劉勇，祁紅艷，劉勁松，王可嘉

（1．湖北第二師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北 武 漢430205；

2．武漢光電國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，華中科技大學(xué)光電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武 漢430074）

0 引言

激光是重要的非線性系統(tǒng)，在泵浦域值之上，這種系統(tǒng)能夠產(chǎn)生一束干涉光，其頻率從紅外至紫外且低發(fā)散．由于當(dāng)代納米制造能力的快速發(fā)展，一系列新穎的激光系統(tǒng)已經(jīng)出現(xiàn)．例如，垂直腔面發(fā)射激光器（VCSEL）［1］、光子晶體缺陷模激光（Phcs）［2］和隨機(jī)激光器（RLs）［3～5］．這一系列激光器所面臨的理論挑戰(zhàn)是對(duì)開(kāi)腔的正確處理．在傳統(tǒng)理論中，多模激光是用線性腔共振來(lái)描述的，其中一種較常用的處理方式是準(zhǔn)態(tài)模（QB）［6］．盡管準(zhǔn)態(tài)模（QB）已廣泛使用于標(biāo)準(zhǔn)的開(kāi)腔分析，但是由于它們彼此不正交，所以使用準(zhǔn)態(tài)模（QB）在增益區(qū)外光子流通量不守恒，而且這種方法不能處理模式相互作用及空間燒孔．近來(lái)，這些困難已由Hakan E Türeci和A Douglas Stone等人引入常通量模式constant flux（CF）態(tài)所克服［7］，這種CF態(tài)所決定的光子流通量守恒．他們從采取旋轉(zhuǎn)波近似以及緩慢包絡(luò)近似的半經(jīng)典激光方程出發(fā)，推導(dǎo)出了一個(gè)迭代可解的自洽積分方程，這個(gè)方程決定了激光諧振腔內(nèi)的穩(wěn)態(tài)激光模式．在這個(gè)模型中，半導(dǎo)體激光諧振腔有均勻的折射率和泵浦．

當(dāng)泵浦區(qū)域（或折射率）不均勻時(shí)，必須對(duì)常通量模式作進(jìn)一步處理．本文中擴(kuò)展了自洽積分方程的適用范圍，并擴(kuò)展到一維邊緣發(fā)光半導(dǎo)體激光器，分析了第一激光域值隨著泵浦區(qū)域的變化趨勢(shì)．計(jì)算結(jié)果顯示，第一激光域值D（1）th與泵浦區(qū)域x0成反比．這種處理方式能夠進(jìn)一步應(yīng)用于更復(fù)雜的諧振腔．

1 理論模型

Hakan E Türeci等人［7］從 Maxwell－Bloch方程出發(fā)，給出電場(chǎng)的多周期形式E（x，t）＝ ∑μψμ（x）e－ikμt，穩(wěn)態(tài)非線性激光模式能夠由常通量CF態(tài)的復(fù)矢量aμ方程得到：

圖1 僅有層Ⅰ為增益的一維邊緣發(fā)光半導(dǎo)體激光諧振腔

為了處理不均勻泵浦時(shí)的常通量模式，忽略在未泵浦區(qū)域增益介質(zhì)光子的重吸收．如圖1，半導(dǎo)體諧振腔分為兩層：層Ⅰ和層Ⅱ，它們分別是泵浦（x＜x0）和未泵浦區(qū)域（x＞x0），且層Ⅰ是持續(xù)泵浦的．腔的外部標(biāo)注為層Ⅲ，為空氣（n2＝1）．腔的左部（x＝0）處是一面全反射鏡．

腔內(nèi)的CF態(tài)由下列方程決定：

在x＝0處，考慮Dirichlet邊界條件．在x＝a處，考慮輻射波邊界條件（?xφm（x＝a）＝ikφm（x＝a）），（2）～（4）式?jīng)Q定的CF態(tài)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單地計(jì)算可得出：

這里，層Ⅱ中波矢k選擇為實(shí)數(shù)并恒定，因?yàn)閷英蛑性鲆娼橘|(zhì)并沒(méi)有泵浦，所以激光模式無(wú)法放大．又由φm在x＝x0及x＝a處連續(xù)性條件，可以推得層Ⅰ中CF態(tài)頻率km滿足下列方程：

為了簡(jiǎn)化公式，定義

則（6）式簡(jiǎn)化為

這樣（8）式和參考文獻(xiàn)［5］中的公式有了相同的形式，在域值上，k標(biāo)注為kμth．為了求出CF態(tài)的系數(shù)，對(duì)（5）式在x＝x0及x＝a引入Dirchlet條件，推得

（1）式化為：

為了解（10）式，必須應(yīng)用全局相位條件．通常取的系數(shù)是實(shí)數(shù)且為1．第一域值頻率及第一泵浦域值為：

上式中，

聯(lián)立（8）式、（11）式和（13）式，即可得解得第一域值頻率和km，再由式（12）求得第一泵浦域值

2 模擬與討論

首先，計(jì)算第一域值與泵浦區(qū)域的關(guān)系．假設(shè)腔外的穩(wěn)定波矢K＝20，分別取泵浦區(qū)域x0＝0．3，0．5，0．7，0．9，使用（8）式計(jì)算CF態(tài)的頻率，在計(jì)算中取m＝9，然后代入（9）式得到CF模式系數(shù)，從而計(jì)算出CF態(tài)φm，作出圖2，計(jì)算參數(shù)與參考文獻(xiàn)［8］中的一致，如下：a＝1，ka＝19．89，n1＝1．5，n2＝1．0，γ⊥＝4．從圖2可以看出，邊界x＝a處強(qiáng)度相等，這時(shí)CF態(tài)放大率明顯不同．經(jīng)過(guò)仔細(xì)考察，層Ⅰ的放大率與增益區(qū)域x0（即泵浦區(qū)域）成反比，這說(shuō)明隨著增益區(qū)域x0的減小，需要更高的泵浦補(bǔ)償未泵浦腔長(zhǎng)（a－x0）的損耗．在腔外，強(qiáng)度為常數(shù)，這是由于光子流通量守恒，也是CF態(tài)理論與傳統(tǒng)的準(zhǔn)態(tài)模理論的根本區(qū)別．

如圖3，改變泵浦區(qū)域x0，分別計(jì)算第一泵浦域值．隨著泵浦區(qū)域x0的增大，泵浦域值減小，即第一泵浦域值與泵浦區(qū)域x0成反比．

圖2 邊緣發(fā)光腔中計(jì)算的一系列增益區(qū)域CF態(tài)分布

圖3 第一泵浦域值隨泵浦區(qū)域x0的變化規(guī)律

3 結(jié) 論

將半經(jīng)典自洽場(chǎng)激光理論由均勻泵浦?jǐn)U展到不均勻泵浦，并以一維半導(dǎo)體邊緣發(fā)光為例，詳細(xì)闡述了我們的計(jì)算策略，希望這種新的理論能夠應(yīng)用到解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)以及隨機(jī)激光的增益閾值的求解．

［1］Fumio Koyama．Recent advances of VCSEL photonics［J］．J Lightwave Technol，2006，24（1）：4502－4513．

［2］Noda S，Chutinan A，MImada．Trapping and emission of photons by a single defect in a photonic bandgap structure［J］．Nature，2000，407（5）：608－610．

［3］Lawandy N W，Balachandran R M，Gomes A S L，et al．Laser action in strongly scattering media［J］．Nature，1994，368（6470）：436－438．

［4］Sun T，Wong K S．Time－resolved study of the random lasing in ZnO powder［J］．Acta Phys Sin，2003，52（9）：2127－2132．

［5］Liu J S，Wang H．Influence of spatial localization on the threshold of quasi－state cavities in random lasers［J］．Acta Phys Sin，2004，53（12）：4224－4228．

［6］Wiersig J，Hentshcel M．Combining directinal light output and ultralow loss in deformed microdisks［J］．Phys Rev Lett，2008，100（3）：033901－033904．

［7］H Türeci E，Stone A D，Collier B．Steady－state ab initio laser theory：generalizations and analytic results［J］．Phys Rev A，2006，74（4）：043822－043838．