孟穎，宋建林，夏鵬飛，馬良，劉徹

（長春理工大學　光電工程學院，長春　130022）

波導諧振腔Fano共振特性研究

孟穎，宋建林，夏鵬飛，馬良，劉徹

（長春理工大學光電工程學院，長春130022）

利用耦合模理論，建立了波導-諧振腔-波導諧振腔耦合的數(shù)學模型，并給出了此系統(tǒng)的光學透過率和相移特性的解析表達式，分析了此系統(tǒng)的Fano共振物理機制，即由波導諧振腔駐波模式的共振與諧振腔模式之間的共振耦合引起的，另外還給出了Fano共振模式所需要滿足的位相匹配條件，同時分析了各個性能參數(shù)對此系統(tǒng)的透過率特性和位相特性影響。

Fano共振；諧振腔；波導；耦合模理論

波導諧振腔耦合系統(tǒng)由于其具有非常突出的共振特性，可以用來設計多種光子學器件，如光分束器［1，2］，交叉連接器［3，4］和分插復用濾波器［5-7］等。諧振腔與波導之間的正耦合和側耦合具有互補的透過率特性和相同的位相變化特性，諧振腔與諧振腔的級聯(lián)形成耦合共振波導（CROW）［8］，基于諧振腔模式耦合的光子學器件與特性近些年來已經(jīng)成為光子學領域的研究熱點。

有限長波導可以形成類似于F-P諧振腔，在其中形成駐波模式，通過改變波導的長度，可以很方便的調節(jié)模式的共振頻率，其與諧振腔之間的耦合也非常簡便，只要控制其與諧振腔之間的距離就可以實現(xiàn)，然而，波導諧振腔的耦合特性目前研究的比較少［9］，主要是由于傳統(tǒng)的波導諧振腔的泄露損耗比較大，端面的反射率比較低。隨著加工技術的發(fā)展，光子晶體波導和諧振腔已近成為集成光學中的研究熱點，光子晶體波導諧振腔可以克服傳統(tǒng)波導諧振腔的常見缺陷，研究其光學特性對于光子學器件的設計和發(fā)展具有潛在的指導價值。

本文利用耦合模理論，建立了諧振腔波導耦合系統(tǒng)的數(shù)學模型，給出了透過率和位相變化的數(shù)學表達式，分析了Fano共振的物理機制和Fano共振的位相匹配條件，同時還分析了不同參數(shù)對這些特性的影響。

1　理論分析

為了分析波導諧振腔-諧振腔-主波導互耦合光學特性，建立的光學系統(tǒng)模型如圖1所示，其中波導諧振腔的長度為L，模式傳輸常數(shù)為β；S+ij和S-ij（j=1，2）分別為諧振腔波導、主波導的入射和出射的歸一化幅度?？紤]光波僅從波導輸入端入射（S+22=0），且為時諧波時，即具有ejωt的形式，采用時域耦合模理論［10］，此系統(tǒng)的光學特性可以表示為：其中a為諧振腔的歸一化諧振幅度，ω0為諧振腔的諧振頻率，分別為諧振腔向波導諧振腔和主波導的衰減速率。

圖1　波導諧振腔-諧振腔-主波導互耦合模型

波導諧振腔中，從諧振腔波導耦合端耦合到諧振腔中的入射波s+11是從諧振腔中耦合出來的光波經(jīng)另一端發(fā)射回來的，所具有位相關系為：

聯(lián)立方程（1）-（3），并結合方程（4），主波導的透過系數(shù)可表示為：

其中φ=β（ω）L為光在波導諧振腔中的相移。

2　透過率特性分析

由式（5）可以給出圖1所示的光學耦合系統(tǒng)的透過率特性，即：

從式（6）可知，而當φ→mπ時，透過率恒為1，這是由于波導諧振腔中進入的與返回的行波疊加形成駐波模式，此模式與諧振腔模式相互耦合，引起諧振腔模式的分裂，在此波長上引起Fano共振；另外，從式中還可以看出，當入射波的頻率滿足關系式時，透過率變?yōu)榱?，所有的入射光全部被反射，如果此波長在φ=mπ附近，可以從透過譜中看到兩個全反谷。

為了進一步研究透過率與頻率之間的關系，假設諧振腔波導滿足線性色散關系，在頻率變化范圍不大的情況下，采用自由空間近似，表示為：

圖2　波導諧振腔耦合系統(tǒng)透過率的理論曲線

圖2給出了不同參數(shù)情況下此系統(tǒng)的透過率隨頻率的變化關系，本文采用歸一化頻率2πc/L為單位，其中實線表示耦合系統(tǒng)的透過率，虛線表示沒有波導諧振腔的情況。從圖2（a）-（d）可以看出，透過率曲線具有兩個明顯的特征：第一個特征是無論參數(shù)怎么變化，在頻率ω0=0.50（2πc/L）處透過率始終為1，這是因為在該處，由式（7），諧振腔波導的相移始終為φ=mπ，諧振腔波導正好形成共振駐波模式，產(chǎn)生了Fano共振；第二個特征是單個諧振腔形成了透過率曲線的包絡，而波導諧振腔以駐波共振為界，引起模式的分裂，兩個反射峰位于駐波共振頻率的兩側。

比較圖2（a）和（b），當諧振腔共振頻率改變時，由此諧振腔確定的包絡曲線將隨之移動，另外，由式（7）知道，兩個反射峰的位置也隨之改變，改變幅度與諧振腔的共振頻率的改變量相同，兩個反射峰之間的頻率間隔保持不變。

諧振腔向諧振腔波導耦合時，衰減系數(shù)對反射峰的位置具有決定性的影響，如圖2（c）所示，兩個反射峰之間的間距會變大，從式（7）也能看出此特點，τ1變小，反射峰的位置遠離包絡中心ω0，兩反射峰之間的間距與諧振腔的衰減速率1 /τ1成正比，當然，由于諧振腔波導的相移包含頻率項，也對反射峰的位置有一定的影響。

諧振腔向主波導的衰減系數(shù)決定了透過率曲線的包絡，當衰減速率1 /τ2變小時，包絡會變窄，由式（7）知，反射峰的位置與此衰減速率無關，所以反射峰的位置不隨此衰減的變化而變化，由圖2（a）和（d）知，反射峰之間的間隔不變。

通過上面的分析我們知道，波導諧振腔的Fano共振是由于波導諧振腔的駐波模式的激發(fā)引起諧振腔共振模式的分裂，而駐波模式的位相關系固定，所以Fano共振的位置不變。

3　位相特性分析

此波導諧振腔耦合系統(tǒng)的位相關系也可以由式（9）給出：

圖3給出了不同參數(shù)情況下相移隨頻率的變化關系。還是采用歸一化頻率2πc/L為單位，實線表示耦合系統(tǒng)的透過率，虛線部分給出了只有諧振腔，沒有波導諧振腔的情況。從圖中可以看出，在Fano共振處，位相有一個2π的突變，這是由于數(shù)學上反函數(shù)引起的，所以我們可以看出，有Fano共振情況下，相移的改變量為4π，與只有單個諧振腔的2π不同，所以此波導諧振腔的相移空間比單個諧振腔大一倍。

由式（5）知道，在透射谷的位置，位相的變化率最快，即單位頻率改變情況下，位相的變化量更大。在每一個反射峰的位置，位相的該變量為2π，即在反射峰的上升沿和下降沿變化都是π。反射峰越窄，位相的變化率越快，如圖5（a）和（d）右邊的反射峰所示；當反射曲線的包絡越寬，位相的變化率越慢，這是由于總的位相變化率量一定，反射峰間距越大，位相的變化率越慢，如圖5（c）所示。當波導諧振腔中駐波模式的共振頻率與諧振腔的共振頻率一致時，反射峰兩側的位相變化速率一致，這是由于此時的反射譜是對稱的，如圖3（b）所示。

圖3　波導諧振腔耦合系統(tǒng)位相變化的理論曲線

通過上面的分析我們知道，波導諧振腔的Fano共振相移是單個諧振腔的兩倍，模式分裂，即Fano共振位置的兩側分別為2π。

4　結論

利用耦合模理論，建立了主波導-諧振腔-波導諧振腔耦合系統(tǒng)的光學特性模型，給出了Fano共振的物理機制和位相匹配條件，同時分析了此耦合系統(tǒng)透過率特性和位相特性與各個性能參數(shù)的關系，研究結果表明，F(xiàn)ano共振的頻率完全由位相匹配條件確定，其它參數(shù)只能改變Fano共振特性曲線的形狀，而不能改變Fano共振的頻率位置。

［1］ Fan S，Johnson S G，Joannopoulos J D，et al.Waveguidebranchesinphotoniccrystals［J］.Opt.Soc. Am.B，2001，18（2）：162-165.

［2］ Zhou Jianhong，Chang Qing，Mu Da，et al.Theoretical investigation of waveguide power splitters with parallel output ports in two-dimensional square-lattice photonic crystals［J］.Opt.Soc.Am.B，2009，26 （1）：2469-2471.

［3］Johnson S G，Manolatou C，F(xiàn)an S，et al.Elimination ofcrosstalkinwaveguideintersections［J］.Opt. Lett.，1998，23（23）：1855-1857.

［4］ZhouJianhong，DiXu，MuDa，etal.Improved broad bandwidth intersections in photonic crystals［J］. Opt.Comm，2012，285（1）：38-40.

［5］Fan S，Villeneuve P R，Joannopoulos J.D，et al. Channel drop tunneling through localized states［J］. Phys.Rev.Lett，1998，80（5）：960-963.

［6］ Ren HL，Jiang C，Hu WS，et al.Channel drop filter in two-dimensional triangular lattice photonic crystals，［J］.Opt.Soc.Am.A，2007，24（10）：9-13.

［7］Ren HL，Jiang C，Hu WS，et al，Photonic crystal channel drop filter with a wavelength-selective reflection micro-cavity［J］.Opt.Expr，2006，14（6）：2446-2458.

［8］ Yariv A，Xu Y，Lee R K，et al.Coupled-resonator optical waveguide：a proposal and analysis［J］.Opt. Lett，1999，24（11）：711-713.

［9］Zhou Jianhong，Xu Xiping，Han Wenbo，et al.Fano resonance of nanoparticles embedded in Fabry-Perot cavities［J］.Optics Express，2013，21（10）：12159-12164.

［10］Haus H A.Waves and fields in optoelectronics ［M］.Taibei：Central Book Company，1985.

Transfer Matrix Method for Cascaded Cavity-waveguide Coupling System

MENG Ying，SONG Jianlin，XIA Pengfei，MA Liang，LIU Che
（School of Optoelectronic Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The optical properties of waveguide-cavity coupling system were investigated by using coupled-mode theory，where the mechanism of Fano resonance is originated from the coupling between the cavity mode and the standing wave mode in the waveguide resonator.The phase-match conditions for Fano resonance are obtained and the dependence of the transmissions and phase shifts on the functional parameters are also analyzed.

Fano resoance；cavity；waveguide；coupled-mode theory

O436

A

1672-9870（2015）06-0064-03

2015-10-22

孟穎（1980-），女，碩士，實驗師，E-mail：quiet_brook@aliyun.com