葉秋平

(寧德市職業(yè)中專學(xué)校，福建寧德，352100)

向量是數(shù)學(xué)地位極其重要的一章，其靈活的變化使得學(xué)生對向量的試題往往無從下手。向量試題往往從不同的策略實(shí)施下手，代數(shù)化策略和圖形化策略是最主要的解決策略。筆者發(fā)現(xiàn)，成績較好的學(xué)生往往兩種策略均能正確掌握，更喜歡圖形化策略;對于數(shù)學(xué)知識能力運(yùn)用較弱的學(xué)生而言，代數(shù)化策略是教學(xué)的首選，其將向量問題代數(shù)化，使得較難的向量問題運(yùn)用代數(shù)的工具進(jìn)行解決。圖形化策略偏重思考、輕運(yùn)算，代數(shù)化策略則恰好反之。

一、多解策略，發(fā)散思維

多解策略是解題教學(xué)中受教師歡迎的一種策略，該策略注重了學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，在解決問題的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同知識出發(fā)，將各種解決手段融合到一起。筆者認(rèn)為，向量教學(xué)中使用這樣的方式，既可以圍繞向量滲透各種數(shù)學(xué)基本知識，也能激發(fā)學(xué)生多思維的策略，對于優(yōu)等生而言，這是一種極易培養(yǎng)思維發(fā)散性、知識整合性的優(yōu)秀手段。

策略二:既然是代數(shù)運(yùn)算，向量坐標(biāo)法必定行得通，得出法二:

反思:本題的選擇能體現(xiàn)基礎(chǔ)與本質(zhì)的關(guān)系，突出了主干，也突出了幾何直觀。教師先引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決此類問題常用的方法:1.坐標(biāo)法;2.數(shù)形結(jié)合;3.向量方法的運(yùn)用。讓學(xué)生從數(shù)學(xué)知識整體與方法上全面去認(rèn)識解題，力求從“一題多解”中學(xué)會辨析好與不好的解法，把好方法的選擇與解題落實(shí)到復(fù)習(xí)中。以上兩種解法從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，思路樸實(shí)正確;但計算較繁，如果一步出錯，滿盤皆輸。這就對學(xué)生的計算能力提出了高要求，做選擇題時學(xué)生很少能耐著性子算下去。

策略三:對于向量的題目，很多同學(xué)還是愿意從向量式的幾何意義出發(fā)，構(gòu)建三角形。

反思:該方法符合學(xué)生實(shí)際情況，簡潔明朗，通俗易懂，將向量問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，計算難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于解法一和二，筆者認(rèn)為這是本題最好的方法，也是學(xué)生最容易想到的方法。

策略四:順著學(xué)生的思路，既然能構(gòu)建三角形，那么平行四邊形中是否也蘊(yùn)涵著本題的真相。

解法四:通過平行四邊形法則及菱形的幾何性質(zhì)得在 Rt△ABC 中，||=|AC|＞|AB|=|+|，故選 C。

反思:此法還是采用數(shù)形結(jié)合的思路，有學(xué)生想到了此法，上黑板板演，但由于圖形相對復(fù)雜，學(xué)生最終無法解答，主要靠教師講解分析，學(xué)生才勉強(qiáng)接受。此法也讓學(xué)生重視圖形語言，平時多畫一些圖，既直觀又有邏輯，好的數(shù)學(xué)題都蘊(yùn)涵著豐富的圖形。教師選中此題，可謂用心良苦。當(dāng)然，要構(gòu)建直角三角形也可以通過對已知條件的變型，充分發(fā)掘題目涵義，如:，則=0，所以如圖所示:顯然，，此方法體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，值得一提。

策略五:平行四邊形是一個重要載體，如果法4的圖形有點(diǎn)復(fù)雜，巧妙利用一個不等式，很快答案就出來了。

反思:該解法太簡潔了，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，拓展了學(xué)生思維。但對于絕對值不等式學(xué)生很陌生，很難想到此法。

策略六:本題為模擬試題，參考答案給出了怎樣的解法呢?學(xué)生很有興趣知道，故又介紹了第六種解法:

反思:對式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形、拼湊，是學(xué)生的一個弱點(diǎn)，此法與解法五一樣技巧性太強(qiáng)，不能普及。

策略七:當(dāng)學(xué)生在感嘆這么多方法時，(教師接著說:)既然上述方法想不到，對于選擇題又有什么特殊的解題技巧呢?

反思:作為教師，我們在處理這樣的向量問題時，多一些“一題多解”，少一些“單一重復(fù)”，效果會更好。教師應(yīng)調(diào)動學(xué)生對向量學(xué)習(xí)的好奇心，認(rèn)識數(shù)學(xué)的奇妙。其實(shí)，向量問題是透明的，指向是很明確的。像這樣的問題時常出現(xiàn)，它分布在選擇題、填空題中，用于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，通過多樣性解決向量問題，開拓優(yōu)秀學(xué)生的解題思路，減少無用功。

二、機(jī)械策略，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算

向量對于數(shù)學(xué)能力較弱的學(xué)生而言，其對轉(zhuǎn)化、圖形等想法較弱，因此教學(xué)策略勢必向代數(shù)化靠攏。代數(shù)策略用吳文俊先生的話說，即機(jī)械化策略。用機(jī)械化策略可以給這些學(xué)生一個明確的方向:即少思維、多運(yùn)算，只要運(yùn)算細(xì)致便能突破向量問題。來看一個代數(shù)化案例:

師:本題中我們可以發(fā)現(xiàn)題中的幾何背景是一個特殊圖形:矩形，這樣我們就容易想到以矩形的兩條相鄰直角邊作為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系。這里我們以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系。(建系)

師:建系后，根據(jù)條件分別求出所對應(yīng)各點(diǎn)的坐 標(biāo)，A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x，2)。 (設(shè)點(diǎn))

師:求出各點(diǎn)坐標(biāo)后，接下來我們把題中的條件進(jìn)行坐標(biāo)化，那么我們有·=(，0)·(x，2)=，求出x=1，這樣我們就知道了F點(diǎn)的坐標(biāo)。(條件坐標(biāo)化)

師:在上述解題過程中，我們根據(jù)條件中圖形幾何的特征建立坐標(biāo)系，然后設(shè)出條件和所求中的點(diǎn)的坐標(biāo)，通過點(diǎn)的坐標(biāo)表示出條件和所求，最后通過計算得出答案。上述解題步驟也是利用坐標(biāo)法解決向量問題的一般步驟，請同學(xué)們回想剛才的過程。在這些步驟中，建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。本題坐標(biāo)系建立比較容易，利用了易知的垂直關(guān)系。下面我們來看一道題，請思考本題我們應(yīng)如何建立坐標(biāo)系，使我們的解題方便簡單。

師:對于本題我們應(yīng)該如何建立坐標(biāo)系?在沒有現(xiàn)成的圖形垂直提示情況下，我們一般應(yīng)該如何考慮?

生:可以考慮以BC為x軸，過M作BC中垂線為y軸建立坐標(biāo)系。

師:為什么想到以BC的中垂線為y軸?以其他的為y軸是否可行?

生:以其他的做y軸建立坐標(biāo)系也是可以的，但是以BC中垂線為y軸，對于下一步求點(diǎn)坐標(biāo)和條件坐標(biāo)化的計算有幫助，方便我們計算。

師:想法很正確。和前一題不同，本題沒有互相垂直的條件，需要我們自己建立坐標(biāo)系。通常我們可以從圖形對稱性等方面嘗試建立直角坐標(biāo)系，這樣方便我們的計算。當(dāng)然有興趣的同學(xué)可以嘗試其他的建系方法，如以BC為x軸，過B點(diǎn)做BC垂線為y軸等。

師:下面我們仿照前一題的求解步驟把條件中的點(diǎn)以坐標(biāo)形式給出:

(可由學(xué)生回答)B(－5，0)，M(0，0)，C(5，0)，設(shè)A(x，y)，然后把條件坐標(biāo)化由AM=3得:x2+y2=9，最后得到 和 點(diǎn)積計算可得。

師:本題中我們建系以其中一條已知線段的中垂線做y軸，這樣的好處是方便我們的后續(xù)求值和計算，這也是我們建系時常見的思考方法。

師:下面給同學(xué)們一個思考題，請大家從坐標(biāo)系的角度去考慮如何求解，加深認(rèn)知。

說明:對這一內(nèi)容所選的題目都是經(jīng)典試題，對程度較弱的學(xué)生很有針對性。針對建立坐標(biāo)系這一難點(diǎn)，3個題目按照由淺入深逐步推進(jìn)。案例2容易建立坐標(biāo)系的一個題型，讓學(xué)生明確抓住圖形的幾何特征建立坐標(biāo)系的建系思想;其次讓學(xué)生感受坐標(biāo)法的解題過程，明確一般的解題步驟。變式1沒有明確的坐標(biāo)系建系暗示，需要學(xué)生自己建立坐標(biāo)系，這個問題主要是讓學(xué)生體會恰當(dāng)建立坐標(biāo)系可以讓解題更加方便，另外也讓學(xué)生鞏固坐標(biāo)法解題的步驟。最后一問以思考題的形式給出，是坐標(biāo)法的運(yùn)用，是對學(xué)生在前兩例題的基礎(chǔ)上的一個提高和自測。對3個題目的處理方式上，案例2主要由教師分析講解，學(xué)生體會。變式1則由學(xué)生和教師共同參與，同時教師考查學(xué)生的基本認(rèn)知和掌握情況。思考題則由學(xué)生自行解決，是對本方法的課后延伸。

綜上，筆者針對不同層次的學(xué)生研究了不同的向量問題的解決策略，從上述兩個研究案例發(fā)現(xiàn)，針對程度較好的學(xué)生，教師勢必研究向量問題的多樣性解決方案。這對于鞏固向量的幾何本質(zhì)以及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是有積極作用的。另一方面，筆者也專門就學(xué)困生研究了代數(shù)化的解決策略。就學(xué)生數(shù)學(xué)能力而言，圖形化水準(zhǔn)的低下使得這些學(xué)生對向量問題的解決方式更傾注于代數(shù)化策略。文中案例以層層遞進(jìn)式的不同程度問題展示了向量問題代數(shù)化的解決策略，并給出了代數(shù)化策略解決的一般性思路。

［1］宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013(5).

［2］方厚石.向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014(1).

［3］袁桐.重視“向量方法”［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2007(9).