劉海濤
眾所周知,數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué),在安德森對知識的分類中,解題屬程序性知識。綜合題主要考查學(xué)生初中階段所學(xué)的核心基本知識、基本技能以及綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。題目靈活多變,對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高,學(xué)生要綜合運用所學(xué)的知識,還要運用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等常用的數(shù)學(xué)思想方法。綜合題因解法多維,故屬復(fù)雜性操作技能,因此,學(xué)生對綜合題的表征不可能達(dá)到自動化的程度,是教學(xué)中的難點。如何表征,才能形成對綜合題比較科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而提高學(xué)生解答綜合性問題的能力,本文就此談?wù)劰P者的實踐與思考。
圖形基本化是指在復(fù)雜圖形中分離出解題所需要的基本圖形,利用基本圖形的性質(zhì)分析問題解決問題。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué),空間形式具有復(fù)雜性,但很多復(fù)雜的圖形是由基本圖形組合而成,運用基本圖形去研究復(fù)雜圖形,把復(fù)雜圖形的問題轉(zhuǎn)化為基本圖形的問題解決,是人類智慧的結(jié)晶。因此,基本圖形的性質(zhì)以及如何從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形,是學(xué)生心須進行重點表征的。初中幾何知識中,有很多基本圖形,如相似形中的A型圖、8型圖、一線三等角、子母三角形等,這些基本圖形的識別與依據(jù)其性質(zhì)靈活運用是學(xué)生解決復(fù)雜問題思維載體。學(xué)生對這此基本圖形的運用要達(dá)到自動化程度,也就是要形成簡單操作性技能 (達(dá)到自動化),在解答問題時,把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形來解決,從而提高解答問題的能力。
例1:如圖1,⊙O的半徑為6,線段AB與⊙O相交于點C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB與⊙O相交于點E,設(shè)OA=x, CD=y.
圖1
(1) 求BD長;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(3)當(dāng)CE⊥OD時,求AO的長.
分析;此題由已知條件圖形化之后,不難發(fā)現(xiàn)第 (1)問運用△ACO∽△ODB從而求出BD長。第 (2)問以第 (1)問為線索,從圖形中分離出來子母三角形△ACO∽△AOB(如圖2),可順利解答此問。第 (3)問顯然要把問題轉(zhuǎn)化為方程問題。
圖2
思考:基本圖形的形狀性質(zhì)是教學(xué)中的重中之重,學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有基本圖形清晰的表象,才能夠與新的圖形剌激產(chǎn)生聯(lián)結(jié),從而激活已經(jīng)有的知識鏈,分離出基本圖形。解題時,一是通過已知條件獲得解題線索。此例中把已知條件圖形化后,很快會發(fā)現(xiàn)相似的圖形。二是通過敏銳的觀察能力與表征的基本圖形聯(lián)結(jié)獲得解題線索。此例中有幾對子母三角形,那么在解題中運用哪一對呢?通過分析已知與未知所要的關(guān)系式,不難發(fā)現(xiàn)是運用△ACO∽△AOB這個線索。
動態(tài)靜態(tài)化是指把動態(tài)問題通過動態(tài)不變性法轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決。動態(tài)問題是近幾年的熱點問題,動態(tài)問題反映的是現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律,此類題目往往以動點問題出現(xiàn),動點問題是指以幾何圖形為背景的圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線、直線或弧線上運動,與其他定點構(gòu)成特殊圖形的一類開放性題目。此類題目靈活多變,動中有靜,靜中有動,動靜結(jié)合,惟妙惟肖,動點運動的圖形中存在動態(tài)不變性,學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)問題中的這個規(guī)律,巧妙利用這個規(guī)律,綜合運用初中階段所學(xué)習(xí)的主要知識,才能解決問題。圖形的動態(tài)不變性,是初中幾何學(xué)重點研究的問題,例如:不論什么類型的三角形,內(nèi)角和為180°,這就是一個動態(tài)不變的性質(zhì)。但是對不同的題目其動態(tài)不變性是不同的,因此學(xué)生在表征此類題目時,可把動態(tài)不變性進行分類表征,如:角度不變性,相似不變性等。
例2:如圖2,已知扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=2,C為弧AB上的動點,且不與A、B重合,OE⊥AC于E,OD⊥BC于D。
①若BC=1,求OD的長;
②在△DOE中,是否存在長度保持不變的邊,若存在,求出該邊的長;若不存在,請說明理由;
圖3
③設(shè)BD=x,△DOE的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.
分析:如圖4,本題第①問學(xué)生可順利解答。第②問對部分學(xué)生來說有一定困難,原因是學(xué)生觀察圖形的能力以及對圖形的感悟不理想,從中分析不出來點C在運動變化過程中,點D與點E始終分別是弦BC與AC的中點這個動態(tài)不變性,因此未能獲得解題線索,不能順利解答此問。事實上,如果分析出這個動態(tài)不變性,聯(lián)結(jié)AB即可得線段DE的長度是不變的,始終是線段AB的一半。第③問要求△DOE的面積為y,依據(jù)三角形面積公式,必須知道一邊及這邊上的高,從已知不難發(fā)現(xiàn)OD是可用含x代數(shù)式來表示出來的,就是在△DOE中,知道了一條邊,根據(jù)解三角形知識,可知還少一個角,如果再知道一個角,問題即可解決,通過觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)聯(lián)結(jié)OC可得∠DOE在點C的運動過程中,其度數(shù)是不變的,始終是45°,抓住這個動態(tài)不變性,通過添加輔助線DF⊥OE,利用解直角三角形知識,可順利解答此題。
(2) 略, DE=2
(3)如圖4,連結(jié)OC,作DF⊥OE交OE于點F
因為OD⊥BC,OE⊥AC,所以∠1=∠2,∠3=∠4又因為∠AOB=90°,所以
即∠DOE=45°又因為DF⊥OE,所以∠OFD=90°
圖4
思考:在解答此類試題時,一定要詳細(xì)觀察圖形,分析出在動點變化過程中的圖形不變性質(zhì),以此為線索運用所學(xué)的基本知識;另外,在教學(xué)中,要培學(xué)生對圖形的觀察能力,使學(xué)生善于從動態(tài)變化的圖形中通過分類、比較、辨析、探索出圖形的動態(tài)不變性質(zhì);最后,要使學(xué)生所學(xué)的知識能夠形成一個穩(wěn)定的認(rèn)識結(jié)構(gòu),提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。
典形對象化是指對非常典型的問題,以對象的形式進行表征。對象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài),一個對象解決一類問題。布魯納認(rèn)為: “學(xué)習(xí)就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個類目指一組有關(guān)的對象或事件,它可以是一個概念,也可以是一條規(guī)則?!薄?〕對象由問題及問題的解決方法組成,封裝是指把問題與解決問題的方法表征放在一起,組成一個關(guān)聯(lián)的整體,也即類目。繼承是指把問題的已知條件進行等價變形,形成問題域,繼承原問題的解決方法。多態(tài)是指進行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。
首先,數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多非常典型的例題,是一類題目的突出代表,學(xué)生解答此類題能用典型題這一把 “鑰匙”開一類 “鎖”,以達(dá)到 “做一題,通一類,會一片”的效果。
其次,問題與解決方法封裝在一起有利于知識的提取。學(xué)生解題時,需從長時記憶中提取信息,當(dāng)檢索到所需要的知識信息時,因為問題與解決問題的方法進行了封裝,因此可形成組塊被提取到工作記憶中,有利于運用此知識信息進行新的信息加工。而對問題的的條件進行等價變式,有利于擴大問題的類比入口,從而在類比運用時容易被檢索到。在解新題中,運用類比遷移進行解題,是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對題目條件進行充分變式后,就能夠擴大題目的類比范圍,從而提高典型問題的類比率。還有,對問題進行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。發(fā)散性思維能力是創(chuàng)新思維能力的核心,一題多解可打開學(xué)生的解決問題的思路,使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問題。一題多變可擴大問題本身的作用范圍,同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力,深化解題思維,總結(jié)解題規(guī)律,培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力,達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問題系,豐富問題的CPFS結(jié)構(gòu)。
例3:如圖5,在直角坐標(biāo)系中,O為原點.點A在x軸的正半軸上,點B在y軸的正半軸上,tan∠OAB=2,二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點A,B,頂點為D。
圖5
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)將△OAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,點B落到點C的位置.將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點C.請直接寫出點C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式;
(3)設(shè) (2)中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為B1,頂點為D1.點P在平移后的二次函數(shù)圖象上,且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的倍,求點P的坐標(biāo).
分析: (1)二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點B,易得B點坐標(biāo)為 (0,2), 再由tan∠OAB=2求出A點坐標(biāo), 將二點坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。
(2)易得C點坐標(biāo),由于沿y軸平移圖象,故圖象開口大小、對稱軸均不變,設(shè)出解析式,代入C點作標(biāo)即可求解。
(3)由于P點位置不固定,由圖6可知要分①當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時,②當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè),同時在y軸的右側(cè)時,③當(dāng)點P在y軸的左側(cè)時,三種情況討論。
解:略。
此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問題,第一,對問題可尋求多種解法。第二,對求二次函數(shù)解析式問題,可對條件進行充分的變式,例如:可給出AB=5,OB=2等。第三,可將此題與其它二次函數(shù)問題進行聯(lián)系,形成問題系,如例4等。
例4:已知:如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點A,與y軸相交于點B (0,3),且∠OAB的余切值為
(1)求該拋物線的表達(dá)式,并寫出頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)該拋物線的對稱軸為直線l,點B關(guān)于直線l的對稱點為C,BC與直線l相交于點E.點P在直線l上,如果點D是△PBC的重心,求點P的坐標(biāo);
圖6
圖7
(3) 在 (2) 的條件下, 將 (1) 所求得的拋物線沿y軸向上或向下平移后頂點為點P,寫出平移后拋物線的表達(dá)式.點M在平移后的拋物線上,且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍,求點M的坐標(biāo).
思考:此題是典型的數(shù)形結(jié)合問題,學(xué)生在解答此題時,順利畫出圖形是獲取解題思路的重要步驟。函數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合的精典范例,在解題過程中,運用數(shù)形結(jié)合思想,從圖形中,才能獲得解題線索。教學(xué)實踐表明,如果題目本身有圖,學(xué)生解答起來比較容易解答,如果題目沒有圖形,需學(xué)生自己畫圖,就增加了題目的難度,因此教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力,從而運用幾何直觀理解數(shù)學(xué),使綜合數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象,使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化,才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對這類問題對象化后,會在長時記憶中形成此對象的清晰表征,便于需要時提取,同時對此類問題經(jīng)變式訓(xùn)練可達(dá)到自動化程度。
局部過程化是指對綜合題的局部解題方法進行過程化,使學(xué)生對這些過程的表征形成簡單操作技能。綜合題雖然復(fù)雜多變,但在解題的過程中,還是由很多的邏輯段組成的,而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過的,簡言之綜合題也是由簡單的問題組合而成的。因此把這些動態(tài)不變的邏輯段程序化,形成簡單操作技能供解題需要時提取,從而提高學(xué)生解題的能力。
例5:如圖8,在平面直角坐標(biāo)系XOY中,頂點為M的拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B,AO=BO=2, ∠AOM=120°。
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)OM,求∠AOM的大小;
(3)如果點C在x軸上,且△ABC與△AOM相似,求點C的坐標(biāo).
圖8
圖9
分析:如圖9,此題的第 (3)問,點C是X軸上動點,且△ABC與△AOM相似,此類問題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個非常常見的一個問題,二個三角形相似分類討論問題。此題二個三角形相似需兩個條件,而題目中,隱含給一個角相等,∠ABX=∠AOM,而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對角相等,夾角兩邊對應(yīng)成比例,然后分類討論解答此題。
解: (1) 過程略
綜上所述,△ABC與△AOM相似時,點C的坐標(biāo)為:(4, 0) 或 (8, 0) .
思考:綜合題靈活多變,解題不能形成一個自動化的程序,但是,初中數(shù)學(xué)中的一些基本問題,其變化是有一定的規(guī)律性,且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn),因此,這些問題雖屬程序性知識,但因解題的思維過程比較固定,因此表征時可形成一個簡單的操作技能,待需要時可快速提取運用于解決問題的過程中。
總之,綜合題的解答對學(xué)生來說是一個難點,雖然每個學(xué)生用自己的習(xí)慣表征不同的數(shù)學(xué)知識信息,但教學(xué)中,教師可通過顯現(xiàn)知識不同方式及教學(xué)策略,改變學(xué)生的知識表征策略,指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理的對綜合題的教學(xué)進行合理表征,這樣才能優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);才能提高學(xué)生的思維品質(zhì);才能提高學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力。
①孔凡哲,曾崢著.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué) 〔M〕.北京:北京大學(xué)出版社, 2009 (3): 43.
②張學(xué)民.實驗心理學(xué) 〔M〕.北京:北京師范大學(xué)出版社2009(8): 583.