，突出考查應(yīng)用能力?？疾閼?yīng)用能力的試題設(shè)計新穎、更加貼近現(xiàn)實、貼近考生的實際，具有時代氣息。2013年絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)試卷注重文理科在考試內(nèi)容、能力和要求上的差異。各份試卷有利于中學(xué)實施素質(zhì)教育，有利于促進學(xué)生健康成長，有利于科學(xué)選拔人才，有利于維護社會公平。下面重點以全國課標(biāo)Ⅰ卷為藍(lán)本，對試題進行評析。

2 試題特點

整套試卷沒有偏難怪題，試題既注重對主干知識點的覆蓋，也讓課標(biāo)新增的內(nèi)容如算法、三視圖、統(tǒng)計概率等得到充分體現(xiàn)。

2.1 整卷比往年易，梯次分明，側(cè)重“雙基”

文理試卷均大幅降低了難度，全卷由易到難、層次分明。大多數(shù)題目雖給人的直觀感覺是樸實無華，但考查的廣度、深度拿捏的恰到好處。例如Ⅰ卷理科試卷（1）～（5）、（7）、（13）、（14）、（17）都是考查基礎(chǔ)知識基本技能，屬于基本題，而（6）、（8）～（12）、（15）、（16）、（19）～（21）則重點考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和靈活運用知識分析問題、解決問題的能力，有難度，其余中等難度題目，重點考查基本技能、基本能力。

2.2 強化通性通法，淡化技巧，多“思”少“算”

文理試卷的客觀題盡管簡單，但除了第（3）題（文第5題）外都必須通過運算和推理解答，難度和運算量都不很大，如理科（1）、（2）、（4）、（5）、（7）、（13）等題，充分體現(xiàn)了以知識為載體、以方法為依托，以能力考查為目的的命題思想。解答題在加大思維量的同時，注意降低運算的難度，側(cè)重通性通法，避免特殊技巧；如理科（19）題，題干簡明，符合新課標(biāo)的基本理念。再如理（21）題，以函數(shù)為載體，融入方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等基本知識。題目常見，方法常規(guī)，但需要靈活運用基本知識、基本方法求解，對于考綱提出的幾大能力也有較高的要求。

2.3 緊靠考試大綱，注重創(chuàng)新，強調(diào)應(yīng)用

新課改重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，在概率、統(tǒng)計等方面理科是一大兩小，文科為一大題。2014年文理試卷均加大對統(tǒng)計內(nèi)容的考核，這顯然是新高考命題的一個重要導(dǎo)向：教學(xué)中不僅應(yīng)該讓學(xué)生會“算統(tǒng)計”，更要會“用統(tǒng)計”。

試卷對于考生創(chuàng)新意識也有較好的考查。如理（6）以單位圓與三角函數(shù)圖像為背景，題面較為復(fù)雜；理（9）大膽突破線性規(guī)劃的命題窠臼，與“全稱”和“特稱”相結(jié)合令人耳目一新，也讓“畫域、定邊、代點、驗證”的解題套路失靈；理（12）回歸了立體幾何考查空間想象能力和推理論證能力的本質(zhì)，借助幾何直觀還能減少計算量，這比2013年課標(biāo)Ⅰ卷理科第12題壓軸效果好很多！

相應(yīng)地，理（15）考查考生挖掘隱含的能力；理（16）只需把a=2換回關(guān)系式就能將問題化為“齊次”式，這些對于考生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查有很好的區(qū)分度。

2.4 體現(xiàn)人文關(guān)懷，文理有別，縮小差距

除選做題外，全卷21道題，文理完全相同的選擇題填空題僅有3道（15分），大題基本不一樣，體現(xiàn)了文理科學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同要求，今年的概率統(tǒng)計題完全不同（往年常為姊妹題）。從結(jié)果上看文理生考試差距有顯著縮小，以河北省二卷得分為例：文理分別約為35.8分（2013年31分）和45.2分（2013年37分）相差近10分（2013年相差6分）（2012年則為25分和35分，差10分），較好體現(xiàn)了高考命題的人文關(guān)懷。

2.5 回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，傳承經(jīng)典，推陳出新

創(chuàng)新是每年高考命題的基本原則，既遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，又要輔以恰當(dāng)載體。2014年試卷部分試題構(gòu)思新穎，對創(chuàng)新應(yīng)用意識體現(xiàn)相當(dāng)好。如理（8），弦切互化，思維量豐富，突破了以往命題的常規(guī)；理（18）統(tǒng)計概率既要計算加權(quán)平均數(shù)，還要用正態(tài)分布等應(yīng)用知識（湖北高考在2009年、2013年兩次以解答題形式考過正態(tài)分布）；文（18）強化了對學(xué)生統(tǒng)計意識和應(yīng)用能力的考查；文（20）根植于教材，大膽摒棄線錐關(guān)系，重點考查直線與圓等知識。

特別需要指出的是2013年課標(biāo)Ⅱ卷理（7）文（9）這一經(jīng)典在2014年湖北卷理科5文科7（例1）、北京卷理科7（例2）得以傳承，并有所創(chuàng)新：

一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為（ ）。

這道題匠心獨運，以空間坐標(biāo)系為載體，有效回歸了立體幾何對空間想象能力的考查，考投影和視圖更重構(gòu)造轉(zhuǎn)化創(chuàng)新，若能結(jié)合“以zOx平面為投影面”將四面體“放回”單位正方體里，問題就更容易解決，實為一道不可多得的好題，已成為2014年高考三視圖考查的風(fēng)向標(biāo)。

例1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）。 給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）。

（A）①和② （B）③和①

（C）④和③ （D）④和②

例2在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知A(2 ,0,0 )，B(2 ,2,0 )，P,Q，x2+(y -6)2=2，若分別表示三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ）。

（A）S1=S2=S3（B）S1=S2且 S3≠S1

（C）S1=S3且 S3≠S2（D）S2=S3且 S1≠S3

3 存在問題及改進建議

3.1 數(shù)列命題不宜深挖，以免誤導(dǎo)教學(xué)

兩套課標(biāo)卷理科均一選一填，文科兩套均一大，各有側(cè)重。應(yīng)該說，這幾年的數(shù)列題難度在降低（有些地方卷中比較綜合，甚至偏愛遞推數(shù)列），等差和等比都有所涉及，所占比例與課標(biāo)課時比例相比明顯偏高，解答題里仍然主要考查錯位相減（難度也偏大）。

3.2 三角函數(shù)需要強化，增加綜合考查

三角試題考查偏少且較單一，區(qū)分效果不明顯。這部分的誘導(dǎo)公式及三角恒等變換、正弦定理與余弦定理、圖像變換、向量等都是必不可少的數(shù)學(xué)工具，命題人應(yīng)下大力氣研究如何體現(xiàn)這部分試題的甄別功能。

3.3 統(tǒng)計加量適可而止，突出數(shù)學(xué)文化

概率統(tǒng)計重點不再囿于概率，而是概率和統(tǒng)計并重（甚至后者分量超過了前者），這些是與教學(xué)要求里的課時比例相吻合的。但正態(tài)分布雖考過大題（湖北卷和課標(biāo)Ⅰ卷），仍不宜作為重點，畢竟這部分內(nèi)容課標(biāo)和考綱里都不過是了解層次的要求；文科除古典概型、幾何概型外，獨立性檢驗和線性回歸分析等涉及統(tǒng)計圖表類型是新的增長點。希望數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的內(nèi)容每年都能出現(xiàn)在試卷中，且不僅僅是點綴。

3.4 立體幾何回歸本質(zhì)，注重空間想象

盡管立體幾何小題靈活（特別是對球情有獨鐘），但大題不管是證明平行垂直還是求空間角、面積和體積，師生都更青睞空間向量法（傳統(tǒng)方法本應(yīng)有一席之地），機械性的“算”代替了推理論證等思維過程，從長遠(yuǎn)看不利于空間想象能力與邏輯推理論證等考查核心的教學(xué)，命題應(yīng)“折、轉(zhuǎn)、展、構(gòu)造”等多法并舉，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)走向正確的軌道。另外，從提高得分的角度看，文科考生更適合機械套用空間向量法。

3.5 解析幾何再降難度，合理深挖教材

解析幾何部分的試題盡管課標(biāo)高考已經(jīng)將傳統(tǒng)重點線錐關(guān)系悄然轉(zhuǎn)向定義、性質(zhì)、曲線與圓，形式上也有向量等載體的創(chuàng)新，但試題難度依然比較大。

比如，2013年課標(biāo)Ⅰ卷理科第20題（文科第21題）河北省理科得分率25.60%，文科5.46%，2014年課標(biāo)Ⅰ卷文科第20題河北省得分率9.26%，都低得可憐！

涉及動圓圓心的軌跡問題，2011年廣東卷、2013年全國I卷高考都已出現(xiàn)，它們都出自課標(biāo)教材人教A版選修2-1（2007年2月第2版）第50頁習(xí)題2.2B組第2題及第80頁復(fù)習(xí)參考題A組第3（2）題，并且命題人刻意將教材上的圓的一般方程改成標(biāo)準(zhǔn)方程，減小了考生的運算量和思維難度，只要稍加留意這些教材上的東西，平均分絕不至于出現(xiàn)尷尬的不足1分的局面！

再比如2010年高考北京卷理科第14題第（1）問中的斜率之積，其實就源于課標(biāo)教材人教A版選修2-1第41頁例3的結(jié)論。

3.6 導(dǎo)數(shù)命題把控難度，發(fā)揮工具作用

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題難度高，多以壓軸題的面目出現(xiàn)，難以體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性及應(yīng)用，每年各套卷都有四五道，大題指數(shù)、對數(shù)、多項式函數(shù)的組合非常多，且往往與不等式等綜合，這些都導(dǎo)致這部分試題得分偏低形同廢題，解題過程中又不斷要求考生構(gòu)造新函數(shù)解題，如果能打破這一定之規(guī)，對于提高考生“用”好導(dǎo)數(shù)確有不小的引導(dǎo)作用。

3.7 個別地方值得推敲，命題需要研究

例3（福建卷理9）此題常規(guī)思路是數(shù)形結(jié)合，若用三角換元或參數(shù)方程也很別致。

例4（福建卷理14）此題涉及反函數(shù)（2011年遼寧卷理（12）、2012課標(biāo)Ⅰ卷理（12）都曾經(jīng)考過）這個知識點。

例5（遼寧卷理12）此題不嚴(yán)密，可以舉出反例，存爭議。

（責(zé)任編輯 周黎明）

Focus on the Essence of Mathematics and Benefit from the Reform:Comments on Mathematics Test Papers of 2014 College Entrance Examination

LI Jinyu，YANG Yuchang and CHENG Xianghua

The present paper gives a general evaluation over Mathematics Test Papers of 2014 College Entrance Examination.Taking the National Curriculum Test Paper No.1 as an example,the authors give a detailed analysis of the test paper’s merits and demerits,point out that there exist some problems and drawbacks in some provincial test papers and put forward some practical suggestions about mathematics test.

College Entrance Examination Paper；Mathematics；Comments

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1005-8427(2014)12-0009-4