王洪吉

（天津理工大學(xué)理學(xué)院，天津300391）

0 引言

眾所周知，納米尺度的物質(zhì)包含的原子非常多，因此不能直接利用量子力學(xué)來討論．但這種尺度的物質(zhì)又不能擺脫量子效應(yīng)的影響，不單純服從宏觀的經(jīng)典物理理論．截至目前為止，還沒有一種非常適合納米尺度的物理學(xué)理論．納米材料有幾種效應(yīng)：小尺寸效應(yīng)﹑表面效應(yīng)﹑量子尺寸效應(yīng)﹑宏觀量子隧道效應(yīng)和介電限域效應(yīng)等．筆者認(rèn)為，在這些效應(yīng)中，小尺度效應(yīng)，也就是納米尺度效應(yīng)，是最基本的和最重要的效應(yīng)，因?yàn)樗钱a(chǎn)生和引起其它效應(yīng)的根源．由于納米尺度效應(yīng)，納米材料的力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等性質(zhì)發(fā)生了根本的改變．筆者認(rèn)為，納米物質(zhì)的電磁學(xué)性質(zhì)的改變是最基本的，其它力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)等性質(zhì)的改變是由于電磁學(xué)性質(zhì)的改變引起的．

本文中介紹介質(zhì)的極化磁化新方程，研究納米材料的極化、磁化、簡并和相變，給出納米尺度的極化磁化方程、電子自旋的數(shù)學(xué)和物理模型，研究二維納米材料和石墨烯傳導(dǎo)電子自旋的原因．

1 極化磁化新方程

在經(jīng)典電磁理論中，有關(guān)于介質(zhì)極化和磁化的方程．如

式中P和M 分別為介質(zhì)的極化強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度，c為真空中的光速，ρp和Ji分別為介質(zhì)的極化電荷密度和誘導(dǎo)電流密度．根據(jù)（1）式和（2）式，筆者曾利用八元數(shù)方法給出新的極化和磁化方程［1－4］Δ

（3）式說明磁化過程中不會(huì)產(chǎn)生磁荷，磁荷的不存在從一個(gè)側(cè)面證明了（3）式的正確性．（4）式說明變化的磁化場，產(chǎn)生渦旋的極化場，磁化過程和極化過程是相互關(guān)聯(lián)、共同存在的．（1）～（4）式與麥克斯韋方程組類似，根據(jù)（1）～（4）式還可以得到極化強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度的波動(dòng)方程［3］，證實(shí)了極化波和磁化波也可以光速c在介質(zhì)中傳播．將（4）式整理并和法拉第電磁感應(yīng)定律相加，可得到

（5）式是用電位移矢量D和磁場強(qiáng)度矢量H表示的法拉第電磁感應(yīng)定律，是普遍適用的．在真空中，極化強(qiáng)度矢量P＝0，磁化強(qiáng)度矢量M＝0，（5）式簡化為法拉第電磁感應(yīng)定律．

2 納米尺度的極化、磁化、簡并和相變

宏觀電介質(zhì)在外電場的作用下，會(huì)發(fā)生極化現(xiàn)象．電介質(zhì)的極化用電偶極矩描述．在納米尺度下，材料中的電子有了新的排列方式．比如，有些金屬導(dǎo)體，在納米尺度下，其原子的自由電子被束縛，可能成為絕緣體．這些金屬產(chǎn)生了極化現(xiàn)象，這種極化不是在外電場的作用下發(fā)生的，而是由于介質(zhì)的尺寸減小到納米尺度產(chǎn)生的，筆者認(rèn)為這種極化可以稱為納米極化．納米尺度下材料中的極化，也可以用電偶極矩描述．

通常電子材料中電子自旋的取向雜亂，一半自旋向上，另一半自旋向下．經(jīng)典的電磁學(xué)理論忽略了電子的自旋．在納米尺度下，材料中的電子自旋不能忽略，呈現(xiàn)一種新的有序狀態(tài)，納米材料被磁化了，本人認(rèn)為這種磁化可以稱為納米磁化．比如，在三明治的單晶巨磁電阻材料中，電子自旋的分布是有序的．在沒有外磁場情形下，兩邊的鐵磁層中的電子自旋方向相反．又比如，在軌道與自旋耦合的自旋霍爾效應(yīng)的納米尺度的拓?fù)浣^緣體材料中，在沒有外磁場的情況下，電子自旋的方向也呈現(xiàn)了一種反對稱分布．

普通大塊晶體內(nèi)含有大量原子（或原胞），其能帶中的能級間距很小，呈準(zhǔn)連續(xù)結(jié)構(gòu)．納米尺度的晶體只能包含有限數(shù)目的原胞，使能級離散化，能級出現(xiàn)了明顯的簡并現(xiàn)象．這種簡并狀態(tài)是在納米尺度下出現(xiàn)的，可以稱為納米簡并．這種能級的簡并與材料的極化和磁化以及電子的有序分布相對應(yīng)．

納米尺度的物質(zhì)不僅由于尺度效應(yīng)會(huì)自發(fā)出現(xiàn)極化和磁化現(xiàn)象，而且還會(huì)發(fā)生相變．比如鐵磁質(zhì)的磁疇，在某個(gè)納米尺度會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)閱蝹€(gè)粒子的磁疇．這種相變可以稱作納米相變．

以上的極化、磁化、簡并和相變都是小尺度效應(yīng)、即納米尺度效應(yīng)導(dǎo)致的．

3 納米尺度的極化磁化方程

在經(jīng)典電磁理論中，介質(zhì)的極化強(qiáng)度P和磁化強(qiáng)度M 分別由微觀物理量電偶極矩pi和磁偶極矩mi定義．將介質(zhì)的極化強(qiáng)度P的定義式和介質(zhì)的磁化強(qiáng)度M 的定義式

分別代入（3）式和（4）式，并化簡，得［3－4］

在納米尺度時(shí)，材料會(huì)發(fā)生納米極化和納米磁化現(xiàn)象，電子的個(gè)性（單個(gè)效應(yīng)），量子效應(yīng)（離散化效應(yīng)）明顯顯現(xiàn)出來，如庫倫堵塞效應(yīng)、電子自旋效應(yīng)、單粒子磁疇、軌道自旋耦合、能級簡并、能級分裂、相變等．根據(jù)（8）式、（9）式以及物質(zhì)在納米尺度時(shí)的狀態(tài)，不同于該物質(zhì)在整體狀態(tài)時(shí)所表現(xiàn)的物理狀態(tài)．假定在納米尺度時(shí)以下方程成立 Δ（11）式表明，納米尺度的微觀客體，其電偶極矩pi與磁偶極矩mi是互相關(guān)聯(lián)的．

（10）式、（11）式為納米尺度下物質(zhì)的極化磁化方程．從數(shù)學(xué)上分析，（10）式、（11）式僅是（8）式、（9）式成立的充分條件，不是必要條件．由于磁荷不存在，（10）式是正確的．

宏觀尺度的物質(zhì)是集體化的，由（3）式、（4）式或（8）式、（9）式描述．電子的自旋正負(fù)抵消，對外不顯現(xiàn)其作用，除鐵磁材料等例外．

納米尺度的物質(zhì)是屬于個(gè)體的，由（10）式、（11）式描述．此時(shí)個(gè)性突出，電子自旋不再互相抵消，物質(zhì)中的電偶極矩不再互相抵消，出現(xiàn)了納米極化、磁化、簡并、相變等物理現(xiàn)象．

4 電子自旋的數(shù)學(xué)和物理模式

在數(shù)學(xué)上，矢量函數(shù)A（t）模不變的的充分必要條件是［5］

電子的自旋量子數(shù)等于±1／2，電子的自旋角動(dòng)量是矢量，角動(dòng)量是軸矢量，因此把電子自旋看成模等于1／2的軸矢量．磁偶極矩mi是軸矢量．可以利用磁偶極矩mi表示電子的自旋，因此表示電子自旋的磁偶極矩mi的模為1／2，是模不變的矢量．于是有［4］

即電子自旋矢量與其導(dǎo)矢量互相垂直．根據(jù)（11）式，電子極化產(chǎn)生的電偶極矩與電子的自旋矢量在同一平面，是共面的．

設(shè)有矢量場A，若其散度Δ·A≡0，則稱此矢量場為管型場或無源場．矢量場A為管型場的充分必要條件是它為另外一個(gè)矢量場B的旋度場［5］．因此由（10）式，mi也可以表示為另外一個(gè)矢量的旋度．

若磁偶極矩mi看作是電子自旋磁矩的表達(dá)式，則電子的自旋是矢量ci的旋度，電子自旋是個(gè)旋度．旋度是矢量，其大小為環(huán)量面密度的最大值，其方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大值的方向．環(huán)量是沿閉合曲線的曲線積分，環(huán)量面密度是閉合曲線對其所包圍的面積的比值的極限，即環(huán)量對面積的變化率．磁偶極矩的物理模型是閉合電流產(chǎn)生的磁矩．因此，數(shù)學(xué)模式與物理模型吻合［4］．

根據(jù)磁化電流密度的定義，定義

為電子自旋的磁化電流密度．電子自旋的磁化電流密度也是旋度，但是與電子自旋不同的是，電子自旋的磁化電流密度是極矢量，電子自旋是軸矢量．

利用（11）式、（13）式和（15）式，可以分析納米材料中電偶極矩方向、自旋磁矩方向、自旋極化電流方向（自旋的磁化電流密度方向）、自旋旋轉(zhuǎn)變化方向．下面將利用這些表達(dá)式研究二維納米材料和石墨烯．

5 二維納米材料研究

由于一維納米材料可以看成二維納米材料的特例，一些功能材料薄膜都屬于二維納米材料，二維納米材料是比較典型的納米材料．有一維是納米尺度，另外兩維為宏觀尺度的二維納米材料．為便于描述，把它簡化為無限大平面．由于納米尺度的尺度效應(yīng)，材料自發(fā)發(fā)生了極化和磁化．磁化使材料中電子的自旋不能忽略不計(jì)．極化出現(xiàn)了電偶極矩，假定電偶極矩的方向與平面平行．根據(jù)（11）式和（13）式，電子自旋的方向也與平面平行．根據(jù)（15）式，電子自旋的磁化電流密度（電子自旋的極化電流）的方向垂直于平面．

在巨磁電阻的三明治結(jié)構(gòu)中，電子的自旋方向，電子的自旋極化電流密度的方向恰好滿足這種結(jié)構(gòu)．電子自旋方向在平面內(nèi)，電子的自旋極化電流密度的方向垂直于平面．

6 石墨烯傳導(dǎo)電子自旋的原因

石墨烯是由碳原子組成的二維晶體，僅有一層碳原子的厚度．石墨烯是目前人們發(fā)現(xiàn)的最薄和最硬的一種材料，其導(dǎo)電和導(dǎo)熱性能極強(qiáng)，幾乎完全透明，而且能有效傳導(dǎo)電子自旋，電子在其中能象光子一樣高速運(yùn)動(dòng)．因此，石墨烯在很多方面都具有潛在的和重要的應(yīng)用價(jià)值．

如前所述，電子的自旋是矢量的旋度．旋度是矢量，是環(huán)量面密度，其方向?yàn)樽畲蟮沫h(huán)量面密度的方向．而石墨烯由非常對稱的環(huán)狀的鍵組成，具有天然的環(huán)狀結(jié)構(gòu)．因此石墨烯的幾何結(jié)構(gòu)與電子自旋的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同．把蜜蜂比作電子的自旋，而石墨烯恰好就是蜜蜂的蜂窩．石墨烯本身的結(jié)構(gòu)是傳導(dǎo)電子自旋的“橋梁”．因此石墨烯能有效的傳導(dǎo)電子的自旋．

根據(jù)以上分析，若電子自旋方向垂直于石墨烯平面，根據(jù)（15）式，電子自旋的磁化電流密度平行于石墨烯平面，與電子的自旋矢量垂直．

另外，根據(jù)（1）～（4）式可以得到極化強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度的波動(dòng)方程．極化波和磁化波可以以光速在介質(zhì)中傳播．

與石墨烯類似的六角環(huán)狀結(jié)構(gòu)的納米晶體，都有可能成為傳播電子自旋的合適材料．硅烯具有與石墨烯類似的六角環(huán)狀結(jié)構(gòu)，現(xiàn)已證實(shí)具有與石墨烯類似的電子結(jié)構(gòu)．

7 結(jié)果討論

本文中的簡化處理，忽略了溫度等其它因素．事實(shí)上，在納米尺度，材料的相變溫度發(fā)生了變化，很多其它因素是不能忽略的．

納米尺度的極化磁化方程和理論，電子自旋的數(shù)學(xué)和物理模型，只是為解釋納米材料的極化磁化現(xiàn)象提供的一種新線索和新方法，并不是取代其它納米理論和方法．

電子自旋是旋度，電子自旋的磁化電流也是旋度．粗略地說，旋度是閉合環(huán)路積分對面積的最大變化率．凡是具有環(huán)狀的納米材料都適合電子的自旋和自旋的磁化電流（極化電流）．

［1］王洪吉．八卦數(shù)學(xué)物理原理［M］．香港：中國國際教育出版社，2002．

［2］Wang Hongji．The application of octonion to physics［C］．Beijing：Higher Education Press，2002：292－293．

［3］王洪吉．介質(zhì)極化和磁化的八元數(shù)理論［J］．商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，19（2）：25－27．

［4］王洪吉．極化和磁化方程應(yīng)用研究［EB／OL］．http：／／www．paper．edu．cn／releasepaper／content／200711－553．

［5］謝樹藝．矢量分析與場論［M］．北京：人民教育出版社，1978：8－56．