一、數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性

這里所說的“文化性”是相對于“工具性”而言的。長期以來數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)，是把數(shù)學(xué)知識和方法視為數(shù)學(xué)家制作完成，留待后人學(xué)習(xí)使用的工具。對于“工具”的使用追求的是正確和熟練。為了讓學(xué)生能夠正確并且熟練地掌握“工具”的使用，課程內(nèi)容力圖做到“模式化”和“程序化”。因此使得數(shù)學(xué)課程內(nèi)容缺少了知識發(fā)生與發(fā)展的“過程性”、可以這樣還可以那樣的“多樣性”以及前人創(chuàng)造知識和方法的“人文性”。

依據(jù)這種模式化和程序化的課程內(nèi)容，教師的教法往往是要求學(xué)生“認(rèn)真聽講”，追求自身的“講解清晰”，把“講”等同于“教”，失去了知其然還要知其所以然的“啟發(fā)性”、教無定法的“多元性”以及因材施教的“針對性”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的學(xué)法成為了單一的傾聽、模仿與練習(xí)，追求的學(xué)習(xí)效果是“又對又快”。缺失了體驗知識發(fā)生與發(fā)展的思考過程，缺失了自然、自由、自主的思考與交流。[1]凡此也就使得數(shù)學(xué)教學(xué)的過程缺失了“文化性（Cultural）”，進(jìn)而使得數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”功能打了折扣。

數(shù)學(xué)教育中引入“數(shù)學(xué)文化”這一說法，實質(zhì)上就是試圖改變對數(shù)學(xué)教學(xué)單一的“工具性”認(rèn)識，讓數(shù)學(xué)課程與教學(xué)呈現(xiàn)出“文化性”?！皵?shù)學(xué)文化”是一個異常寬泛的概念，對它的理解多種多樣。在我國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域通常是把歷史上的數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想作為區(qū)別于工具性知識的數(shù)學(xué)文化。[2]

事實上，“文化”的本質(zhì)是“人化”，是人或者人與人之間、人與自然之間關(guān)系的產(chǎn)物。凡是呈現(xiàn)出與人的情感、思維、行為、習(xí)慣等因素有關(guān)的事物或事件，都可以認(rèn)為是具有文化性的。位于我國山東省泰安市的泰山號稱“五岳”之首，其實論高度泰山并不算很高，論風(fēng)景也并非最具特色的，之所以成為五岳之首，其原因就在于人的因素，古時皇帝祭天之所，使得泰山具有了獨(dú)特、高尚的文化，正是這樣的文化使得泰山具有了無與倫比的聲譽(yù)。

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程是由學(xué)生、教師和數(shù)學(xué)知識三個基本要素構(gòu)成的，表現(xiàn)為教師與學(xué)生的“雙邊活動”。在“以教為主”[3]的課堂教學(xué)中，教師是學(xué)生與知識之間的媒介，教師通過備課把知識搞明白，而后通過講解傳授給學(xué)生。（見圖1）

“變教為學(xué)”期望數(shù)學(xué)教學(xué)的過程成為學(xué)生、教師以及創(chuàng)造知識的前人的“三邊互動”。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程不單純是傾聽教師的講解，更多的是與知識發(fā)明者之間的直接互動，經(jīng)歷知識發(fā)生與發(fā)展的過程，經(jīng)歷知識創(chuàng)造者的思考過程，體驗創(chuàng)造知識的成功與失敗，經(jīng)歷創(chuàng)造知識出現(xiàn)錯誤的過程，經(jīng)歷通過反思修正錯誤的過程。學(xué)習(xí)的過程不僅有吸收，而且伴隨著主動發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的過程。教師不單純是知識的傳授者，更多的作用是啟發(fā)、鼓勵、組織和幫助學(xué)生的學(xué)習(xí)。（見圖2）

這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)不是將數(shù)學(xué)看作是現(xiàn)成的工具，教學(xué)的目的也不單純是正確、熟練地使用這樣的工具，而是將數(shù)學(xué)知識（包括方法）視為人類社會活動的產(chǎn)物，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實質(zhì)上是經(jīng)歷這樣的社會活動的過程，在這樣的過程中獲得多方面的經(jīng)驗，同時習(xí)得相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。正是由于學(xué)生、教師和知識創(chuàng)造者在教學(xué)活動中各得其所，也就使得數(shù)學(xué)教學(xué)具有了所謂的文化性。

二、數(shù)學(xué)知識與人的活動

概括地說，“變教為學(xué)”的文化性主要體現(xiàn)于三個方面。從課程的角度說，是把數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)于人的社會活動中；從教師教的角度說，是通過布置學(xué)習(xí)任務(wù)使得學(xué)生自主或合作地經(jīng)歷這樣的活動；[4]從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度說，是通過活動提取、總結(jié)并評價相關(guān)的知識。這一切的核心是建立數(shù)學(xué)知識與人和人類活動的關(guān)系。

比如小學(xué)五年級課程內(nèi)容中“因數(shù)”與“倍數(shù)”的概念。從數(shù)學(xué)的角度看，當(dāng)數(shù)a被數(shù)b整除時，數(shù)b叫作數(shù)a的因數(shù)，同時數(shù)a叫作數(shù)b的倍數(shù)。舉例說，因為60能被12整除，所以12是60的因數(shù)，同時60是12的倍數(shù)。如果對于因數(shù)與倍數(shù)的學(xué)習(xí)僅限于此，只能說是多知道了一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識，而“多知道一點(diǎn)”或者“少知道一點(diǎn)”對一個人的發(fā)展來說并不是最重要的。重要的應(yīng)當(dāng)是體驗到因數(shù)與倍數(shù)這樣的數(shù)學(xué)知識與人的關(guān)系。

數(shù)學(xué)概念是人發(fā)明（Invention）出來的知識，人的任何發(fā)明活動一定是依據(jù)人的需要而進(jìn)行的。學(xué)生如果僅僅從定義或?qū)嵗兄朗裁词且驍?shù)和倍數(shù)，并沒有體驗到人是依據(jù)什么樣的需要發(fā)明出這個概念。因此依據(jù)“變教為學(xué)”的文化性，首先應(yīng)當(dāng)把這樣的概念融入到人的社會活動中。

比如在人類歷史中，“12”可以說是極其特殊的數(shù)?？梢噪S意列舉出12在人類活動中的廣泛應(yīng)用，比如：

一年劃分為12個月；

中國古時將一個晝夜劃分為12個時辰；

中國傳統(tǒng)文化中的12地支（子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）；

與12地支相對應(yīng)的12生肖（鼠，牛，虎，兔，龍，蛇，馬，羊，猴，雞，狗，豬）；

英國1971年之前使用的錢幣的換算關(guān)系為，1鎊（Pound）等于12先令（Shilling）；

語言中“一打（英文為Dozen）”代表12個；

音樂中的12平均律，等等。

一個自然的問題是，12這個數(shù)為什么如此受人青睞？無獨(dú)有偶，還可以發(fā)現(xiàn)許多12的倍數(shù)也有著廣泛應(yīng)用，比如：

一晝夜分為24個小時；

中國傳統(tǒng)中一年有24個節(jié)氣；

一個小時等于60分鐘；

歷史名著《西游記》中孫悟空能夠72變；

《水滸傳》中有一百單八（108）將；

圓周角劃分為360度，等等。

其中24是12的2倍，60是12的5倍，72是12的6倍，108是12的9倍，360是12的30倍。凡此都說明12這個數(shù)一定有其特殊之處。

考查一下能夠整除12的幾個數(shù)（不包括12本身）的和，也就是12的全部真因數(shù)之和，可以發(fā)現(xiàn)：

1+2+3+4+6=16

這個和16比12本身要大。選擇其他數(shù)看看，比如能夠整除8的全部真因數(shù)之和為（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因數(shù)之和為（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12這樣的數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，一個可能的原因就在于其自身因數(shù)個數(shù)多，并且因數(shù)之和相對于自身來說比較大。古希臘時期人們把像12這樣的數(shù)稱為“富裕數(shù)（Abundant Number）”。在此基礎(chǔ)上，人們還發(fā)現(xiàn)“富裕數(shù)”的倍數(shù)仍然是富裕數(shù)，這也就說明了為什么12的倍數(shù)也有廣泛的應(yīng)用。比如在100以內(nèi)60是因數(shù)個數(shù)最多的數(shù)中最小的一個，一共有12個因數(shù)，分別是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此規(guī)定1小時等于60分鐘，就可以使得把1小時平均分后所對應(yīng)的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況最多。（見圖3）

對比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)定1小時等于60分鐘的優(yōu)勢就是將1小時平分后，所得到的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況在100以內(nèi)是最多的。其原因就在于60的因數(shù)個數(shù)在100以內(nèi)是最多的。

三、數(shù)學(xué)知識與人的情感

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，一些數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展并不是依賴于其實際應(yīng)用，而是與人的情感因素密切相關(guān)的。在兩千多年前的古希臘時期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans）學(xué)派把像6這樣的所有真因數(shù)之和等于自身的數(shù)叫作“完美數(shù)（英譯為Perfect Number）”，之后的尼克瑪楚斯（希臘：Nicomachus，約公元60-120年）把像12這樣的數(shù)，也就是所有真因數(shù)之和大于自身的數(shù)，叫作“富裕數(shù)”，像8這樣的全部真因數(shù)之和小于自身的數(shù)，叫作“貧窮數(shù)（英譯為Deficient Number）”。[5]根據(jù)這三種數(shù)的特點(diǎn)，把“數(shù)”與神話中的“神”作類比。像6這樣的完美數(shù)類比為愛與美的女神維納斯（英譯為Venus）；像12這樣的富裕數(shù)類比為百手巨人布里亞柔斯（英譯為Briareus或Aegaeon）；像8這樣的貧窮數(shù)類比為獨(dú)眼巨人庫克洛普斯（英譯為Cyclops）。

人們還發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)的倍數(shù)一定是富裕數(shù)，比如完美數(shù)6的2倍12是富裕數(shù)，6的3倍18也是富裕數(shù)。另外一個發(fā)現(xiàn)是，完美數(shù)的真因數(shù)一定是貧窮數(shù)，比如完美數(shù)6的真因數(shù)分別是1、2、3，這三個數(shù)都是貧窮數(shù)。100以內(nèi)另外一個完美數(shù)是28，它的2倍是56，是一個富裕數(shù)。28的真因數(shù)分別為1、2、4、7、14，這些數(shù)都是貧窮數(shù)。

古希臘人把這樣的關(guān)系與人類社會中的人或事物作類比，如果把“富裕”和“貧窮”都看作不好的，視為“壞（Evil）”，把“完美”視為“好（Good）”的，把因數(shù)與倍數(shù)視為“對立（Opposed）”的關(guān)系。那么就可以發(fā)現(xiàn)，“好”與“好”永遠(yuǎn)不會對立；“好”與“壞”必然對立；“壞”與“壞”可能對立?！昂谩笔菢O少的，就像100以內(nèi)只有兩個完美數(shù)（6和28），而“壞”是大量存在并且形式多樣的?！昂谩庇肋h(yuǎn)是“過分（Excess）”與“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

舉例來說，“謹(jǐn)小慎微（Timidity）”是一種勇氣缺失的表現(xiàn)，而“膽大妄為（Audacity）”又顯過分魯莽，二者平均后如果是“智勇雙全（Fortitude）”就認(rèn)為是一種完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化與智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是過分聰明，二者平均成為做事“審慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，數(shù)學(xué)中因數(shù)與倍數(shù)的概念蘊(yùn)含著豐富的人文因素。“變教為學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是期望教師在課堂上講解這樣的內(nèi)容，而是期望通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷此類問題的思考過程，在這樣的過程中經(jīng)歷、體驗并生成更多的與自身思維、情感和經(jīng)驗有關(guān)的內(nèi)容。這樣的過程就彰顯出數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性了。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹. “變教為學(xué)”需要“自然、自由、自主”的課堂氛圍[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（6）.

[2]徐乃楠，王憲昌. 數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J]. 自然辯證法通訊， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “變教為學(xué)”說備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）

這個和16比12本身要大。選擇其他數(shù)看看，比如能夠整除8的全部真因數(shù)之和為（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因數(shù)之和為（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12這樣的數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，一個可能的原因就在于其自身因數(shù)個數(shù)多，并且因數(shù)之和相對于自身來說比較大。古希臘時期人們把像12這樣的數(shù)稱為“富裕數(shù)（Abundant Number）”。在此基礎(chǔ)上，人們還發(fā)現(xiàn)“富裕數(shù)”的倍數(shù)仍然是富裕數(shù)，這也就說明了為什么12的倍數(shù)也有廣泛的應(yīng)用。比如在100以內(nèi)60是因數(shù)個數(shù)最多的數(shù)中最小的一個，一共有12個因數(shù)，分別是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此規(guī)定1小時等于60分鐘，就可以使得把1小時平均分后所對應(yīng)的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況最多。（見圖3）

對比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)定1小時等于60分鐘的優(yōu)勢就是將1小時平分后，所得到的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況在100以內(nèi)是最多的。其原因就在于60的因數(shù)個數(shù)在100以內(nèi)是最多的。

三、數(shù)學(xué)知識與人的情感

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，一些數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展并不是依賴于其實際應(yīng)用，而是與人的情感因素密切相關(guān)的。在兩千多年前的古希臘時期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans）學(xué)派把像6這樣的所有真因數(shù)之和等于自身的數(shù)叫作“完美數(shù)（英譯為Perfect Number）”，之后的尼克瑪楚斯（希臘：Nicomachus，約公元60-120年）把像12這樣的數(shù)，也就是所有真因數(shù)之和大于自身的數(shù)，叫作“富裕數(shù)”，像8這樣的全部真因數(shù)之和小于自身的數(shù)，叫作“貧窮數(shù)（英譯為Deficient Number）”。[5]根據(jù)這三種數(shù)的特點(diǎn)，把“數(shù)”與神話中的“神”作類比。像6這樣的完美數(shù)類比為愛與美的女神維納斯（英譯為Venus）；像12這樣的富裕數(shù)類比為百手巨人布里亞柔斯（英譯為Briareus或Aegaeon）；像8這樣的貧窮數(shù)類比為獨(dú)眼巨人庫克洛普斯（英譯為Cyclops）。

人們還發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)的倍數(shù)一定是富裕數(shù)，比如完美數(shù)6的2倍12是富裕數(shù)，6的3倍18也是富裕數(shù)。另外一個發(fā)現(xiàn)是，完美數(shù)的真因數(shù)一定是貧窮數(shù)，比如完美數(shù)6的真因數(shù)分別是1、2、3，這三個數(shù)都是貧窮數(shù)。100以內(nèi)另外一個完美數(shù)是28，它的2倍是56，是一個富裕數(shù)。28的真因數(shù)分別為1、2、4、7、14，這些數(shù)都是貧窮數(shù)。

古希臘人把這樣的關(guān)系與人類社會中的人或事物作類比，如果把“富裕”和“貧窮”都看作不好的，視為“壞（Evil）”，把“完美”視為“好（Good）”的，把因數(shù)與倍數(shù)視為“對立（Opposed）”的關(guān)系。那么就可以發(fā)現(xiàn)，“好”與“好”永遠(yuǎn)不會對立；“好”與“壞”必然對立；“壞”與“壞”可能對立?！昂谩笔菢O少的，就像100以內(nèi)只有兩個完美數(shù)（6和28），而“壞”是大量存在并且形式多樣的。“好”永遠(yuǎn)是“過分（Excess）”與“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

舉例來說，“謹(jǐn)小慎微（Timidity）”是一種勇氣缺失的表現(xiàn)，而“膽大妄為（Audacity）”又顯過分魯莽，二者平均后如果是“智勇雙全（Fortitude）”就認(rèn)為是一種完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化與智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是過分聰明，二者平均成為做事“審慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，數(shù)學(xué)中因數(shù)與倍數(shù)的概念蘊(yùn)含著豐富的人文因素?！白兘虨閷W(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是期望教師在課堂上講解這樣的內(nèi)容，而是期望通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷此類問題的思考過程，在這樣的過程中經(jīng)歷、體驗并生成更多的與自身思維、情感和經(jīng)驗有關(guān)的內(nèi)容。這樣的過程就彰顯出數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性了。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹. “變教為學(xué)”需要“自然、自由、自主”的課堂氛圍[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（6）.

[2]徐乃楠，王憲昌. 數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J]. 自然辯證法通訊， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “變教為學(xué)”說備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）

這個和16比12本身要大。選擇其他數(shù)看看，比如能夠整除8的全部真因數(shù)之和為（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因數(shù)之和為（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12這樣的數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，一個可能的原因就在于其自身因數(shù)個數(shù)多，并且因數(shù)之和相對于自身來說比較大。古希臘時期人們把像12這樣的數(shù)稱為“富裕數(shù)（Abundant Number）”。在此基礎(chǔ)上，人們還發(fā)現(xiàn)“富裕數(shù)”的倍數(shù)仍然是富裕數(shù)，這也就說明了為什么12的倍數(shù)也有廣泛的應(yīng)用。比如在100以內(nèi)60是因數(shù)個數(shù)最多的數(shù)中最小的一個，一共有12個因數(shù)，分別是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此規(guī)定1小時等于60分鐘，就可以使得把1小時平均分后所對應(yīng)的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況最多。（見圖3）

對比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)定1小時等于60分鐘的優(yōu)勢就是將1小時平分后，所得到的分鐘數(shù)是整數(shù)的情況在100以內(nèi)是最多的。其原因就在于60的因數(shù)個數(shù)在100以內(nèi)是最多的。

三、數(shù)學(xué)知識與人的情感

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，一些數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展并不是依賴于其實際應(yīng)用，而是與人的情感因素密切相關(guān)的。在兩千多年前的古希臘時期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoreans）學(xué)派把像6這樣的所有真因數(shù)之和等于自身的數(shù)叫作“完美數(shù)（英譯為Perfect Number）”，之后的尼克瑪楚斯（希臘：Nicomachus，約公元60-120年）把像12這樣的數(shù)，也就是所有真因數(shù)之和大于自身的數(shù)，叫作“富裕數(shù)”，像8這樣的全部真因數(shù)之和小于自身的數(shù)，叫作“貧窮數(shù)（英譯為Deficient Number）”。[5]根據(jù)這三種數(shù)的特點(diǎn)，把“數(shù)”與神話中的“神”作類比。像6這樣的完美數(shù)類比為愛與美的女神維納斯（英譯為Venus）；像12這樣的富裕數(shù)類比為百手巨人布里亞柔斯（英譯為Briareus或Aegaeon）；像8這樣的貧窮數(shù)類比為獨(dú)眼巨人庫克洛普斯（英譯為Cyclops）。

人們還發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)的倍數(shù)一定是富裕數(shù)，比如完美數(shù)6的2倍12是富裕數(shù)，6的3倍18也是富裕數(shù)。另外一個發(fā)現(xiàn)是，完美數(shù)的真因數(shù)一定是貧窮數(shù)，比如完美數(shù)6的真因數(shù)分別是1、2、3，這三個數(shù)都是貧窮數(shù)。100以內(nèi)另外一個完美數(shù)是28，它的2倍是56，是一個富裕數(shù)。28的真因數(shù)分別為1、2、4、7、14，這些數(shù)都是貧窮數(shù)。

古希臘人把這樣的關(guān)系與人類社會中的人或事物作類比，如果把“富?！焙汀柏毟F”都看作不好的，視為“壞（Evil）”，把“完美”視為“好（Good）”的，把因數(shù)與倍數(shù)視為“對立（Opposed）”的關(guān)系。那么就可以發(fā)現(xiàn)，“好”與“好”永遠(yuǎn)不會對立；“好”與“壞”必然對立；“壞”與“壞”可能對立?！昂谩笔菢O少的，就像100以內(nèi)只有兩個完美數(shù)（6和28），而“壞”是大量存在并且形式多樣的?！昂谩庇肋h(yuǎn)是“過分（Excess）”與“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

舉例來說，“謹(jǐn)小慎微（Timidity）”是一種勇氣缺失的表現(xiàn)，而“膽大妄為（Audacity）”又顯過分魯莽，二者平均后如果是“智勇雙全（Fortitude）”就認(rèn)為是一種完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化與智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是過分聰明，二者平均成為做事“審慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，數(shù)學(xué)中因數(shù)與倍數(shù)的概念蘊(yùn)含著豐富的人文因素?！白兘虨閷W(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是期望教師在課堂上講解這樣的內(nèi)容，而是期望通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷此類問題的思考過程，在這樣的過程中經(jīng)歷、體驗并生成更多的與自身思維、情感和經(jīng)驗有關(guān)的內(nèi)容。這樣的過程就彰顯出數(shù)學(xué)教學(xué)的文化性了。

參考文獻(xiàn)

[1]郜舒竹. “變教為學(xué)”需要“自然、自由、自主”的課堂氛圍[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（6）.

[2]徐乃楠，王憲昌. 數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J]. 自然辯證法通訊， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “變教為學(xué)”說備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）