湯文兵

分析法和綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的解題分析方法，是多少年教學(xué)實(shí)踐證明行之有效的解題術(shù).故在初中平幾教學(xué)中，“分析法”一直以它獨(dú)有的魅力折服著教師，傾倒著學(xué)生.老師碰到幾何必講“分析”，學(xué)生聽(tīng)到“分析”是既“喜愛(ài)”又“迷惑”.“喜愛(ài)”的是“分析法”確是好東西，應(yīng)用得當(dāng)，破關(guān)斬將、銳不可擋.“迷惑”的是，有些同學(xué)面對(duì)“分析法”這柄古老的利劍，看著老師用起來(lái)得心應(yīng)手，自己用起來(lái)卻往往是手忙腳亂，簡(jiǎn)單些的還好，稍為復(fù)雜一點(diǎn)的就不知如何下手，但別人略作提示，卻又馬到功成，對(duì)此可真謂“用之無(wú)策，棄之不甘”，用著樂(lè)著，用著煩著，痛苦并快樂(lè)著.筆者執(zhí)教過(guò)多年初中，個(gè)中滋味體會(huì)尤深.那么，為什么經(jīng)過(guò)兩年多的學(xué)習(xí)，有的學(xué)生還是沒(méi)有學(xué)會(huì)問(wèn)題的分析呢？是學(xué)生學(xué)得不認(rèn)真嗎？是教師強(qiáng)調(diào)不夠嗎？顯然這不是主要原因.筆者認(rèn)為，主要原因是教師沒(méi)有教給學(xué)生一個(gè)明確可行的分析途徑，簡(jiǎn)單有序的思維方法.

試想：對(duì)初中教材或教參中的大部分平幾習(xí)題，絕大多數(shù)老師是做了多遍，講了多回，也就是說(shuō)對(duì)“分析法”這套劍法，在講解例題前老師不知操練了多少遍，對(duì)之是熟之又熟.可對(duì)學(xué)生來(lái)講，大部分是第一次遇見(jiàn)，盡管老師講得頭頭是道，他們聽(tīng)著卻不一定津津有味.有的老師在分析問(wèn)題時(shí)沒(méi)有從學(xué)生的角度去想、去理解，而是根據(jù)自己對(duì)習(xí)題的認(rèn)識(shí)去編織解題脈絡(luò)，拔高了學(xué)生的思維，造成學(xué)生認(rèn)知上的脫節(jié)，對(duì)平幾學(xué)習(xí)失去信心.

平幾中的分析，就是仔細(xì)審閱已知條件及結(jié)論，尋求條件與結(jié)論間的聯(lián)系，聯(lián)想學(xué)過(guò)的概念、公理、性質(zhì)、判定方法等，找到從條件出發(fā)推得結(jié)論的途徑的一個(gè)思維過(guò)程.

具體分析一個(gè)問(wèn)題，各人有各人的思維方法.但不外從兩個(gè)方面去考慮：一是從已知出發(fā)，看看由每個(gè)條件能推出哪些結(jié)果（必需有充足的理由），再看把所得結(jié)果作為條件又能推出什么，……，如此下去，逐步向結(jié)論逼近.這一思維過(guò)程稱(chēng)為“從條件聯(lián)想”，可簡(jiǎn)記為“由已知，想可知，推末知”.二是由結(jié)論入手，考慮結(jié)論成立所需的條件，逐漸與已知或所學(xué)過(guò)的概念、公理、性質(zhì)、判定方法靠攏.這一思維過(guò)程稱(chēng)為“由結(jié)論分析”，可簡(jiǎn)記為“由結(jié)論，找需知，達(dá)已知”.

“從條件聯(lián)想”和“由結(jié)論分析”，便是分析的途徑.

“由已知，想可知，推末知”；“由結(jié)論，找需知，達(dá)已知”.便是分析的具體方法.

筆者在后來(lái)的教學(xué)中，嚴(yán)格按以上的分析途徑和方法訓(xùn)練學(xué)生，使學(xué)生分析問(wèn)題的途徑從無(wú)意變?yōu)橛幸?，方法從無(wú)序變?yōu)橛行?，收到了較好的教學(xué)效果.若從初一開(kāi)始便如此有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生，效果將更為明顯.

下面舉例說(shuō)明在解題中，如何按上述方法進(jìn)行思維分析.本著從基礎(chǔ)抓起，所舉例題均為初一內(nèi)容.

1.2 數(shù)學(xué)地位

第一比例式在教材中處于顯赫地位.“主演”了相似三角形的定義、判定和性質(zhì)總過(guò)程，“續(xù)演”了相似多邊形的周長(zhǎng)、面積以及對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之比與相似比系數(shù)k的關(guān)系，為學(xué)位似變換做了鋪墊；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“銳角三角函數(shù)”概念時(shí)，有“客串”角色：相似直角三角形“相等銳角的對(duì)邊與斜邊”比是定值，闡明建立正弦函數(shù)概念合理性.高中階段繼深化為：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，從初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)過(guò)程看，前者的地位高于后者.加之從初中所涉與相似有關(guān)問(wèn)題，大多限于兩個(gè)相似三角形之間展開(kāi)，這也是第二比例式被淡化受冷落的緣由.

1.3 空間視角

第一比例式注重的是兩個(gè)相似三角形邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系和度量關(guān)系，數(shù)學(xué)視角易固著于靜態(tài)的對(duì)應(yīng)型結(jié)構(gòu)，但能演繹與相似比系數(shù)k有關(guān)的諸多幾何意義.不足在于：“視野”狹隘，盯住的僅是兩個(gè)三角形，也易忽視自身三角形條件特性.遇復(fù)雜圖形時(shí)，數(shù)學(xué)視角靈活性較弱.只是發(fā)展到位似變換時(shí)，才顯出平面空間具有運(yùn)動(dòng)、動(dòng)態(tài)生成的變化；第二比例式顯示具相似關(guān)系的三角形，因它們的三邊比固定，看成同類(lèi)，特性化后優(yōu)點(diǎn)在于：能利用三角形自身?xiàng)l件參與到具體問(wèn)題分析中.尤其遇復(fù)雜圖形時(shí)，若有很多同類(lèi)相似三角形存在，則數(shù)學(xué)視角可靈活將特性“攜帶”其中，利于發(fā)現(xiàn)隱含其中的數(shù)量關(guān)系.弱點(diǎn)是不易覺(jué)識(shí)與相似比系數(shù)k有關(guān)幾何量，但采用變式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，則A′B′=λB′C′，為三角形自身邊的互換提供方便，也有它的獨(dú)到之處.

可見(jiàn)兩種比例式雖都立足于相似，但不同的數(shù)式形式對(duì)平面空間數(shù)學(xué)化的立意有別，在解具體問(wèn)題時(shí)，各有特色.

1.4 價(jià)值提升

兩種比例式對(duì)發(fā)展學(xué)生空間數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與視角多元化，以及優(yōu)化數(shù)形結(jié)合能力很有教益.在教學(xué)中，應(yīng)給予以下方面拓展與發(fā)揮：

（1）活用相似比系數(shù)k幾何意義，感悟它能使得解決問(wèn)題要建立數(shù)量的關(guān)系變得緊湊、簡(jiǎn)潔；（2）感悟巧用位似變換，能優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題關(guān)鍵；（3）補(bǔ)缺第二比例式教學(xué)，展示其獨(dú)到數(shù)學(xué)視角與解題功用；（4）展示兩種比例式用法各有其妙，體驗(yàn)“數(shù)”隨形“意”、“形”優(yōu)“數(shù)”精的數(shù)形結(jié)合思想，能引領(lǐng)我們解題求新創(chuàng)優(yōu)，觀點(diǎn)活才能方法優(yōu).2 舉例：“教”的點(diǎn)撥與“學(xué)”的感悟

問(wèn)題3 如圖3所示，以正方形的頂點(diǎn)A為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作弧BD，又以CD邊為直徑作半圓，兩弧交正方形內(nèi)點(diǎn)I，BI交CD于點(diǎn)P，求證︰PD=1︰2.

教師：兩個(gè)圓弧操控點(diǎn)I位置，決定︰PD比值，盯著兩個(gè)圓弧，我們發(fā)現(xiàn)不了什么.能否發(fā)現(xiàn)有意義的角？

生1：連接兩圓弧的圓心AO和兩弧公共弦ID.應(yīng)有AO⊥DI；再連接IC，因DC是⊙O的直徑，∠DIC=90°.

教師：直角△AOD有什么特性？

生1：AD=2DO，兩直角邊是1︰2的關(guān)系.

教師：作IS⊥DC，S為垂足.能發(fā)現(xiàn)與△AOD相似的三角形嗎？

生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它們兩直角邊是1︰2的特性，可明確點(diǎn)S位置.

教師：為便于計(jì)算分析，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5k……

生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.

教師：若點(diǎn)B看作位似中心，能否繞開(kāi)點(diǎn)P位置的未知性？去探究……

生3：過(guò)點(diǎn)I作TQ⊥BC，TQ與BD交于點(diǎn)T，點(diǎn)Q為垂足.點(diǎn)B看作位似中心，則有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.

感悟 遇復(fù)雜圖形，通過(guò)跟“線(xiàn)”盯“角”發(fā)現(xiàn)同類(lèi)相似三角形.跟“線(xiàn)”：跟蹤平行線(xiàn)、垂線(xiàn)和角平分線(xiàn)；盯“角”：發(fā)現(xiàn)直角、余角、補(bǔ)角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明確其中一個(gè)三角形邊比特性，第二比例式可能將這一特性“傳感”到解題的關(guān)鍵部位，問(wèn)渠哪得清如許，自有源頭活水來(lái).

2.4 看得巧——答案脫口出

問(wèn)題4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜邊AB上取一點(diǎn)N，

向兩直角邊作垂線(xiàn)段NP、NM，使得四邊形PCMN為正方形.看圖心算以下問(wèn)題：

（1）求正方形PCMN邊長(zhǎng)；

（2）若將正方形PCMN繞頂點(diǎn)C作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)成正方形P′CM′N(xiāo)′，當(dāng)M′M=1時(shí)，求線(xiàn)段N′N(xiāo)長(zhǎng).endprint

分析法和綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的解題分析方法，是多少年教學(xué)實(shí)踐證明行之有效的解題術(shù).故在初中平幾教學(xué)中，“分析法”一直以它獨(dú)有的魅力折服著教師，傾倒著學(xué)生.老師碰到幾何必講“分析”，學(xué)生聽(tīng)到“分析”是既“喜愛(ài)”又“迷惑”.“喜愛(ài)”的是“分析法”確是好東西，應(yīng)用得當(dāng)，破關(guān)斬將、銳不可擋.“迷惑”的是，有些同學(xué)面對(duì)“分析法”這柄古老的利劍，看著老師用起來(lái)得心應(yīng)手，自己用起來(lái)卻往往是手忙腳亂，簡(jiǎn)單些的還好，稍為復(fù)雜一點(diǎn)的就不知如何下手，但別人略作提示，卻又馬到功成，對(duì)此可真謂“用之無(wú)策，棄之不甘”，用著樂(lè)著，用著煩著，痛苦并快樂(lè)著.筆者執(zhí)教過(guò)多年初中，個(gè)中滋味體會(huì)尤深.那么，為什么經(jīng)過(guò)兩年多的學(xué)習(xí)，有的學(xué)生還是沒(méi)有學(xué)會(huì)問(wèn)題的分析呢？是學(xué)生學(xué)得不認(rèn)真嗎？是教師強(qiáng)調(diào)不夠嗎？顯然這不是主要原因.筆者認(rèn)為，主要原因是教師沒(méi)有教給學(xué)生一個(gè)明確可行的分析途徑，簡(jiǎn)單有序的思維方法.

試想：對(duì)初中教材或教參中的大部分平幾習(xí)題，絕大多數(shù)老師是做了多遍，講了多回，也就是說(shuō)對(duì)“分析法”這套劍法，在講解例題前老師不知操練了多少遍，對(duì)之是熟之又熟.可對(duì)學(xué)生來(lái)講，大部分是第一次遇見(jiàn)，盡管老師講得頭頭是道，他們聽(tīng)著卻不一定津津有味.有的老師在分析問(wèn)題時(shí)沒(méi)有從學(xué)生的角度去想、去理解，而是根據(jù)自己對(duì)習(xí)題的認(rèn)識(shí)去編織解題脈絡(luò)，拔高了學(xué)生的思維，造成學(xué)生認(rèn)知上的脫節(jié)，對(duì)平幾學(xué)習(xí)失去信心.

平幾中的分析，就是仔細(xì)審閱已知條件及結(jié)論，尋求條件與結(jié)論間的聯(lián)系，聯(lián)想學(xué)過(guò)的概念、公理、性質(zhì)、判定方法等，找到從條件出發(fā)推得結(jié)論的途徑的一個(gè)思維過(guò)程.

具體分析一個(gè)問(wèn)題，各人有各人的思維方法.但不外從兩個(gè)方面去考慮：一是從已知出發(fā)，看看由每個(gè)條件能推出哪些結(jié)果（必需有充足的理由），再看把所得結(jié)果作為條件又能推出什么，……，如此下去，逐步向結(jié)論逼近.這一思維過(guò)程稱(chēng)為“從條件聯(lián)想”，可簡(jiǎn)記為“由已知，想可知，推末知”.二是由結(jié)論入手，考慮結(jié)論成立所需的條件，逐漸與已知或所學(xué)過(guò)的概念、公理、性質(zhì)、判定方法靠攏.這一思維過(guò)程稱(chēng)為“由結(jié)論分析”，可簡(jiǎn)記為“由結(jié)論，找需知，達(dá)已知”.

“從條件聯(lián)想”和“由結(jié)論分析”，便是分析的途徑.

“由已知，想可知，推末知”；“由結(jié)論，找需知，達(dá)已知”.便是分析的具體方法.

筆者在后來(lái)的教學(xué)中，嚴(yán)格按以上的分析途徑和方法訓(xùn)練學(xué)生，使學(xué)生分析問(wèn)題的途徑從無(wú)意變?yōu)橛幸猓椒◤臒o(wú)序變?yōu)橛行?，收到了較好的教學(xué)效果.若從初一開(kāi)始便如此有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生，效果將更為明顯.

下面舉例說(shuō)明在解題中，如何按上述方法進(jìn)行思維分析.本著從基礎(chǔ)抓起，所舉例題均為初一內(nèi)容.

1.2 數(shù)學(xué)地位

第一比例式在教材中處于顯赫地位.“主演”了相似三角形的定義、判定和性質(zhì)總過(guò)程，“續(xù)演”了相似多邊形的周長(zhǎng)、面積以及對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之比與相似比系數(shù)k的關(guān)系，為學(xué)位似變換做了鋪墊；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“銳角三角函數(shù)”概念時(shí)，有“客串”角色：相似直角三角形“相等銳角的對(duì)邊與斜邊”比是定值，闡明建立正弦函數(shù)概念合理性.高中階段繼深化為：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，從初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)過(guò)程看，前者的地位高于后者.加之從初中所涉與相似有關(guān)問(wèn)題，大多限于兩個(gè)相似三角形之間展開(kāi)，這也是第二比例式被淡化受冷落的緣由.

1.3 空間視角

第一比例式注重的是兩個(gè)相似三角形邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系和度量關(guān)系，數(shù)學(xué)視角易固著于靜態(tài)的對(duì)應(yīng)型結(jié)構(gòu)，但能演繹與相似比系數(shù)k有關(guān)的諸多幾何意義.不足在于：“視野”狹隘，盯住的僅是兩個(gè)三角形，也易忽視自身三角形條件特性.遇復(fù)雜圖形時(shí)，數(shù)學(xué)視角靈活性較弱.只是發(fā)展到位似變換時(shí)，才顯出平面空間具有運(yùn)動(dòng)、動(dòng)態(tài)生成的變化；第二比例式顯示具相似關(guān)系的三角形，因它們的三邊比固定，看成同類(lèi)，特性化后優(yōu)點(diǎn)在于：能利用三角形自身?xiàng)l件參與到具體問(wèn)題分析中.尤其遇復(fù)雜圖形時(shí)，若有很多同類(lèi)相似三角形存在，則數(shù)學(xué)視角可靈活將特性“攜帶”其中，利于發(fā)現(xiàn)隱含其中的數(shù)量關(guān)系.弱點(diǎn)是不易覺(jué)識(shí)與相似比系數(shù)k有關(guān)幾何量，但采用變式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，則A′B′=λB′C′，為三角形自身邊的互換提供方便，也有它的獨(dú)到之處.

可見(jiàn)兩種比例式雖都立足于相似，但不同的數(shù)式形式對(duì)平面空間數(shù)學(xué)化的立意有別，在解具體問(wèn)題時(shí)，各有特色.

1.4 價(jià)值提升

兩種比例式對(duì)發(fā)展學(xué)生空間數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與視角多元化，以及優(yōu)化數(shù)形結(jié)合能力很有教益.在教學(xué)中，應(yīng)給予以下方面拓展與發(fā)揮：

（1）活用相似比系數(shù)k幾何意義，感悟它能使得解決問(wèn)題要建立數(shù)量的關(guān)系變得緊湊、簡(jiǎn)潔；（2）感悟巧用位似變換，能優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題關(guān)鍵；（3）補(bǔ)缺第二比例式教學(xué)，展示其獨(dú)到數(shù)學(xué)視角與解題功用；（4）展示兩種比例式用法各有其妙，體驗(yàn)“數(shù)”隨形“意”、“形”優(yōu)“數(shù)”精的數(shù)形結(jié)合思想，能引領(lǐng)我們解題求新創(chuàng)優(yōu)，觀點(diǎn)活才能方法優(yōu).2 舉例：“教”的點(diǎn)撥與“學(xué)”的感悟

問(wèn)題3 如圖3所示，以正方形的頂點(diǎn)A為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作弧BD，又以CD邊為直徑作半圓，兩弧交正方形內(nèi)點(diǎn)I，BI交CD于點(diǎn)P，求證︰PD=1︰2.

教師：兩個(gè)圓弧操控點(diǎn)I位置，決定︰PD比值，盯著兩個(gè)圓弧，我們發(fā)現(xiàn)不了什么.能否發(fā)現(xiàn)有意義的角？

生1：連接兩圓弧的圓心AO和兩弧公共弦ID.應(yīng)有AO⊥DI；再連接IC，因DC是⊙O的直徑，∠DIC=90°.

教師：直角△AOD有什么特性？

生1：AD=2DO，兩直角邊是1︰2的關(guān)系.

教師：作IS⊥DC，S為垂足.能發(fā)現(xiàn)與△AOD相似的三角形嗎？

生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它們兩直角邊是1︰2的特性，可明確點(diǎn)S位置.

教師：為便于計(jì)算分析，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5k……

生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.

教師：若點(diǎn)B看作位似中心，能否繞開(kāi)點(diǎn)P位置的未知性？去探究……

生3：過(guò)點(diǎn)I作TQ⊥BC，TQ與BD交于點(diǎn)T，點(diǎn)Q為垂足.點(diǎn)B看作位似中心，則有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.

感悟 遇復(fù)雜圖形，通過(guò)跟“線(xiàn)”盯“角”發(fā)現(xiàn)同類(lèi)相似三角形.跟“線(xiàn)”：跟蹤平行線(xiàn)、垂線(xiàn)和角平分線(xiàn)；盯“角”：發(fā)現(xiàn)直角、余角、補(bǔ)角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明確其中一個(gè)三角形邊比特性，第二比例式可能將這一特性“傳感”到解題的關(guān)鍵部位，問(wèn)渠哪得清如許，自有源頭活水來(lái).

2.4 看得巧——答案脫口出

問(wèn)題4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜邊AB上取一點(diǎn)N，

向兩直角邊作垂線(xiàn)段NP、NM，使得四邊形PCMN為正方形.看圖心算以下問(wèn)題：

（1）求正方形PCMN邊長(zhǎng)；

（2）若將正方形PCMN繞頂點(diǎn)C作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)成正方形P′CM′N(xiāo)′，當(dāng)M′M=1時(shí)，求線(xiàn)段N′N(xiāo)長(zhǎng).endprint

分析法和綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的解題分析方法，是多少年教學(xué)實(shí)踐證明行之有效的解題術(shù).故在初中平幾教學(xué)中，“分析法”一直以它獨(dú)有的魅力折服著教師，傾倒著學(xué)生.老師碰到幾何必講“分析”，學(xué)生聽(tīng)到“分析”是既“喜愛(ài)”又“迷惑”.“喜愛(ài)”的是“分析法”確是好東西，應(yīng)用得當(dāng)，破關(guān)斬將、銳不可擋.“迷惑”的是，有些同學(xué)面對(duì)“分析法”這柄古老的利劍，看著老師用起來(lái)得心應(yīng)手，自己用起來(lái)卻往往是手忙腳亂，簡(jiǎn)單些的還好，稍為復(fù)雜一點(diǎn)的就不知如何下手，但別人略作提示，卻又馬到功成，對(duì)此可真謂“用之無(wú)策，棄之不甘”，用著樂(lè)著，用著煩著，痛苦并快樂(lè)著.筆者執(zhí)教過(guò)多年初中，個(gè)中滋味體會(huì)尤深.那么，為什么經(jīng)過(guò)兩年多的學(xué)習(xí)，有的學(xué)生還是沒(méi)有學(xué)會(huì)問(wèn)題的分析呢？是學(xué)生學(xué)得不認(rèn)真嗎？是教師強(qiáng)調(diào)不夠嗎？顯然這不是主要原因.筆者認(rèn)為，主要原因是教師沒(méi)有教給學(xué)生一個(gè)明確可行的分析途徑，簡(jiǎn)單有序的思維方法.

試想：對(duì)初中教材或教參中的大部分平幾習(xí)題，絕大多數(shù)老師是做了多遍，講了多回，也就是說(shuō)對(duì)“分析法”這套劍法，在講解例題前老師不知操練了多少遍，對(duì)之是熟之又熟.可對(duì)學(xué)生來(lái)講，大部分是第一次遇見(jiàn)，盡管老師講得頭頭是道，他們聽(tīng)著卻不一定津津有味.有的老師在分析問(wèn)題時(shí)沒(méi)有從學(xué)生的角度去想、去理解，而是根據(jù)自己對(duì)習(xí)題的認(rèn)識(shí)去編織解題脈絡(luò)，拔高了學(xué)生的思維，造成學(xué)生認(rèn)知上的脫節(jié)，對(duì)平幾學(xué)習(xí)失去信心.

平幾中的分析，就是仔細(xì)審閱已知條件及結(jié)論，尋求條件與結(jié)論間的聯(lián)系，聯(lián)想學(xué)過(guò)的概念、公理、性質(zhì)、判定方法等，找到從條件出發(fā)推得結(jié)論的途徑的一個(gè)思維過(guò)程.

具體分析一個(gè)問(wèn)題，各人有各人的思維方法.但不外從兩個(gè)方面去考慮：一是從已知出發(fā)，看看由每個(gè)條件能推出哪些結(jié)果（必需有充足的理由），再看把所得結(jié)果作為條件又能推出什么，……，如此下去，逐步向結(jié)論逼近.這一思維過(guò)程稱(chēng)為“從條件聯(lián)想”，可簡(jiǎn)記為“由已知，想可知，推末知”.二是由結(jié)論入手，考慮結(jié)論成立所需的條件，逐漸與已知或所學(xué)過(guò)的概念、公理、性質(zhì)、判定方法靠攏.這一思維過(guò)程稱(chēng)為“由結(jié)論分析”，可簡(jiǎn)記為“由結(jié)論，找需知，達(dá)已知”.

“從條件聯(lián)想”和“由結(jié)論分析”，便是分析的途徑.

“由已知，想可知，推末知”；“由結(jié)論，找需知，達(dá)已知”.便是分析的具體方法.

筆者在后來(lái)的教學(xué)中，嚴(yán)格按以上的分析途徑和方法訓(xùn)練學(xué)生，使學(xué)生分析問(wèn)題的途徑從無(wú)意變?yōu)橛幸?，方法從無(wú)序變?yōu)橛行?，收到了較好的教學(xué)效果.若從初一開(kāi)始便如此有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生，效果將更為明顯.

下面舉例說(shuō)明在解題中，如何按上述方法進(jìn)行思維分析.本著從基礎(chǔ)抓起，所舉例題均為初一內(nèi)容.

1.2 數(shù)學(xué)地位

第一比例式在教材中處于顯赫地位.“主演”了相似三角形的定義、判定和性質(zhì)總過(guò)程，“續(xù)演”了相似多邊形的周長(zhǎng)、面積以及對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之比與相似比系數(shù)k的關(guān)系，為學(xué)位似變換做了鋪墊；第二比例式在教材中很少露面，只是在建立“銳角三角函數(shù)”概念時(shí)，有“客串”角色：相似直角三角形“相等銳角的對(duì)邊與斜邊”比是定值，闡明建立正弦函數(shù)概念合理性.高中階段繼深化為：AB︰BC︰CA=sinC︰sinA︰sinB（正弦定理）.因而，從初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)過(guò)程看，前者的地位高于后者.加之從初中所涉與相似有關(guān)問(wèn)題，大多限于兩個(gè)相似三角形之間展開(kāi)，這也是第二比例式被淡化受冷落的緣由.

1.3 空間視角

第一比例式注重的是兩個(gè)相似三角形邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系和度量關(guān)系，數(shù)學(xué)視角易固著于靜態(tài)的對(duì)應(yīng)型結(jié)構(gòu)，但能演繹與相似比系數(shù)k有關(guān)的諸多幾何意義.不足在于：“視野”狹隘，盯住的僅是兩個(gè)三角形，也易忽視自身三角形條件特性.遇復(fù)雜圖形時(shí)，數(shù)學(xué)視角靈活性較弱.只是發(fā)展到位似變換時(shí)，才顯出平面空間具有運(yùn)動(dòng)、動(dòng)態(tài)生成的變化；第二比例式顯示具相似關(guān)系的三角形，因它們的三邊比固定，看成同類(lèi)，特性化后優(yōu)點(diǎn)在于：能利用三角形自身?xiàng)l件參與到具體問(wèn)題分析中.尤其遇復(fù)雜圖形時(shí)，若有很多同類(lèi)相似三角形存在，則數(shù)學(xué)視角可靈活將特性“攜帶”其中，利于發(fā)現(xiàn)隱含其中的數(shù)量關(guān)系.弱點(diǎn)是不易覺(jué)識(shí)與相似比系數(shù)k有關(guān)幾何量，但采用變式形式：△ABC∽△A′B′C′若AB=λBC，則A′B′=λB′C′，為三角形自身邊的互換提供方便，也有它的獨(dú)到之處.

可見(jiàn)兩種比例式雖都立足于相似，但不同的數(shù)式形式對(duì)平面空間數(shù)學(xué)化的立意有別，在解具體問(wèn)題時(shí)，各有特色.

1.4 價(jià)值提升

兩種比例式對(duì)發(fā)展學(xué)生空間數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與視角多元化，以及優(yōu)化數(shù)形結(jié)合能力很有教益.在教學(xué)中，應(yīng)給予以下方面拓展與發(fā)揮：

（1）活用相似比系數(shù)k幾何意義，感悟它能使得解決問(wèn)題要建立數(shù)量的關(guān)系變得緊湊、簡(jiǎn)潔；（2）感悟巧用位似變換，能優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題關(guān)鍵；（3）補(bǔ)缺第二比例式教學(xué)，展示其獨(dú)到數(shù)學(xué)視角與解題功用；（4）展示兩種比例式用法各有其妙，體驗(yàn)“數(shù)”隨形“意”、“形”優(yōu)“數(shù)”精的數(shù)形結(jié)合思想，能引領(lǐng)我們解題求新創(chuàng)優(yōu)，觀點(diǎn)活才能方法優(yōu).2 舉例：“教”的點(diǎn)撥與“學(xué)”的感悟

問(wèn)題3 如圖3所示，以正方形的頂點(diǎn)A為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作弧BD，又以CD邊為直徑作半圓，兩弧交正方形內(nèi)點(diǎn)I，BI交CD于點(diǎn)P，求證︰PD=1︰2.

教師：兩個(gè)圓弧操控點(diǎn)I位置，決定︰PD比值，盯著兩個(gè)圓弧，我們發(fā)現(xiàn)不了什么.能否發(fā)現(xiàn)有意義的角？

生1：連接兩圓弧的圓心AO和兩弧公共弦ID.應(yīng)有AO⊥DI；再連接IC，因DC是⊙O的直徑，∠DIC=90°.

教師：直角△AOD有什么特性？

生1：AD=2DO，兩直角邊是1︰2的關(guān)系.

教師：作IS⊥DC，S為垂足.能發(fā)現(xiàn)與△AOD相似的三角形嗎？

生2：由∠DIC=90°和AO⊥DI，可推△AOD∽△DCI∽△ICS，利用它們兩直角邊是1︰2的特性，可明確點(diǎn)S位置.

教師：為便于計(jì)算分析，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為5k……

生2：可得DS=2IS=4SC，得到SC=k，IS=2k，DS=2IS=4k.

教師：若點(diǎn)B看作位似中心，能否繞開(kāi)點(diǎn)P位置的未知性？去探究……

生3：過(guò)點(diǎn)I作TQ⊥BC，TQ與BD交于點(diǎn)T，點(diǎn)Q為垂足.點(diǎn)B看作位似中心，則有CP︰PD=IQ︰TI，注意到TQ=BQ=3k，TI=3k-k=2k，很快得出CP︰PD=k︰2k=1︰2.

感悟 遇復(fù)雜圖形，通過(guò)跟“線(xiàn)”盯“角”發(fā)現(xiàn)同類(lèi)相似三角形.跟“線(xiàn)”：跟蹤平行線(xiàn)、垂線(xiàn)和角平分線(xiàn)；盯“角”：發(fā)現(xiàn)直角、余角、補(bǔ)角、等角，以及30°、45°、60°特殊角.只要在“相似串”中，明確其中一個(gè)三角形邊比特性，第二比例式可能將這一特性“傳感”到解題的關(guān)鍵部位，問(wèn)渠哪得清如許，自有源頭活水來(lái).

2.4 看得巧——答案脫口出

問(wèn)題4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2CA=6.在斜邊AB上取一點(diǎn)N，

向兩直角邊作垂線(xiàn)段NP、NM，使得四邊形PCMN為正方形.看圖心算以下問(wèn)題：

（1）求正方形PCMN邊長(zhǎng)；

（2）若將正方形PCMN繞頂點(diǎn)C作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)成正方形P′CM′N(xiāo)′，當(dāng)M′M=1時(shí)，求線(xiàn)段N′N(xiāo)長(zhǎng).endprint