洪其強

一、考點歸納

1. 命題

（1）用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.判斷為真的為真命題，判斷為假的為假命題.

（2）把一個命題表達為“若p，則q”的形式，則p叫做命題的條件，q叫做命題的結論.

2. 四種命題

（1）如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個叫做原命題的逆命題.

（2）如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，其中一個叫做另一個的否命題.

（3）如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題.把其中一個叫做原命題，則另一個叫做原命題的逆否命題.

一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用劭p和劭q分別表示p和q的否定.于是四種命題的形式及關系為：

互為逆否的命題等價（同真同假），互逆（或互否）的兩個命題的真假性沒有關系.

“若p，則q”形式的命題為真命題時，記作“p圯q”.

3. 若p圯q，則p叫做q的充分條件；q叫做p的必要條件；如果p圳q，則p叫做q的充要條件.

4. 判斷充要條件的方法：（1）定義法；（2）逆否法；（3）集合法.

逆否法：若劭A圯劭B，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；若劭A圳劭B，則A與B互為充要條件.

集合法：從集合觀點看，建立與命題p、q相應的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}，那么：若A哿B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.

二、題型解析

題型1. 四種命題及其關系

例1. 判斷命題“若a≥0，則x2+x-a=0有實根”的逆否命題的真假.

分析：先寫出逆否命題，再判斷真假或利用原命題與其逆否命題同真假的關系等方法解決.

解析：解法1：寫出逆否命題，再判斷其真假.

原命題：若a≥0，則x2+x-a=0有實根，

逆否命題：若x2+x-a=0無實根，則a<0，

判斷如下：

∵ x2+x-a=0無實根，

∴ △=1+4a<0，∴ a<-<0，

∴“若x2+x-a=0無實根，則a<0”為真命題.

解法2：利用命題之間的關系：原命題與逆否命題同真同假（即等價關系）證明.

∵ a≥0，∴ 4a≥0，∴ 4a+1>0，

∴方程x2+x-a=0的判別式△=4a+1>0，

∴方程x2+x-a=0有實根，

故原命題“若a≥0，則x2+x-a=0有實根”為真.

又因原命題與其逆否命題等價，

所以“若a≥0，則x2+x-a=0有實根”的逆否命題為真.

例2. 下列四個說法：①一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；②“a>b”與“a+c>b+c”不等價；③“a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2+b2≠0”；④一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真. 其中說法不正確的序號是 .

分析：①逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關系，故①錯誤；

②由不等式的性質可知“a>b”與“a+c>b+c”等價，故②錯誤；

③“a2+b2=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0，則a2+b2≠0”，故③錯誤；

④否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性一致，故④正確.

答案：①②③.

點評：（1）對于命題真假的判定，關鍵是分清命題的條件與結論，只有將條件與結論分清，再結合所涉及的知識才能正確地判斷命題的真假.（2）掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價性，當一個命題直接判斷真假性不容易進行時，可以轉而判斷其逆否命題的真假.

例3. 命題“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是 .

分析：原命題的否命題是既否定題設又否定結論，故“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是“若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)”.

答案：若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù).

點評：1. 命題真假的判定：對于命題真假的判定，關鍵是分清命題的條件與結論，只有將條件與結論分清，再結合所涉及的知識才能正確地判斷命題的真假.

2. 掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價性，當一個命題直接判斷真假性不容易進行時，可以轉而判斷其逆否命題的真假.

題型2. 充分條件與必要條件的判斷

例4. “a=b”是“直線y=x+2與圓（x+a）2+（y+b）2=2相切”的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件

分析：若a=b則=，故相切；若=，則a=b或a-b-4=0，故選A.

答案：A

點評：要注意區(qū)分“A是B的充分條件”和“A是B的充分非必要條件”，若A圯B，則A是B的充分條件，若A圯B且BA，則A是B的充分非必要條件.

例5. 命題甲：“a、b、c成等差數(shù)列”， 命題乙：“+=2”，則甲是乙的（ ）

A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件endprint

解析：∵ a=b=c=0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出+=2；反過來由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差數(shù)列.

綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“+=2”的必要不充分條件，故選A.

答案：A

點評：①若A是B的充要條件，則既有A圯B，又有B圯A.②充要條件判斷中要特別注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，直線方程中的斜率存在與不存在，等比數(shù)列中q=1與q≠1等等，注意各個定義、定理公式的限制條件.

例5. （1）設x∈R，則“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 則⊥的充要條件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集為{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故選A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

點評：充分條件、必要條件、充要條件的判定：

（1）定義法：①分清條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論；②找推式：判斷“p圯q”及“q圯p”的真假；③下結論：根據(jù)推式及定義下結論.

（2）等價轉化法：條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷.

題型3. 充分條件與必要條件的應用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要條件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

點評：（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式求解.

（2）注意利用轉化的方法理解充分必要條件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）條件，則p是q的必要不充分（充分不必要、充要）條件.

題型4. 反證法

例7. 已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結論.

（2）寫出其逆否命題，并證明你的結論.

分析：

解析：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0.它是成立的. 可用反證法證明它.

假設a+b<0，則a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命題為真.

（2）逆否命題是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，則a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上遞增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，則a=-b， b=-a，由函數(shù)的定義知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

綜上所述，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

點評：在本題（2）的證明過程中，既用到了函數(shù)的單調性，又用到了函數(shù)的定義.

例8. 求證：關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均為常數(shù)）至多有兩個不等實數(shù)根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等詞語的數(shù)學命題，常用反證法.

證明：假設方程ax2+bx+c=0至少有三個不等實數(shù)根分別為x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假設不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個不等實數(shù)根.

點評：1. 四種命題的真假判斷：寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

2. 用集合的觀點來看充要條件：

設集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，則有：

（1）若A哿B，則p是q的充分條件，若A芫B，則p是q的充分不必要條件；

（2）若B哿A，則p是q的必要條件，若B芫A，則p是q的必要不充分條件；

（3）若A=B，則p是q的充要條件；

（4）若A芫B，且B芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、注意事項

1. 否命題與命題的否定是兩個易混的問題，要注意其區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞.

2. 原命題圯它的逆否命題，（原命題的否命題圳原命題的逆命題）因此，判斷四種命題的真假時，可只判斷其中的兩個；當一個問題的真假不易判斷時，可通過判斷此命題的逆否命題解決問題.

3. 若p圳q，則p是q的充分條件，同時q也是p的必要條件；若p圳q，則p與q互為充要條件，應理解充分條件、必要條件、充要條件的形式化定義，整理出命題的“條件”與“結論”，畫出“圯”圖是解決“充分條件與必要條件”問題的一種好的方法，注意運用.對論證充要條件題要分清“充分性”與“必要性”，然后分別作出相應的證明.但要判斷兩個涉及具體內容的命題p與q之間的關系，掌握涉及的具體數(shù)學知識是關鍵.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅

解析：∵ a=b=c=0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出+=2；反過來由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差數(shù)列.

綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“+=2”的必要不充分條件，故選A.

答案：A

點評：①若A是B的充要條件，則既有A圯B，又有B圯A.②充要條件判斷中要特別注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，直線方程中的斜率存在與不存在，等比數(shù)列中q=1與q≠1等等，注意各個定義、定理公式的限制條件.

例5. （1）設x∈R，則“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 則⊥的充要條件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集為{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故選A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

點評：充分條件、必要條件、充要條件的判定：

（1）定義法：①分清條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論；②找推式：判斷“p圯q”及“q圯p”的真假；③下結論：根據(jù)推式及定義下結論.

（2）等價轉化法：條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷.

題型3. 充分條件與必要條件的應用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要條件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

點評：（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式求解.

（2）注意利用轉化的方法理解充分必要條件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）條件，則p是q的必要不充分（充分不必要、充要）條件.

題型4. 反證法

例7. 已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結論.

（2）寫出其逆否命題，并證明你的結論.

分析：

解析：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0.它是成立的. 可用反證法證明它.

假設a+b<0，則a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命題為真.

（2）逆否命題是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，則a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上遞增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，則a=-b， b=-a，由函數(shù)的定義知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

綜上所述，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

點評：在本題（2）的證明過程中，既用到了函數(shù)的單調性，又用到了函數(shù)的定義.

例8. 求證：關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均為常數(shù)）至多有兩個不等實數(shù)根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等詞語的數(shù)學命題，常用反證法.

證明：假設方程ax2+bx+c=0至少有三個不等實數(shù)根分別為x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假設不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個不等實數(shù)根.

點評：1. 四種命題的真假判斷：寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

2. 用集合的觀點來看充要條件：

設集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，則有：

（1）若A哿B，則p是q的充分條件，若A芫B，則p是q的充分不必要條件；

（2）若B哿A，則p是q的必要條件，若B芫A，則p是q的必要不充分條件；

（3）若A=B，則p是q的充要條件；

（4）若A芫B，且B芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、注意事項

1. 否命題與命題的否定是兩個易混的問題，要注意其區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞.

2. 原命題圯它的逆否命題，（原命題的否命題圳原命題的逆命題）因此，判斷四種命題的真假時，可只判斷其中的兩個；當一個問題的真假不易判斷時，可通過判斷此命題的逆否命題解決問題.

3. 若p圳q，則p是q的充分條件，同時q也是p的必要條件；若p圳q，則p與q互為充要條件，應理解充分條件、必要條件、充要條件的形式化定義，整理出命題的“條件”與“結論”，畫出“圯”圖是解決“充分條件與必要條件”問題的一種好的方法，注意運用.對論證充要條件題要分清“充分性”與“必要性”，然后分別作出相應的證明.但要判斷兩個涉及具體內容的命題p與q之間的關系，掌握涉及的具體數(shù)學知識是關鍵.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅

解析：∵ a=b=c=0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出+=2；反過來由+=2圯a+c=2b，即a、b、c成等差數(shù)列.

綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“+=2”的必要不充分條件，故選A.

答案：A

點評：①若A是B的充要條件，則既有A圯B，又有B圯A.②充要條件判斷中要特別注意其特殊情形. 如分母，偶次方根，對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，直線方程中的斜率存在與不存在，等比數(shù)列中q=1與q≠1等等，注意各個定義、定理公式的限制條件.

例5. （1）設x∈R，則“x>”是“2x2+x-1>0”的 （ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

（2）已知向量=（x-1， 2）， =（2，1）， 則⊥的充要條件是（ ）

A. x=- B. x=-1 C. x=5 D. x=0

分析：（1）不等式2x2+x-1>0的解集為{x|x>或x<-1}，故由x>圯2x2+x-1>0，但2x2+x-1>0x>，故選A.

（2）∵ =（x-1， 2）， =（2，1），∴ ·=2（x-1）+2×1=2x.又⊥圳·=0，∴ 2x=0，∴ x=0.

答案：（1）A；（2）D.

點評：充分條件、必要條件、充要條件的判定：

（1）定義法：①分清條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論；②找推式：判斷“p圯q”及“q圯p”的真假；③下結論：根據(jù)推式及定義下結論.

（2）等價轉化法：條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷.

題型3. 充分條件與必要條件的應用

例6. 已知p：≤x≤1，q：（x-a）（x-a-1）>0，若p是劭q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是 .

分析：劭q：（x-a）（x-a-1）≤0圯a≤x≤a+1.

由p是劭q的充分不必要條件知：a≤且a+1≥1圯0≤a≤.

答案：[0，].

點評：（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式求解.

（2）注意利用轉化的方法理解充分必要條件：若劭p是劭q的充分不必要（必要不充分、充要）條件，則p是q的必要不充分（充分不必要、充要）條件.

題型4. 反證法

例7. 已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結論.

（2）寫出其逆否命題，并證明你的結論.

分析：

解析：（1）逆命題是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0.它是成立的. 可用反證法證明它.

假設a+b<0，則a<-b，b<-a. ∵ f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（a）

∴ f（a）+f（b）

∴逆命題為真.

（2）逆否命題是：若f（a）+f（b）

∵ a+b≥0.

①若a+b>0，則a>-b，b>-a，由f（x）在（-∞，+∞）上遞增，∴ f（a）>f（-b），且f（b）>f（-a），因此f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）.

②若a+b=0，則a=-b， b=-a，由函數(shù)的定義知f（a）=f（-b）， 且f（b）=f（-a），

因此f（a）+f（b）=f（-a）+f（-b）.

綜上所述，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

點評：在本題（2）的證明過程中，既用到了函數(shù)的單調性，又用到了函數(shù)的定義.

例8. 求證：關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c均為常數(shù)）至多有兩個不等實數(shù)根.

分析：含有“至少”“至多”“不存在”等詞語的數(shù)學命題，常用反證法.

證明：假設方程ax2+bx+c=0至少有三個不等實數(shù)根分別為x1、x2、x3代入方程得

ax1 2+bx1+c=0 ①ax2 2+bx2+c=0 ②ax3 2+bx3+c=0 ③

①-②， ②-③得：

a（x1 2-x2 2）+b（x1-x2）=0a（x2 2-x3 2）+b（x2-x3）=0

即a（x1+x2）+b=0 ④a（x2+x3）+b=0 ⑤

④-⑤得a（x1-x3）=0.

∵ a≠0， x1≠x3，

∴ a（x1-x3）≠0，因此假設不成立.

方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個不等實數(shù)根.

點評：1. 四種命題的真假判斷：寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

2. 用集合的觀點來看充要條件：

設集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，則有：

（1）若A哿B，則p是q的充分條件，若A芫B，則p是q的充分不必要條件；

（2）若B哿A，則p是q的必要條件，若B芫A，則p是q的必要不充分條件；

（3）若A=B，則p是q的充要條件；

（4）若A芫B，且B芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、注意事項

1. 否命題與命題的否定是兩個易混的問題，要注意其區(qū)別，另外要掌握一些常見詞的否定詞.

2. 原命題圯它的逆否命題，（原命題的否命題圳原命題的逆命題）因此，判斷四種命題的真假時，可只判斷其中的兩個；當一個問題的真假不易判斷時，可通過判斷此命題的逆否命題解決問題.

3. 若p圳q，則p是q的充分條件，同時q也是p的必要條件；若p圳q，則p與q互為充要條件，應理解充分條件、必要條件、充要條件的形式化定義，整理出命題的“條件”與“結論”，畫出“圯”圖是解決“充分條件與必要條件”問題的一種好的方法，注意運用.對論證充要條件題要分清“充分性”與“必要性”，然后分別作出相應的證明.但要判斷兩個涉及具體內容的命題p與q之間的關系，掌握涉及的具體數(shù)學知識是關鍵.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅