秦泗偉

（延邊第二中學(xué)， 吉林 延吉 133000）

導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和解決函數(shù)問(wèn)題的主要工具，在高考中占有重要的地位，一般命制一道小題和一道壓軸題，而壓軸題是高分生的必爭(zhēng)之地，考查點(diǎn)集中在導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，以及與其它數(shù)學(xué)知識(shí)如二次函數(shù)、方程、不等式等結(jié)合的含參綜合題。教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確把握核心概念本質(zhì)、了解學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑、善于總結(jié)解題規(guī)律、認(rèn)真鉆研高考真題能夠使導(dǎo)數(shù)的教學(xué)更加有效。

一、把握概念本質(zhì)，讓教學(xué)更有效

導(dǎo)數(shù)和定積分是微積分的核心概念，具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。它們的定義都是形式化的極限，就高中生得認(rèn)知水平而言，很難理解極限的形式化定義，這種困難也影響了對(duì)概念本質(zhì)的理解。教學(xué)中為了避免學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)間的矛盾，為了更好地把握概念的本質(zhì)，不必追求理論上的嚴(yán)密和過(guò)多的形式化技巧。而一些資料上出現(xiàn)的形式化極限的練習(xí)題，教師應(yīng)及時(shí)刪減，避免加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

筆者認(rèn)為，教學(xué)中注意從學(xué)生熟悉的事例引入，循序漸進(jìn)，有利于學(xué)生的接受。關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，通過(guò)兩個(gè)實(shí)例氣球膨脹率問(wèn)題和高臺(tái)跳水問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，從而理解導(dǎo)數(shù)的概念的本質(zhì)---瞬時(shí)變化率。教師要借助曲線在某點(diǎn)切線的斜率和物理中運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度從幾何和物理兩個(gè)角度去幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念。關(guān)于定積分的概念教學(xué)，借助教科書中兩個(gè)典型問(wèn)題——求曲邊梯形的面積、汽車行駛的路程，著重揭示出“以直代曲”“以不變代變”和“逼近”的思想方法，從而引出定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。

二、把握學(xué)生困惑，讓教學(xué)更有效

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題，首先要注意“定義域優(yōu)先”原則，其次是準(zhǔn)確求導(dǎo)，特別指出的是關(guān)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，教學(xué)中一定要控制好習(xí)題的難度。教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在某些知識(shí)點(diǎn)上的錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn)，教師如果把握好學(xué)生的困惑點(diǎn)，及時(shí)解惑，教學(xué)效果會(huì)更好。

問(wèn)題：(1)求函數(shù) f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為_____。

（2）若函數(shù) f (x)=ax3-x在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_____。

筆者發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中，學(xué)生對(duì)已知函數(shù)求單調(diào)區(qū)間和已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍問(wèn)題容易混淆，關(guān)鍵在等號(hào)的取舍上，教學(xué)中可以指導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)“=”的取舍。另外對(duì)“函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 D”的區(qū)別理解不到位導(dǎo)致解題容易出現(xiàn)失誤。其中第2題學(xué)生易丟掉等號(hào)，第3題又不能帶等號(hào)，這都需要學(xué)生十分細(xì)心。教學(xué)中除借助冪函數(shù)y=x3的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系進(jìn)行解釋外，還可以進(jìn)一步說(shuō)明：曲線在該點(diǎn)的切線為與y軸重合的直線；點(diǎn)（0,0）是函數(shù)y=x3的一個(gè)拐點(diǎn)，它是凹凸性的分界點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、圖象的凹凸性進(jìn)行探索，為自主學(xué)習(xí)提供素材。

三、把握解題規(guī)律，讓教學(xué)更有效

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的強(qiáng)有力工具，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值、不等式恒成立、有解問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題等，都需要分析函數(shù)的單調(diào)性。

例如下面兩個(gè)問(wèn)題：

（1）設(shè)a為常數(shù)，求函數(shù) f(x)=-x3+3ax（0≤x≦1）的最大值。

（解答過(guò)程略）

含參問(wèn)題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，往往又是握住兩個(gè)問(wèn)題：為什么討論？如何討論？教學(xué)中筆者引導(dǎo)學(xué)生歸納出導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題的一般套路：（1）先求函數(shù)定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)（能通分或因式分解的要變形徹底）；（3）分析方程f′(x)=0是否有根？什么條件下有根？若方程沒(méi)有根，則函數(shù)在定義域上必單調(diào)，取等號(hào)時(shí)方程有根一般也單調(diào)。（4）方程f′(x)=0若有根，還得討論根是否在函數(shù)的定義域內(nèi)？若根不在定義域內(nèi)則函數(shù)依舊在定義域上單調(diào)，否則函數(shù)就不單調(diào)。這樣，學(xué)生在遇到含參數(shù)問(wèn)題時(shí)就不會(huì)無(wú)從下手了。

四、把握高考真題，讓教學(xué)更有效

許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查的題型，這類題目學(xué)生容易想到用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，有些題目可以求出最值，還有些題用高中知識(shí)不易順利解決，只有進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摵图僭O(shè)反證等綜合方法，這對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑是很困難的。

問(wèn)題：（2010年全國(guó)新課標(biāo)理科）設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2，

（1）若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍。

原解：（1）a=0 時(shí)，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1，

當(dāng) x∈(-∞,0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng) x∈(0,+∞ )時(shí)，f′(x)>0，

故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少，在(0,+∞)單調(diào)增加，

（II）f′(x)=ex-1-2ax 由（I）知 ex≥ 1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故f′(x)≥x-21ax=（1-2a）x，從而當(dāng)（1-2a）x≥0，即 a ≤2 時(shí)，f′(x)≥0(x≥0)，而 f(0)=0，

原解在處理第（II）時(shí)較難想到，學(xué)生比較容易想到的方法是----參數(shù)分離，將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題。

但由于g(x)在x=0處沒(méi)有意義，學(xué)生都束手無(wú)策。而利用洛必達(dá)法則可以較好的處理分離出來(lái)的函數(shù)式的最值。