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從學生認知水平入手 用矛盾運動規(guī)律教學——《圓的周長》的教學設計與思考

2014-11-08 05:48游家水
教育導刊 2014年1期
關(guān)鍵詞:圓周率計算公式新知

游家水

(游家水:廣州市越秀區(qū)署前路小學 廣東廣州510080 責任編輯:李士飛)

《圓的周長》是人教版義務教育課程六年級上冊第四單元 《圓》第二節(jié)的內(nèi)容。從單元編排上看,第四單元知識內(nèi)容分為三部分:認識圓、圓周長、圓面積,本課時既是對圓認識的繼續(xù)深化,又為圓面積的研究奠定基礎。從“周長”知識體系編排上看,本課時是在三年級上冊學習了周長的一般概念以及長方形、正方形周長計算的基礎上做進一步研究。學生從學習直線圖形到學習曲線圖形,不論是內(nèi)容還是研究問題的方法,都有所變化。教材通過對圓周長的研究,使學生初步認識研究曲線圖形的基本方法,同時滲透“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想和“類比猜想”的合情推理方法。

一、學生已有的知識經(jīng)驗

學生在三年級已經(jīng)學習了周長的意義及測量周長的方法,有計算直線圖形周長的知識基礎,對曲線圖形的周長也有較為深刻的認識,因此學生對于理解圓周長的意義、測量圓周長的方法都具有較豐富的認知經(jīng)驗。他們樂于接受化曲為直的數(shù)學思想,通過引導基本能夠運用滾圓法、繞繩法等方法測量圓周長。

但六年級學生思維仍處于以具體形象思維為主的階段,其抽象邏輯能力和合情推理能力還處于發(fā)展之中,學生往往缺乏思維的自覺性,缺乏主動調(diào)度相關(guān)舊知,自主遷移類推知識方法的能力。

對于推導圓周長計算公式而言,雖然學生認知結(jié)構(gòu)中已有“封閉平面圖形的周長可能與其圖形內(nèi)的某些線段具有倍數(shù)關(guān)系”的數(shù)學觀念,“長方形、正方形的周長與其圖形內(nèi)的某些線段具有倍數(shù)關(guān)系”這一類比原型與方法例證,通過類比由加法交換律推導出乘法交換律、由加法結(jié)合律推導出乘法結(jié)合律的實踐經(jīng)驗基礎,以及學生畫圓時所獲得的舊知——“半徑、直徑?jīng)Q定圓的大小,半徑、直徑越長,圓的周長就越長,面積就越大”的知識經(jīng)驗,但就大多數(shù)學生而言,要求其借助類比猜想,在探索圓周長計算公式的過程中有意識地從“圓周長與什么有關(guān)”、“為什么要研究圓的周長與直徑關(guān)系”、“周長與直徑有什么關(guān)系”三個核心問題切入開展自主探究,進而理解圓周率的意義常常存在較大的困難。因此,教師在教學中要給學生提供必要的指導,以幫助學生進行探究。

二、運用矛盾運動規(guī)律學習新知

小學生學習數(shù)學的過程,其實質(zhì)是一種矛盾運動,是學生發(fā)現(xiàn)矛盾、分析矛盾、解決矛盾的過程。學生學習新知識,當原有的知識、技能、方法不能解決面臨的新數(shù)學現(xiàn)象、數(shù)學問題時,矛盾就出現(xiàn)了,從而產(chǎn)生認知沖突。這時,學生就會產(chǎn)生強烈的學習需要與求知欲望,從而充分調(diào)動相關(guān)舊知來解決問題。而當問題解決后,新問題會隨之出現(xiàn)。瑞士著名心理學家皮亞杰就曾經(jīng)指出:“任何認識,在解決了前面的問題后,又會提出新的問題。”

基于這一認識,本課采取了以下的教學策略:在“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過程中,激發(fā)學生的學習需要與求知欲。在“分析矛盾—解決矛盾”的過程中,滲透數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生初步邏輯思維能力和合情推理能力。把教學過程看作是“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過程。教學時注意創(chuàng)設問題情景,適時呈現(xiàn)矛盾,讓學生在“沖突—平衡—再沖突—再平衡”的循環(huán)往復心理過程中,積極主動地參與知識的發(fā)生、形成與發(fā)展過程,提高分析問題和解決問題的能力,發(fā)展學生的空間觀念,拓展學生的認知結(jié)構(gòu)。

(一)創(chuàng)設情境,建立概念

創(chuàng)設問題情境,激發(fā)學生的求知欲望,并通過摸、指、描等體驗活動,充分地建立圓周長概念。

首先,呈現(xiàn)問題情境:喜羊羊和灰太狼來到草地上跑步比賽,灰太狼是沿著正方形的花壇跑;喜羊羊沿著圓形的花壇跑。學生自然明確,灰太狼所跑的路程是正方形的周長,是我們已經(jīng)學過的知識;喜羊羊所跑的路程是圓的周長,是我們本節(jié)課要研究的知識,揭示課題。其次,讓學生感受新知識。讓學生拿出圓形學具看一看、摸一摸、說一說、描一描圓周長,體會圓的周長的含義。

(二)實驗探究,獲取新知

新授環(huán)節(jié)以“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”為教學主線,在發(fā)現(xiàn)矛盾到解決矛盾的過程中,突出教學重點、突破教學難點。

1.測量實驗,產(chǎn)生需要

在測量法的教學環(huán)節(jié)中,通過提供的典型材料,讓學生體會到有的圓可以用“繞繩法”或“滾動法”等方法來測量出它的周長,滲透了“化曲為直”的數(shù)學思想方法。但同時也認識到“繞繩”、“滾動”等測量方法的局限性,引發(fā)其探索研究“計算公式”的必要性,使之帶著問題學習新知識,探索解決問題的方法與途徑,實現(xiàn)認知平衡。

2.再次實驗,探究新知

圓周率是探究圓周長計算公式的中介點,它既反映了圓周長與直徑的關(guān)系,同時利用圓周率,可以求出周長,因此理解圓周率的意義及其價值是推導計算公式的關(guān)鍵。在本環(huán)節(jié),我設計了導向明確的問題,使學生再次經(jīng)歷呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾的過程,經(jīng)歷自主探究新知的學習過程。當學生在探索圓周長計算公式之時,直線圖形周長的研究方法與曲線圖形周長的研究方法不同,怎樣尋找圓周長的計算公式?新的矛盾再次產(chǎn)生,這時可以適時地啟發(fā)學生借助直線圖形周長的規(guī)律:直線圖形的周長與其圖形內(nèi)的某些線段存在倍數(shù)關(guān)系,由此類比:圓周長與直徑是否也存在倍比關(guān)系?再次引發(fā)學生的認知沖突,指引探究的方向。

首先,我讓學生想一想:圓周長與什么有關(guān)?引導學生回憶:畫圓的時候,半徑?jīng)Q定圓的大小,在同圓中直徑是半徑的2倍,所以圓的周長與圓的半徑和直徑都有關(guān)系,先研究周長和直徑的關(guān)系。

第二步,我向?qū)W生拋出“圓的周長和直徑有什么關(guān)系?”這一獲取新知的核心矛盾,引導學生類比猜想:長方形的周長是它長加寬的和的2倍,正方形的周長是它邊長的4倍,學生可能會猜想出圓的周長與直徑之間可能也存在這樣的倍數(shù)關(guān)系。那么圓的周長與直徑的比值會不會是一個固定不變的數(shù)呢?板書:C÷d=□。

第三步是引導學生猜想,通過幾何推理確定周長與直徑關(guān)系比值的范圍 (如下圖)。

第四步是運用數(shù)據(jù)驗證推理。學生四人小組分工合作,測量出圓周長,用計算器計算比值,并填寫完成下表。

測量對象 圓的周長 圓的直徑 周長與直徑的比值圓1圓2圓3

學生實驗后并匯報周長與直徑的比值,發(fā)現(xiàn):圓的周長是直徑的3倍多一些。由于測量周長、直徑時,總存在測量的誤差,因此難以找到圓周長與直徑的確切比值,怎樣才能找到它們的比值呢?

第五步是介紹劉徽的“割圓術(shù)”,讓學生體會隨著圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)增加,多邊形周長近似于圓周長,滲透極限的數(shù)學思想;介紹祖沖之的圓周率,認識圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù),用π來表示。并借數(shù)學文化激發(fā)學生的愛國情懷,培養(yǎng)民族自豪感。

第六步是推導出圓周長的計算公式:我們知道C÷d=π,所以可以推導出C=πd或C=2πr。

(三)多層練習,鞏固新知

練習設計分為四個層次:第一層次是基本練習,安排運用公式計算圓的周長的題目,反饋學生對新知識的掌握情況。第二層次是安排兩道看圖求周長的題目,再次運用公式計算圓的周長,鞏固新知,形成技能。第三層次是選擇題,鞏固圓周率的概念,知道π是一個無限不循環(huán)的小數(shù);理解圓周率是一個定值,不受圓大小的影響;利用圓周率的近似值進行估算,體現(xiàn)解決問題的靈活性。第四層次是利用所學知識解決實際問題。包括:直接利用計算公式解決問題;利用計算公式解決變式練習;計算公式的逆向運用,培養(yǎng)學生逆向思維。

整個教學過程是以邏輯嚴密的數(shù)學問題為主線,以學生的學習認知基礎為出發(fā)點,適時地創(chuàng)設問題情境,使學生經(jīng)歷多次“呈現(xiàn)矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過程,讓學生在“沖突—平衡—再沖突—再平衡”的循環(huán)往復心理過程中,積極主動地參與知識的發(fā)生、形成與發(fā)展過程,提高分析問題和解決問題的能力,發(fā)展學生的空間觀念,拓展學生的認知結(jié)構(gòu)。

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