周興

填空題的壓軸題是高考選拔頂級(jí)人才的重要平臺(tái)，凝聚了命題人的智慧。它既能全面考查考生的運(yùn)算、推理、估計(jì)等高層次的思維能力，也能考查考生在碰到困難時(shí)是否沉著冷靜、是否自信、是否能控制自己情緒等非智力方面的能力，能全面反映考生的綜合素養(yǎng)。那么填空壓軸題的特點(diǎn)是什么？我們又應(yīng)該采取怎樣的應(yīng)對(duì)策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江蘇卷14）已知正數(shù)a，b，c滿足條件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，則的取值范圍是 .

解：因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，不等式兩邊都除以c，

5-≤≤4-.

因?yàn)閏ln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：可行域中的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率.

A（，），B（1，e），且B點(diǎn)在可行域內(nèi)，所以的取值范圍是（e，7）.

評(píng)析：這類問題是考試的熱點(diǎn)，它作為壓軸題能讓考生感到字母多而無所適從，主要的應(yīng)對(duì)策略是：利用轉(zhuǎn)化、化歸的思想，把已知不等式同除以c，再利用換元思想令x=，y=，把三個(gè)變量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量，最后利用線性規(guī)劃來解決問題。

二、大運(yùn)算量型

例2 （2010·江蘇卷14）將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是 .

解：設(shè)梯形上底邊為x，則梯形的兩腰為（1-x），高為（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，當(dāng)0

當(dāng)

所以，當(dāng)x=時(shí)，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

評(píng)析：這類壓軸題運(yùn)算量非常大，學(xué)生遇到這類題目時(shí)常常感到題目會(huì)做，但又做不完、做不對(duì)，此時(shí)學(xué)生情緒上會(huì)很沮喪，這類題目對(duì)學(xué)生的殺傷力是最大的。應(yīng)對(duì)策略：平時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，對(duì)運(yùn)算量大的題目要不急不躁，迎難而上，打下扎實(shí)的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一個(gè)x5后，x1x2，x3x4不會(huì)都小于.

同樣，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三個(gè)不等式等號(hào)都成立，則x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值為1，所以x1x2的最小值為9，此時(shí)x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

評(píng)析：這類壓軸題未知量多而等量關(guān)系只有一個(gè)，用常規(guī)的演繹法很難解決此類問題，學(xué)生往往感到深不可測(cè)。應(yīng)對(duì)策略：靠合情推理以及嚴(yán)密的邏輯思維能力推得未知量的值，此類問題作為壓軸題的情況較多，要引起學(xué)生的高度重視。

四、大膽估計(jì)型

1.估計(jì)數(shù)值

例4 （2013·江蘇卷14）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=，

a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為 .

解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估計(jì)n=12時(shí)，212-1>211，n=13時(shí)，213-1<218.

所以滿足條件的最大正整數(shù)n的值為12.

評(píng)析：此類壓軸題在解到關(guān)鍵時(shí)刻時(shí)，就不能直接靠解不等式來求n的范圍，只能觀察式子，對(duì)n的值做有效估計(jì)，這樣才能又快又準(zhǔn)地解出答案。

2.估計(jì)圖形

例5 （2014·蘇州卷14）若<0（m≠0）對(duì)一切x≥4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

解：設(shè)函數(shù)f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的函數(shù)值的商對(duì)一切x≥4都小于0，

因?yàn)閙2>0且f（x）過定點(diǎn)（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的圖形如下：

f

可得f（x）與x軸的交點(diǎn)在（4，0）的左側(cè).

估計(jì)g（x）=mx+1的斜率小于0，與x軸的交點(diǎn)也在（4，0）的左側(cè).

列出不等式組f（4）>0

g（4）>0，解得m的范圍是-∞，

-.

評(píng)析：此類壓軸題首先要構(gòu)造幾個(gè)函數(shù)，然后分別研究這些函數(shù)的圖象，并估計(jì)出這些圖象在同一坐標(biāo)軸中的位置，通過零點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值列出不等式組或方程，解出范圍或值。這要求學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的圖象要熟練掌握。

綜上，作者只對(duì)常見的“多字母型”“大運(yùn)算量性”“合情推理型”“大膽估計(jì)型”四類壓軸題做了歸類、評(píng)析和總結(jié)，并提出了應(yīng)對(duì)策略，希冀對(duì)教師的教學(xué)實(shí)踐能有一定的指導(dǎo)價(jià)值，給考生的復(fù)習(xí)和高考帶來啟發(fā)和幫助。

填空題的壓軸題是高考選拔頂級(jí)人才的重要平臺(tái)，凝聚了命題人的智慧。它既能全面考查考生的運(yùn)算、推理、估計(jì)等高層次的思維能力，也能考查考生在碰到困難時(shí)是否沉著冷靜、是否自信、是否能控制自己情緒等非智力方面的能力，能全面反映考生的綜合素養(yǎng)。那么填空壓軸題的特點(diǎn)是什么？我們又應(yīng)該采取怎樣的應(yīng)對(duì)策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江蘇卷14）已知正數(shù)a，b，c滿足條件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，則的取值范圍是 .

解：因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，不等式兩邊都除以c，

5-≤≤4-.

因?yàn)閏ln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：可行域中的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率.

A（，），B（1，e），且B點(diǎn)在可行域內(nèi)，所以的取值范圍是（e，7）.

評(píng)析：這類問題是考試的熱點(diǎn)，它作為壓軸題能讓考生感到字母多而無所適從，主要的應(yīng)對(duì)策略是：利用轉(zhuǎn)化、化歸的思想，把已知不等式同除以c，再利用換元思想令x=，y=，把三個(gè)變量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量，最后利用線性規(guī)劃來解決問題。

二、大運(yùn)算量型

例2 （2010·江蘇卷14）將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是 .

解：設(shè)梯形上底邊為x，則梯形的兩腰為（1-x），高為（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，當(dāng)0

當(dāng)

所以，當(dāng)x=時(shí)，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

評(píng)析：這類壓軸題運(yùn)算量非常大，學(xué)生遇到這類題目時(shí)常常感到題目會(huì)做，但又做不完、做不對(duì)，此時(shí)學(xué)生情緒上會(huì)很沮喪，這類題目對(duì)學(xué)生的殺傷力是最大的。應(yīng)對(duì)策略：平時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，對(duì)運(yùn)算量大的題目要不急不躁，迎難而上，打下扎實(shí)的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一個(gè)x5后，x1x2，x3x4不會(huì)都小于.

同樣，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三個(gè)不等式等號(hào)都成立，則x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值為1，所以x1x2的最小值為9，此時(shí)x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

評(píng)析：這類壓軸題未知量多而等量關(guān)系只有一個(gè)，用常規(guī)的演繹法很難解決此類問題，學(xué)生往往感到深不可測(cè)。應(yīng)對(duì)策略：靠合情推理以及嚴(yán)密的邏輯思維能力推得未知量的值，此類問題作為壓軸題的情況較多，要引起學(xué)生的高度重視。

四、大膽估計(jì)型

1.估計(jì)數(shù)值

例4 （2013·江蘇卷14）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=，

a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為 .

解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估計(jì)n=12時(shí)，212-1>211，n=13時(shí)，213-1<218.

所以滿足條件的最大正整數(shù)n的值為12.

評(píng)析：此類壓軸題在解到關(guān)鍵時(shí)刻時(shí)，就不能直接靠解不等式來求n的范圍，只能觀察式子，對(duì)n的值做有效估計(jì)，這樣才能又快又準(zhǔn)地解出答案。

2.估計(jì)圖形

例5 （2014·蘇州卷14）若<0（m≠0）對(duì)一切x≥4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

解：設(shè)函數(shù)f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的函數(shù)值的商對(duì)一切x≥4都小于0，

因?yàn)閙2>0且f（x）過定點(diǎn)（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的圖形如下：

f

可得f（x）與x軸的交點(diǎn)在（4，0）的左側(cè).

估計(jì)g（x）=mx+1的斜率小于0，與x軸的交點(diǎn)也在（4，0）的左側(cè).

列出不等式組f（4）>0

g（4）>0，解得m的范圍是-∞，

-.

評(píng)析：此類壓軸題首先要構(gòu)造幾個(gè)函數(shù)，然后分別研究這些函數(shù)的圖象，并估計(jì)出這些圖象在同一坐標(biāo)軸中的位置，通過零點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值列出不等式組或方程，解出范圍或值。這要求學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的圖象要熟練掌握。

綜上，作者只對(duì)常見的“多字母型”“大運(yùn)算量性”“合情推理型”“大膽估計(jì)型”四類壓軸題做了歸類、評(píng)析和總結(jié)，并提出了應(yīng)對(duì)策略，希冀對(duì)教師的教學(xué)實(shí)踐能有一定的指導(dǎo)價(jià)值，給考生的復(fù)習(xí)和高考帶來啟發(fā)和幫助。

填空題的壓軸題是高考選拔頂級(jí)人才的重要平臺(tái)，凝聚了命題人的智慧。它既能全面考查考生的運(yùn)算、推理、估計(jì)等高層次的思維能力，也能考查考生在碰到困難時(shí)是否沉著冷靜、是否自信、是否能控制自己情緒等非智力方面的能力，能全面反映考生的綜合素養(yǎng)。那么填空壓軸題的特點(diǎn)是什么？我們又應(yīng)該采取怎樣的應(yīng)對(duì)策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江蘇卷14）已知正數(shù)a，b，c滿足條件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，則的取值范圍是 .

解：因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，不等式兩邊都除以c，

5-≤≤4-.

因?yàn)閏ln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：可行域中的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率.

A（，），B（1，e），且B點(diǎn)在可行域內(nèi)，所以的取值范圍是（e，7）.

評(píng)析：這類問題是考試的熱點(diǎn)，它作為壓軸題能讓考生感到字母多而無所適從，主要的應(yīng)對(duì)策略是：利用轉(zhuǎn)化、化歸的思想，把已知不等式同除以c，再利用換元思想令x=，y=，把三個(gè)變量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量，最后利用線性規(guī)劃來解決問題。

二、大運(yùn)算量型

例2 （2010·江蘇卷14）將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是 .

解：設(shè)梯形上底邊為x，則梯形的兩腰為（1-x），高為（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，當(dāng)0

當(dāng)

所以，當(dāng)x=時(shí)，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

評(píng)析：這類壓軸題運(yùn)算量非常大，學(xué)生遇到這類題目時(shí)常常感到題目會(huì)做，但又做不完、做不對(duì)，此時(shí)學(xué)生情緒上會(huì)很沮喪，這類題目對(duì)學(xué)生的殺傷力是最大的。應(yīng)對(duì)策略：平時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，對(duì)運(yùn)算量大的題目要不急不躁，迎難而上，打下扎實(shí)的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一個(gè)x5后，x1x2，x3x4不會(huì)都小于.

同樣，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三個(gè)不等式等號(hào)都成立，則x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值為1，所以x1x2的最小值為9，此時(shí)x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

評(píng)析：這類壓軸題未知量多而等量關(guān)系只有一個(gè)，用常規(guī)的演繹法很難解決此類問題，學(xué)生往往感到深不可測(cè)。應(yīng)對(duì)策略：靠合情推理以及嚴(yán)密的邏輯思維能力推得未知量的值，此類問題作為壓軸題的情況較多，要引起學(xué)生的高度重視。

四、大膽估計(jì)型

1.估計(jì)數(shù)值

例4 （2013·江蘇卷14）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=，

a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為 .

解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估計(jì)n=12時(shí)，212-1>211，n=13時(shí)，213-1<218.

所以滿足條件的最大正整數(shù)n的值為12.

評(píng)析：此類壓軸題在解到關(guān)鍵時(shí)刻時(shí)，就不能直接靠解不等式來求n的范圍，只能觀察式子，對(duì)n的值做有效估計(jì)，這樣才能又快又準(zhǔn)地解出答案。

2.估計(jì)圖形

例5 （2014·蘇州卷14）若<0（m≠0）對(duì)一切x≥4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

解：設(shè)函數(shù)f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的函數(shù)值的商對(duì)一切x≥4都小于0，

因?yàn)閙2>0且f（x）過定點(diǎn)（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的圖形如下：

f

可得f（x）與x軸的交點(diǎn)在（4，0）的左側(cè).

估計(jì)g（x）=mx+1的斜率小于0，與x軸的交點(diǎn)也在（4，0）的左側(cè).

列出不等式組f（4）>0

g（4）>0，解得m的范圍是-∞，

-.

評(píng)析：此類壓軸題首先要構(gòu)造幾個(gè)函數(shù)，然后分別研究這些函數(shù)的圖象，并估計(jì)出這些圖象在同一坐標(biāo)軸中的位置，通過零點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值列出不等式組或方程，解出范圍或值。這要求學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的圖象要熟練掌握。

綜上，作者只對(duì)常見的“多字母型”“大運(yùn)算量性”“合情推理型”“大膽估計(jì)型”四類壓軸題做了歸類、評(píng)析和總結(jié)，并提出了應(yīng)對(duì)策略，希冀對(duì)教師的教學(xué)實(shí)踐能有一定的指導(dǎo)價(jià)值，給考生的復(fù)習(xí)和高考帶來啟發(fā)和幫助。