楊翠榮
(敦化市第三中學,吉林 敦化 133700)
問題引入(一):如圖(1)點 P是⊿ABC內(nèi)任意一點,連接BP、CP,試探究:∠P與∠1、∠2有什么關系?
常見的方法是延長BP交AC于點D,不難發(fā)現(xiàn)∠BPC=∠2+∠PDC, 而∠PDC=∠1 +∠A;由此可得∠BPC=∠2 +∠1+∠A.
構建模型:若將線段BC去掉,得到的模型類似于“A”字形,由上面的原理可知,只要具備“A”字形的問題,都可用其結論解決問題。
例1.如圖(2)求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)。
略解:由“A”字形可知∠2=∠5=∠6+∠7+∠8,而易發(fā)現(xiàn)∠6+∠4=180°①;∠1 +∠7=180°②;∠3+∠8=180°③;然后①+②+③便可知∠1+∠2+∠3+∠4=540°,由此可見抓住模型解決問題非常簡單。學生學習幾何不再困惑,而是感到很有趣,遇到問題不會再束手無策。
例2.如圖(3)BE與CD相交于點A,CF為∠BCD的平分線,EF為∠BED的平分線,
(1)試探求∠B、∠D、∠F之間存在何種數(shù)量關系?
(2)若∠B:∠D:∠F=2:4:a,求a的值
略解:(1)∵∠EAC=∠1+∠2+∠F,
(2)由(1)的結論便可求解。略解:∵∠B:∠D:∠F=2:4:a,
∠B+∠D=2∠F,∴2a=6, ∴a=3
利用此模型也可解決很多問題,如后面的例3以及練習1都可以用此模型來解。用此模型解就是∠BOC=∠A+∠B+∠C,而∠BOC=∠EOF,所求的五個角的和就化歸到△EOF中了。而練習1用模型解就是∠DOC=∠A+∠D+∠C=∠BOE,所求的五個角的和就化歸到△BOE中了。顯而易見,學生掌握模型、抓住模型的特點對學生解題是非常有利的,這樣不僅解決了問題,同時又拓寬了學生的解題思路,培養(yǎng)了學生靈活解決問題的能力。
問題引入(二):初一幾何中有這樣一道簡單的求角的度數(shù)的問題,如圖(4)已知∠A=40°,∠D=60°,∠C=30°求∠B的度數(shù)。
其基本解法有兩種:一種是先求出∠AOD的度數(shù),然后利用對頂角相等這一原理求出∠BOC的度數(shù),再利用三角形的內(nèi)角和180°便可求出∠B=70°;另一種方法是由三角形的內(nèi)角和180度,可得∠A+∠D=∠B+∠C,便可求出∠B=70°,方法很巧妙,思路很簡捷。由此發(fā)現(xiàn)只要是這種模型——“8”字形就一定存在這一結論,而且在教學中發(fā)現(xiàn)這樣的問題很多見,有的是小題,有的是在證明題中會間接應用它,用它可以很快捷的解決很多問題。
構建模型:具有上述圖形特點的問題都可用其原理求解,由于圖形象“8”字,就稱其為“8”字形,只要具備這一模型特征,就可以用它快捷的解決問題,思維簡單明了,學生運用起來也靈活自如,在教學中應用此法,學生們的思路、速度快了很多。
具體應用如例3:如圖(5)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)。
很容易發(fā)現(xiàn)此題屬于典型的“8”字型問題,題中蘊含了三個“8”字形,用“8”字形的結論便可得:①∠A+∠F=∠1+∠2;②∠B+∠C=∠2+∠3; ③∠E+∠D=∠1+∠3; 將①、②、③相加便可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=360°.發(fā)現(xiàn)用此種方法解題思路特別順暢。
例3.如圖(6)計算∠A+∠B+∠C+∠E+∠F的度數(shù)。
觀察中發(fā)現(xiàn)此題很象“8”字形,但還差一點,只要連接BC便可得到“8”字形,因此想到了作輔助線的方法——連接 BC,則有∠E+∠F=∠1+∠2,所以∠A+∠B+∠C+∠E+∠F=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°,將這 5個角化歸到同一個三角形中問題得以解決。
以下是一組練習:1.如圖(7)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。
提示:連接圖中任意相鄰兩點便可構成“8”字形,很容易的將這5個角化歸到同一個三角形中,使問題得已解決。(如連接 CD,則∠E+∠B=∠1+∠2, ∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠F=180°)
2.如圖(8)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)。
提示:連接NQ便可得兩個“8”字形;再連接 MR又可得兩個“8”字形,便將所求的8個角全部歸到四邊形MQRN中,利用四邊形的內(nèi)角和便可求得。
3.如圖(9)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)
提示:連接CD就可構造出模型,利用模型就很容易的將這六個角化歸到四邊形ABCD中,利用四邊形的內(nèi)角和求得;六個角的和為360°。
“8”字形也可用在證明題中。如圖(10),已知BD為∠ABC的平分線,CD為⊿ABC的外角∠ACE的平分線,CD與BD交于點D,試說明∠A=2∠D.
分析:圖中很明顯有“8”字形,利用其原理可得∠A+∠1=∠D+∠3;又由內(nèi)外角關系可得∠4=∠D+∠2,而BD為∠ABC的平分線可得∠1=∠2,CD為⊿ABC的外角平分線可得∠3=∠4;所以∠A+∠1=∠2 +∠D +∠D;所以∠A=2∠D
“8”字形不僅僅在求角的計算問題中出現(xiàn),而且在解“相似三角形”問題時也會用到。
引例:如圖(1-1),正方形ABCD中,P是BC上一點,Q是CD上一點,且AQ⊥P Q,求證; △ADQ∽△QCP.
分析:由正方形和AQ⊥PQ不難證出∠DAQ=∠PQC,再加上∠D=∠C就可證出△ADQ∽△QC P.因此,只要有三個垂直就可得到兩個三角形相似。若圖形中只要兩個三角形,就會發(fā)現(xiàn)這個圖形也象“8”字形如圖(1-2),而且這個模型在相似形這部分應用非常廣泛,無論是計算還是證明或者實際應用問題都會用到它,因此,掌握這一模型對我們今后解決問題會有很大幫助。
比如:1.運用這一模型可以求線段的長度。如圖(1-3),在梯形 ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,E為BC上一點,且AE⊥ED,BC=12,DC=7,BE:EC=1:3,求AB的長。
2.實際操作問題:如圖(1-4),A C⊥AB,BE⊥AB,AB=1 0,AC=2,用三角板進行如下操作:將直角頂點P在線段AB上滑動,直角邊始終經(jīng)過C點,另一條直角邊與BE相交于點D,且BD=8,求AP的長。
分析:將直角三角板的直角頂點P在線段AB上滑動就會出現(xiàn)1題的情況,即與模型相似。因此解法與1題解法類似,解出之后滿足條件的點P有兩個。
3.變式題——解決動點問題:如圖(1-5),已知AB⊥BC 于 B,CD⊥BC于 C,AB=4,CD=6,BC=14,P為BC上一點。則BP為何值時,△ABP與△PCD相似?
分析:不難發(fā)現(xiàn),此題與前兩題類似,唯一不同的就是有兩種情況(1)△ABP∽△PCD,(2)△ABP∽△DCP.即當∠A=∠DPC時滿足(1)的情況,此時AP⊥PD;當∠A=∠D時滿足(2)的情況。此時AP不垂直于PD。解出后滿足條件的點P有三個。
略解:∵AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠B=∠C=90°,
4.實際應用。如圖(1-6),某同學要測量某煙囪的高度,他將一面鏡子放到地面上某一位置,然后站到與鏡面、煙囪成一直線的地方,剛好看到煙囪頂部的像。如果這名同學的眼睛到地面的距離AB=1.6m,他到鏡面的距離BO為2m,測得鏡面到煙囪的距離OD為30m,求煙囪的高度。
分析;將本題的實際問題抽象出幾何圖形如圖所示,不難發(fā)現(xiàn),其實本題運用的基本原理就是模型中的原理,所不同的是由于放在地面上的是平面鏡,所以利用入射角等于反射角這一原理就可以得出∠AOB=∠DOC,再加上兩個直角,就可得到兩個三角形相似。利用對應邊成比例就可直接求出煙囪的高度。
5.利用模型求函數(shù)的解析式。如圖(1-7)在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常數(shù)),BC=8,點E為線段BC上的動點(不與B、C重合),連接 DE,作EF⊥DE,EF與射線BA交于點F,設CE=x,BF=y.(1)求y關于x的函數(shù)關系式;(2)若m=8,求x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
從以上的問題可以看出,只要具備這兩個特點——“8”字形、“A”字形的問題,就都可以用它們的模型來解決問題,而且抓住模型特點,學生在解決問題時思路非??旖?。