張安軍

綜觀2014年全國(guó)中考試題的壓軸題，有兩類試題傾向比較明顯，一類是以函數(shù)圖象為背景的綜合題，另一類是以幾何圖形為背景，在動(dòng)態(tài)中尋找其規(guī)律的綜合題.臺(tái)州卷壓軸題是純粹的幾何探究題，給人以耳目一新的感覺(jué)，新定義“等角六邊形”圖形美觀而簡(jiǎn)約，性質(zhì)內(nèi)蘊(yùn)豐富而生動(dòng)，最特殊“等角六邊形”就是正六邊形；正六邊形常見于日常生活的地板的鑲嵌、美麗的雪花，等角六邊形雖不常見，但也能找到她美麗的身影，如波蘿表面中等角六邊形的鑲嵌；等角六邊形和正六邊形的關(guān)系又如平行四邊形和正方形，對(duì)等角六邊形的性質(zhì)和判定的探索，類比于已學(xué)過(guò)的平行四邊形，試題貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生的體驗(yàn)和理解、思考與探索.

題目 研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質(zhì)和判定.

定義：六個(gè)內(nèi)角相等的六邊形叫等角六邊形.

（1）研究性質(zhì)

①如圖1，等角六邊形ABCDEF中，三組正對(duì)邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.

②如圖2，等角六邊形ABCDEF中，如果有AB=DE，則其余兩組正對(duì)邊BC與EF，CD與AF相等嗎？證明你的結(jié)論.

③如圖3，等角六邊形ABCDEF中，如果三條正對(duì)角線AD，BE，CF相交于一點(diǎn)O，那么三組正對(duì)邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.

（2）探索判定

三組正對(duì)邊分別平行的六邊形，至少需要幾個(gè)內(nèi)角為120°，才能保證該六邊形一定是等角六邊形.

1.2 情境熟悉，層次分明

課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，本題構(gòu)思方式體現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)的歷程，學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程和考試在邏輯思維上，是內(nèi)在一致性、連貫性.這就給學(xué)生以似曾相識(shí)的感覺(jué)，容易使學(xué)生進(jìn)入狀態(tài).命題者不是在三角形和四邊形中尋找圖形，而是另辟蹊徑，創(chuàng)設(shè)了新穎的等角六邊形，最特殊的等角六邊形是正六邊形，常見于地面的鋪設(shè)，漂亮的圖形采取新定義的方法來(lái)考察，學(xué)生根據(jù)新定義的理解，在此基礎(chǔ)上對(duì)等角六邊形的性質(zhì)和判定的探索，考查了學(xué)生自己閱讀材料獲取新知識(shí)，學(xué)習(xí)理解新知識(shí)和應(yīng)用新知識(shí)的能力，體現(xiàn)中考學(xué)業(yè)考試的公平性.

其次考查層次分明，第①小題是研究?jī)删€的平行，實(shí)際上通過(guò)證明角的數(shù)量關(guān)系來(lái)證明線的位置關(guān)系；第②小題是探討線段相等，是在第①小題的結(jié)論基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究線段的數(shù)量關(guān)系，第③小題也是證明線段相等，但證明思路的確非常獨(dú)特，可以說(shuō)①、②小題是對(duì)常規(guī)角相等和線段相等證明的一個(gè)歸納和總結(jié)；但③小題卻考察了學(xué)生思維的靈活性和深刻性，證明線段相等來(lái)了一個(gè)轉(zhuǎn)折，通過(guò)相似方法，比例旋轉(zhuǎn)一周得到線段相等、這樣證明方法新穎，美妙；學(xué)生解題的過(guò)程既是探索的過(guò)程，也是體驗(yàn)美的過(guò)程.最后一小題設(shè)置開放題，考察了學(xué)生自己提出問(wèn)題的能力，試題由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，體現(xiàn)了不同水平的學(xué)生得到不同的發(fā)展，較好地考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力.

1.3 內(nèi)蘊(yùn)豐富，立意深遠(yuǎn)

第①小題是兩線的平行，涉及到知識(shí)點(diǎn)是同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行的判定和平行線的傳遞性，證明角的數(shù)量關(guān)系還用到三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和、外角和等；第②小題的證明線段相等，考察到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)；第③小題也是證明線段相等，考察到知識(shí)點(diǎn)是相似三角形，以及線段之比等.第2題結(jié)論開放，主要考察綜合靈活運(yùn)用上述的知識(shí)的能力.本大題中共有四問(wèn)題，覆蓋初中幾何圖形大部分知識(shí)點(diǎn)，而且這些知識(shí)點(diǎn)，例如全等三角形、平行四邊形和相似三角形是初中幾何圖形中的核心知識(shí)，這些核心知識(shí)點(diǎn)的考察用一條學(xué)習(xí)幾何圖形主線去串聯(lián)，整體性強(qiáng)，同時(shí)各小題之間有較好的粘連性，前后內(nèi)在一致體現(xiàn)了學(xué)業(yè)考試良好的信度和效度.

壓軸題設(shè)計(jì)在思路上創(chuàng)設(shè)一個(gè)新定義的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷從定義出發(fā)，直觀感知、操作猜想到最后嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笞C，從新定義出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過(guò)的公理和定理去加以證明，較好體現(xiàn)學(xué)習(xí)幾何學(xué)的本質(zhì)性的東西.早在2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德運(yùn)用亞里士多德的三段論，把散亂的幾何知識(shí)串聯(lián)成一個(gè)幾何體系，從定義出發(fā)，根據(jù)公理和公設(shè)用演繹的方法構(gòu)造完美的幾何大廈.本題的命題者穿越時(shí)空，感受《幾何原本》的思想精髓，把初中的幾何圖形的知識(shí)濃縮了一個(gè)小“公理化”體系，讓學(xué)生感受幾何學(xué)的整個(gè)思維過(guò)程.2 試題的后續(xù)研究

為了進(jìn)一步探討對(duì)等角六邊形的性質(zhì)，可以采取減弱或加強(qiáng)等角六邊形的的條件，例如對(duì)等角六邊形加強(qiáng)條件，就得到第②小題的命題，其實(shí)在等角六邊形中，不需要加強(qiáng)條件，通過(guò)挖掘，這個(gè)美麗圖形本身還蘊(yùn)含如下漂亮的性質(zhì)：

2.1 等角六邊形任意兩組正對(duì)邊之和相等