黃敏，黃朝炎

（1．中南財經(jīng)政法大學武漢學院信息系，湖北 武 漢430079；2．湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武 漢430062）

0 引言

現(xiàn)代證券組合理論（modern portfolio theory）是關(guān)于在收益不確定條件下投資行為的理論，它是由美國經(jīng)濟學家Harry Markowits在20世紀50年代提出來的．文獻［1－2］研究了市場不允許賣空及市場為獨立情形下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題．但是，實際的經(jīng)濟生活中證券市場存在大量的賣空操作，市場也通常不獨立，因此對市場不獨立情形的研究無疑是非常重要的．本文中研究了允許賣空的離散時間金融市場，從無風險控制和有風險控制兩個方面探討允許賣空的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合投資問題，當市場滿足一類負相依隨機變量序列條件下，得到關(guān)于log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的一些性質(zhì)．

1 無風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的性質(zhì)

先考慮單周期情形．設（Ω，F(xiàn)，P）是其構(gòu)成的概率空間，其中Ω表示證券收益所有可能狀態(tài)．記ω＝（ω1，ω2，…，ωm）T為資產(chǎn)組合向量．這里ωi，i＝1，2，…，m 可以大于等于0也可以小于0．在文獻［1］中，假設ωi≥0，不允許賣空，但現(xiàn)實的證券市場中賣空的操作大量存在，所以考慮ωi＜0，即表明允許賣空的情形．

記X＝（X1，X2，…，Xm）T為收益向量，T表示轉(zhuǎn)置，其中Xi表示把單位資金投資于第i種證券，經(jīng)一定時間后得到的收益．X 的聯(lián)合分布函數(shù)記為F（x）．記B＝｛ω∈Rm｜eTω＝1，ωTX＞0，e＝（1，1，…，1）T｝為全體資產(chǎn)組合向量集．對數(shù)是一種常用效用函數(shù)，在多周期情形中為了在數(shù)學上便于處理，我們對累計資金ωTX 求 取對數(shù)，令為倍率函數(shù)．投資者是厭惡風險者，所以投資者目標是使倍率函數(shù)W（ω，X）達到最大值，稱）為最優(yōu)倍率函數(shù)．對于單周期允許賣空的市場，最優(yōu)倍率函數(shù)有如下性質(zhì)．

引理1［1］對于給定的ω，W（ω，X）是F（x）的線性函數(shù)．對于給定的F（x），W（ω，X）是ω的凹函數(shù)．

W＊（X）是F（x）的凸函數(shù)．

引理2［2］使倍率函數(shù)W（ω，X）達到最大的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合ω＊冰滿足條件

再考慮多周期情形．由于投資者實際上是連續(xù)投資，設n為一個有限時間，所有到n時刻為止的市場不確定性形成概率空間（Ω，F(xiàn)，P），并在其上形成一個σ－域流Fk，F(xiàn)k＝σ（Xi，i≤k），且F1?F2?…?Fn?F．

令ω＝（ω ，ω ，…，ω ）T為投資者第i個周期的資產(chǎn)組合向量．X＝（X，X，…，X）T為收益向量，則到第幾個周期末投資者擁有的資金累計為），相應的log－收益為為第i個周期的log－收益，即記為第i個周期達到的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合即

引理3［3］設｛Xn，n≥1｝是隨機變量序列，｛an，n≥1｝是正實數(shù)列且an↑∞（n→∞）．若其滿足下列條件

則強大數(shù)定律

成立．

定理1 設｛Xn，n≥1｝為市場收益向量序列，記為第i個周期的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…，則

定理1的證明 由條件知

又

定理2 設｛Xn，n≥1｝為收益向量序列，記）為第i個周期達到log－最優(yōu)組合投資的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…．而Zi滿足

定理2的證明 由于｛Zn，n≥1｝滿足條件

其中i≠j，i，j＝1，2，…．由引理3知

即

由定理1有

故

于是（1）式成立．

又由引理2知，對每個周期有

于是

利用Markov不等式可得

從而

取tn＝n2，并對n求和得

則由Borel－Cantelli引理有

即存存N，當n＞N時．有

從而有

即（2）式成立．

3 有風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的性質(zhì)

上面我們討論了在無風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題，但在實際投資策略中，風險是必然存在的，所以我們必須考慮如何規(guī)避風險、考慮對風險的承受程度，在風險不超過一定程度下尋求投資效益的最大化，或者在收益不低于一定程度時尋求投資風險的最小化．在投資活動中風險是投資決策的實際結(jié)局可能偏離其期望結(jié)局的程度，收益的方差或標準差、半方差是用于風險度量的最常用的討論．為此，下面我們將用更一般的數(shù)學度量來討論有風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題．

設‖·‖為R的凸函數(shù)，定義風險控制函數(shù)為R（ω）＝E‖ωTX－E（ωTX）‖．記投資風險不超過r的投資組合的全體為Br＝｛ωr∈B：R（ωr）≤r｝．為了刻劃在風險水平不超過r的資產(chǎn)組合中能達到的log－最優(yōu)投資收益，令

為最優(yōu)倍率－風險函數(shù)．

當r＝∞時，W＊（∞，F(xiàn)）＝W＊（F），此時最優(yōu)倍率－風險函數(shù)即為上節(jié)中的最優(yōu)倍率函數(shù)W＊（F）．若最優(yōu)資產(chǎn)組合記為，則W＊，F(xiàn)）＝W＊（r，F(xiàn)）．

在單周期情形中，類似于上一節(jié)無風險的情形，我們有如下結(jié)論：

引理3［1］倍率函數(shù)W（ωr）是ωr的凹函數(shù)．

引理4［2］達到log－優(yōu)倍率－風險函數(shù)的資產(chǎn)組合ωr＊滿足條件：

在多周期情形中，定義第i個周期投資的資產(chǎn)組合的最優(yōu)倍率－風險函數(shù)為，到第n個周期末為），其中最大值滿足如下集合

定理3 設｛Xn，n≥1｝為市場收益向量序列，記Yi＝log（ωtiXi）為第i個周期的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…．則

定理3的證明 根據(jù)集合Cr的限制可得如下不等式

即

但由于集合Cr的限制未必能達到），從而有

即

由（3）～（4）式可知

類似定理2的證明，可以得到如下定理．

定理4 設｛Xn，n≥1｝為收益向量序列，記，即Zi為第i個周期達到log－最優(yōu)組合投資的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…．而Zi滿足

［1］葉中行，林建中．數(shù)理金融［M］．北京：科學出版社，2000．

［2］劉莉，周紅霞．允許賣空的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合投資模型［J］．應用數(shù)學，2002，15（2）：97－101．

［3］黃敏，黃朝炎．一類負相依隨機變量序列線性形式的強穩(wěn)定性［J］．湖北大學學報：自然科學版，2011，33（3）：346－350．

［4］陸傳榮，林正炎．混合相依變量極限理論［M］．北京：科學出版社，2000．

［5］Ye Z X，Li J．Optimal portfolio with risk control［J］．Applied Probability and Statistics，1998，14（3）：326－338．

［6］Pham H．Minimizing shortfall risk and applications to finance and insurance problems［M］．Preprint：University of Mame－la－Vallée，1999．

［7］Schachermayer W．Optimal investmemt in incomplete financial Markets［M］．Geman H，Madam D，Pliska S，et al．Mathematical Finance，Bachelier Congress，Berlin：Springer，2000．

［8］Kabanov Yu M，Striker C．On the optimal portfolio for lévy process［J］．Mathematical Methods of Operation Research，2000，51（3）：357－374．