徐健旭

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2014年第6期刊載了黃棟老師《線段旋轉(zhuǎn)的面積問(wèn)題》一文，以下簡(jiǎn)稱文[1]，討論了線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所掃過(guò)的圖形的面積問(wèn)題，通讀文章后筆者覺(jué)得作者對(duì)于“旋轉(zhuǎn)中心在線段外”的情況的討論在圖形和解題策略方面似乎存在一些疏漏，值得商榷.現(xiàn)將對(duì)該問(wèn)題的商榷與探討梳理成文，以期與各位同仁進(jìn)行探討、交流.1 問(wèn)題的簡(jiǎn)要回顧

文[1]將一條線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題分三類：第一類，旋轉(zhuǎn)中心為線段端點(diǎn)；第二類，旋轉(zhuǎn)中心在線段上；第三類，旋轉(zhuǎn)中心在線段外.其中，第三類又可以分為以下兩類：第一類，到旋轉(zhuǎn)中心最近的點(diǎn)為該線段的一個(gè)端點(diǎn)；第二類，到旋轉(zhuǎn)中心最近的點(diǎn)不是線段的端點(diǎn).對(duì)于最后一種情況的討論作者認(rèn)為應(yīng)分以下幾種情形，如圖1，2，3，4.

文[1]中給出的求圖1、圖5中的線段掃過(guò)部分面積的方法都需要借助于求一個(gè)非常規(guī)圖形（見(jiàn)圖6中的空白區(qū)域B′DE）.筆者考慮這一圖形對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)太過(guò)生疏、突兀，因此教學(xué)意義與實(shí)用性都不大，故退而求其次地去考察與其能夠組成一對(duì)對(duì)頂角的另一非常規(guī)圖形（見(jiàn)圖6中的陰影區(qū)域CEE′）.事實(shí)上，這個(gè)圖形學(xué)生并不感到陌生，能被大多數(shù)初三學(xué)生迅速識(shí)別和掌握，甚至可以說(shuō)有種天然的親近感.如圖8，易見(jiàn)這是個(gè)特殊的箏形，說(shuō)其特殊就在于它有兩個(gè)直角.我們對(duì)圖8進(jìn)一步聯(lián)想開(kāi)去，那么估計(jì)大多學(xué)生很快會(huì)想到PD與PD′是過(guò)圓外一點(diǎn)P所作的兩條切線；反之，OD與OD′也是⊙P的兩條切線；連接PO后還可能會(huì)想起角平分線定理及逆定理，連接DD′后成為兩個(gè)等腰三角形等等大量豐富的幾何元素.

筆者以為關(guān)于這樣的基本圖形還有許多，說(shuō)一千道一萬(wàn)，我們還是要在平時(shí)教學(xué)中抓住那些基本圖形的一圖多法、一圖多題、一圖多用的教學(xué)，使學(xué)生懂得這些基本圖形就猶如那一張張藏寶圖一樣，能夠引領(lǐng)我們?nèi)ジ玫陌l(fā)掘出幾何花園中的珍寶.

參考文獻(xiàn)

[1]黃棟.線段旋轉(zhuǎn)的面積問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014，（6）：49-50.