李迎峰，楊家軍，廖雯俊，朱繼生

（1華中科技大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，湖北 武漢430074；2山東博特精工股份有限公司，山東 濟(jì)寧272071）

作為一種新型的直線傳動(dòng)單元，行星滾柱絲杠副相比滾珠絲杠傳動(dòng)來說具有承載能力強(qiáng)、摩擦系數(shù)小、剛性高，結(jié)構(gòu)緊湊，磨損小，壽命長(zhǎng)，速度快，安裝及維護(hù)方便的特點(diǎn)。目前，國(guó)內(nèi)對(duì)行星滾柱絲杠副研究的比較少，且研究主要集中在行星滾柱絲杠副的均載特性、平穩(wěn)性、剛度、預(yù)緊力、軸向彈性變形、行星齒輪優(yōu)化等方面［1－6］。本文將從行星滾柱絲杠副正傳動(dòng)效率角度著手進(jìn)行分析，找出其與螺旋升角和接觸角的關(guān)系曲線，并對(duì)螺旋升角和接觸角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)［7］，得出最優(yōu)值。

1 行星滾柱絲杠副數(shù)學(xué)模型

行星滾柱絲杠副主要由滾柱、絲杠、螺母、齒輪、支撐環(huán)組（圖1）［8］。

圖1 行星滾柱絲杠副的三維模型

絲杠與滾柱之間的接觸點(diǎn)沿著絲杠的螺旋面上，接觸軌跡為螺旋線。在本文分析的接觸點(diǎn)全部位于螺旋軌跡線上。由于滾柱絲杠副特殊的結(jié)構(gòu)，滾柱與絲杠和螺母之間都有多個(gè)接觸點(diǎn)，并且螺母與滾柱接觸點(diǎn)位置坐標(biāo)和絲杠與滾柱接觸點(diǎn)位置坐標(biāo)表示方法很相似（圖2）。

圖2 滾柱絲杠副接觸點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系和Frenet標(biāo)架中的位置示意圖

為了便于滾柱絲杠副接觸點(diǎn)位置關(guān)系的建立，設(shè)笛卡爾坐標(biāo)系xyz，及相對(duì)應(yīng)的矢量坐標(biāo)為i，j，k，其z軸與絲杠軸線重合（圖1）。建立以絲杠軸線用單位向量t，n和b表示的Frenet標(biāo)架為參考系［9］，建立接觸點(diǎn)位置方程。

為了方便推導(dǎo)，進(jìn)行如下符號(hào)定義：r表示接觸點(diǎn)的螺旋半徑；λ表示接觸點(diǎn)的螺旋角度；l表示螺距；下標(biāo)S，N，R，分別代表絲杠，滾柱和螺母。設(shè)接觸點(diǎn)軌跡線上任意一點(diǎn)所在的角度位置為θk，則接觸點(diǎn)的位置矢量

此外，螺旋角、螺旋半徑和螺距之間的關(guān)系為

Frenet坐標(biāo)系中的單位矢量可用笛卡爾坐標(biāo)系表示為

笛卡爾坐標(biāo)系與Frenet標(biāo)架之間的轉(zhuǎn)換可以表示為

因此，接觸點(diǎn)的位置向量可以用Frenet標(biāo)架表示為

如圖3所示，給出了絲杠與滾柱之間接觸點(diǎn)的位置關(guān)系，接觸點(diǎn)位于由單位法線向量n和單位法線向量b組成的法線平面上。

圖3 滾柱在nb平面上的接觸點(diǎn)受力分析

由滾柱絲杠幾何關(guān)系可知，絲杠和螺母上螺旋線的螺距是相等的，即lS＝lN；滾柱和螺母上螺旋升角也相等，即λN＝λR，絲杠副的螺旋半徑關(guān)系為rN＝rS＋2rR。螺母和滾柱的螺距與螺旋半徑之間的關(guān)系分別為lN＝2πrNtanλN和lR＝2πrRtanλR，則絲杠副中螺旋升角和螺距之間的關(guān)系可以表示為

因此，對(duì)于同一個(gè)的螺距比值，可以有多組不同的螺距值。滾柱為單頭數(shù)，如果絲杠的頭數(shù)為5或者6，則螺距比值lS／lR為5或者6，螺旋半徑的比值rS／rN為3或者4。滾柱等距的排在絲杠周圍，在實(shí)際中滾柱一般為9～13個(gè)，相鄰兩個(gè)滾柱之間的夾角為2π／9－2π／13，則相鄰兩個(gè)滾柱與絲杠的接觸點(diǎn)軌跡相對(duì)關(guān)系可以用一個(gè)相位角的函數(shù)進(jìn)行描述。

2 行星滾柱絲杠副傳動(dòng)效率分析

效率η為輸入功率與輸出功率的比值，可以表示為

式中：Fa為螺母所受軸向力；M為絲杠驅(qū)動(dòng)力矩；θS為絲杠旋轉(zhuǎn)角度；L為絲杠導(dǎo)程。

在不考慮摩擦力的情況下，可得

聯(lián)合式（2）、（9）－（11）可得：η＝1。

在實(shí)際情況中，摩擦力是存在的，而且對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生著重要影響，使效率小于1，由行星滾柱絲杠為螺旋結(jié)構(gòu)，其摩擦角的表達(dá)式可表示為

式中：ρ為當(dāng)量摩擦角；fr為滾動(dòng)摩擦系數(shù)；rRP為當(dāng)量滾珠半徑。

加入當(dāng)量摩擦角可得，相應(yīng)的接觸點(diǎn)法向向量

相應(yīng)的接觸點(diǎn)切向向量

因此，作用在接觸點(diǎn)的軸向力由法向力FaN和摩擦力Faf在軸向的投影組成，分別為：

式中，fk為庫(kù)侖動(dòng)摩擦系數(shù)。

因此，考慮滾動(dòng)阻力和滑動(dòng)摩擦力，可得軸向力Fa＝FaN＋Faf，即

因此，綜合（9）、（11）和（17），考慮存在滾動(dòng)阻力和Z方向滑動(dòng)情況下的效率

當(dāng)取fr＝1×10－5 m，fk＝0.055，rS＝0.05 m時(shí)，采用 Matlab進(jìn)行計(jì)算［10］，可得到如圖4所示的效率與螺旋升角和接觸角之間的變化關(guān)系。

圖4 接觸角β和螺旋升角λ與效率η的關(guān)系圖

從如圖5可知，絲杠的螺旋升角及接觸角對(duì)行星滾柱絲杠副的效率有著較大影響。

3 傳遞效率的影響因數(shù)分析

以傳動(dòng)效率作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)螺旋升角和接觸角分別進(jìn)行定量定性分析，來找出其對(duì)行星滾柱絲杠副傳遞效率的影響曲線。

3.1 螺旋升角對(duì)傳動(dòng)效率的影響

從圖5中可知，當(dāng)螺旋升角在10°以內(nèi)時(shí)，效率值隨螺旋升角的增大而顯著提高。同時(shí)，效率值隨接觸角的增大而更加穩(wěn)定，這是由于當(dāng)螺旋升角較小時(shí)，滾珠絲杠副的反向間隙變小，從而傳動(dòng)效率較高；而當(dāng)螺旋升角過大時(shí)，摩擦力也隨之增大，從而致使傳動(dòng)效率降低。故，螺旋升角λ一般選擇在5°左右。

圖5 螺旋升角λ與效率的關(guān)系圖

3.2 接觸角對(duì)傳動(dòng)效率的影響

從如圖6可知，行星滾柱絲杠副的傳動(dòng)效率隨接觸角的增大而提高，最后趨于平穩(wěn)。當(dāng)λ＝2.5時(shí)，效率接近穩(wěn)定值時(shí)，接觸角β在60°左右。同時(shí)，在一定范圍內(nèi)隨著隨著螺旋升角λ的增大，其趨于穩(wěn)定值得接觸角β越小。因此，一般行星滾柱絲杠副的接觸角選為45°左右。

圖6 接觸角β與效率η的關(guān)系圖

4 結(jié)論

1）對(duì)行星滾柱絲杠副受力特點(diǎn)進(jìn)行分析，推導(dǎo)出來了行星滾柱絲杠副的正傳動(dòng)效率，并繪制了效率曲線，得出螺旋升角和接觸角對(duì)傳動(dòng)效率的影響情況。

2）在10°范圍內(nèi)，隨著螺旋升角λ的增大，傳動(dòng)效率明顯提高，得出了螺旋升角λ最優(yōu)值為5°；隨著接觸角β的增大，傳動(dòng)效率顯著提高，接觸角β在60°左右時(shí)，傳動(dòng)效率趨于穩(wěn)定，最終通過曲線的分析得出β在45°為最佳值。通過分析接觸角和螺旋升角對(duì)行星滾柱絲杠副傳遞效率的分析，得到了最優(yōu)值。

［1］楊保哲.行星滾柱絲杠副均載特性及平穩(wěn)性的分析與研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)圖書館，2012.

［2］韋振興.行星滾珠絲杠副剛度及效率的分析與研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)圖書館，2011.

［3］韋振興，楊家軍.行星滾柱絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2011，35（06）：44－47

［4］馬尚君，劉 更.行星滾柱絲杠副軸向彈性變形的有限元分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2012，36（07）：78－98.

［5］楊家軍，楊保哲.預(yù)緊力對(duì)行星滾柱絲杠副軸向變形及摩擦的影響［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2011，35（12）：16－22.

［6］ 靳謙忠，楊家軍.滾珠絲杠副和行星式滾柱絲杠副靜剛度的比較研究［J］.機(jī)械科學(xué)技術(shù)，1999，18（02）：230－232.

［7］孫靖民，梁迎春，陳時(shí)錦.機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004：199－201.

［8］Plerre C Lemor.The roller screw，an efficient and reliable mechanical co mponent of electro－mechanical actuators［J］.Energy Conversion Engineering Conference，1996，1（08）：215－220.

［9］Kreyszig E.Advanced Engineering Mathematics［M］.New Yor k：Wiley，1983.

［10］陳 杰.Matlab寶典［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006：224－364.