鄭茂波*

(成都工業(yè)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系，成都 611730)

古塔的變形研究

鄭茂波*

(成都工業(yè)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系，成都 611730)

利用空間解析幾何知識(shí)對(duì)2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的C題——古塔的變形問(wèn)題中涉及的古塔傾斜，彎曲以及扭曲等3個(gè)量進(jìn)行定量分析，并簡(jiǎn)述了其求解方法的優(yōu)劣。該模型簡(jiǎn)單適用、可靠有效，對(duì)古建筑物的變形趨勢(shì)研究以及制定相應(yīng)的保護(hù)措施有一定的意義。

古塔;數(shù)學(xué)建模;變形;傾斜;彎曲;扭曲;最小二乘法;擬合

中國(guó)是一個(gè)有著5 000年悠久歷史的文明古國(guó)，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的歷史使中國(guó)繼承了一份十分寶貴的世界文化和自然遺產(chǎn)。由于長(zhǎng)時(shí)間承受自重、風(fēng)力和地震等作用影響，古塔會(huì)產(chǎn)生各種變形，如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古塔，文物部門需適時(shí)對(duì)古塔進(jìn)行觀測(cè)，了解各種變形量，以制定必要的保護(hù)措施。

本文采用數(shù)學(xué)建模的思想，利用給出的測(cè)量數(shù)據(jù)，得到了確定古塔各層中心位置的通用方法，應(yīng)用初等幾何知識(shí)定量分析了該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。相比已有的方法，本文的特點(diǎn):1)將空間平面中心點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面擬合和一個(gè)二元函數(shù)極值問(wèn)題，清晰易懂，計(jì)算簡(jiǎn)便;2)在彎曲變形中，巧妙利用參數(shù)方程擬合出中心點(diǎn)的空間直線方程，方法既簡(jiǎn)單又有效。

1 模型的準(zhǔn)備

經(jīng)過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)各層的觀測(cè)點(diǎn)z坐標(biāo)的差距很小且分布均勻，得到結(jié)論:塔的各層的觀測(cè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，各層觀測(cè)點(diǎn)的幾何中心就是古塔各層的中心點(diǎn)。設(shè)該平面π的方程為

只要觀測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于等于3個(gè)，就能采用最小二乘法擬合出該平面方程。即:

根據(jù)幾何知識(shí)，這個(gè)中心點(diǎn)就是平面中一點(diǎn)到這有限個(gè)點(diǎn)距離的平方和的唯一最小值點(diǎn)，因此建立模型如下:

其中:(xijk，yijk)，i=1，2，3，4，j=1，2，…，14，k=1，2，…，n表示第i次測(cè)量第j層的第k個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);，表示第 i次測(cè)量的第j層中心的坐標(biāo)。

首先，對(duì)各層觀測(cè)點(diǎn)采用最小二乘法求得擬合平面的方程，得到(2)中 a0，a1，a2的值。

其次，求解問(wèn)題(3)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的二元函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題，只需要偏導(dǎo)數(shù)等于0，即:

可以看到，經(jīng)過(guò)處理，已經(jīng)將這個(gè)空間中心點(diǎn)轉(zhuǎn)化為平面擬合和一個(gè)簡(jiǎn)單的二元函數(shù)極值問(wèn)題，方法簡(jiǎn)單，直觀形象，容易理解，也便于計(jì)算。

2 模型的建立與求解

因?yàn)楣潘男螤畲篌w均勻，所以可以用其中心點(diǎn)的變形來(lái)反映其總體變形趨勢(shì)。上面已經(jīng)得到各層中心點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以據(jù)此分別來(lái)研究古塔的3種變形情況。

2.1 傾斜變形

傾斜主要是通過(guò)塔尖中心點(diǎn)在底部的投影與底層建筑形心的偏移量與塔高的比值來(lái)衡量，如圖1所示。圖中點(diǎn)O為第一層的中心點(diǎn)，A點(diǎn)是塔尖的中心點(diǎn)，A＇點(diǎn)是A點(diǎn)在xOy平面上的投影，則傾斜角α =∠OAA＇的余弦有:

OA＇與x軸正向的夾角β為傾斜的方位角。

圖1 傾斜角度示意圖

將上述各點(diǎn)坐標(biāo)值代入(6)中，得到如下模型:

傾斜的方位角β，有:

其中:αi為第i次觀測(cè)的傾斜角;βi為第i次觀測(cè)的傾斜方位角。

2.2 彎曲變形

曲率反映的是曲線的彎曲程度，在本研究中，可用來(lái)反映古塔的彎曲變形情況。但實(shí)際測(cè)量中只有離散的數(shù)據(jù)，必須先利用這些數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)空間曲線的方程，才能夠使用曲率的計(jì)算公式。

空間曲線的擬合比較繁瑣和復(fù)雜，這里恰好利用各層的層數(shù)(如1，2，…，14)作為參數(shù)t分別擬合3個(gè)坐標(biāo)分量x(t)，y(t)，z(t)。同時(shí)，因?yàn)榍实挠?jì)算公式要用到二階導(dǎo)數(shù)，為了保證精度，所以每個(gè)坐標(biāo)分量擬合都是采用3次多項(xiàng)式。

設(shè)一次觀測(cè)各層的中心點(diǎn)擬合的空間曲線的參數(shù)方程為:

令r→(t)=(x(t)，y(t)，z(t))，則對(duì)古塔的彎曲可建立模型:

以1986年觀測(cè)數(shù)據(jù)為例，擬合圖形見圖2，效果很好，具體的擬合方程如下:

圖2 1986年各層中心坐標(biāo)的擬合曲線

同理，可以得到其他各次觀測(cè)的擬合參數(shù)方程。得到每次觀測(cè)的空間曲線的參數(shù)方程后，將其代入式(11)計(jì)算可得相應(yīng)的曲率。

圖3 扭曲度平面示意圖

2.3 扭曲變形

當(dāng)古塔的相鄰2層之間發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，古塔外觀就會(huì)發(fā)生扭曲。因此可將相鄰2層發(fā)生的相對(duì)旋轉(zhuǎn)的角度定義為扭曲角。

因?yàn)楦鲗佣荚谝粋€(gè)平面內(nèi)，所以相鄰2層的旋轉(zhuǎn)可以簡(jiǎn)化為在水平面投影的相對(duì)旋轉(zhuǎn)。

各層的中心點(diǎn)是某種意義下各層觀測(cè)點(diǎn)的“平均”，因此各層的中心點(diǎn)投影的相對(duì)旋轉(zhuǎn)就能夠代表各層的相對(duì)旋轉(zhuǎn)，也就代表了扭曲變形情況，見圖3。

圖3是一個(gè)平面圖形，其中O點(diǎn)是第一層中心點(diǎn)，A＇點(diǎn)是塔尖中心點(diǎn)A在平面xOy的投影，Bij是第i次觀測(cè)第j層所在的擬合平面與直線OA的交點(diǎn)在平面xOy的投影，B＇ij是第i次觀測(cè)第j層中心點(diǎn)在平面xOy的投影。

如果古塔不發(fā)生扭曲，那么Bij和B＇ij應(yīng)該重合，所以Bij和B＇ij產(chǎn)生的偏移就能夠反映扭曲。定義θij= ∠B＇i，j+1BijBi，j+1為第 i次觀測(cè)第 j層和第 j+1層發(fā)生的相對(duì)扭曲角。

圖 3 中，在 ΔB＇i，j+1BijBi，j+1中，利用余弦定理，建立以下扭曲角的模型:

其中:θij為古塔在第i次觀測(cè)第j層的扭曲角，i=1，2，3，4，j=1，2，…，14。

3 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用空間解析幾何知識(shí)和最小二乘法等算法，首先用8個(gè)角的數(shù)據(jù)擬合它們所在的平面，以此確定每層的中心點(diǎn)坐標(biāo)。以每層的中心點(diǎn)坐標(biāo)代表該層的整體情況，研究古塔的傾斜、彎曲、扭曲等，從而確定相應(yīng)的修繕?lè)椒?，這種方法對(duì)古建筑變形問(wèn)題的分析科學(xué)、簡(jiǎn)便，具有廣泛的適用性，對(duì)古建筑保護(hù)具有一定的意義。

［1］韓中庚.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)撐木x與點(diǎn)評(píng)(第二卷)［M］.北京:科學(xué)出版社，2012.

［2］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［3］王裕清，李婧，王新.基于不等距灰預(yù)測(cè)模型的變頻調(diào)速設(shè)備故障預(yù)測(cè)［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，30(3):43-46，112.

［4］黃強(qiáng).古塔的變形監(jiān)測(cè)的探討［J］.測(cè)繪與空間地面信息，2013，36(6):217-220.

［5］陽(yáng)連武.古塔變形研究［J］.科技廣場(chǎng)，2013(8):18-20.

Study on the Deformation of an Ancient Pagoda

ZHENG Maobo*

(Department of Information and Computing Science，Chengdu Technological Univercity，Chengdu 611730，China)

Using the elementary knowledge of geometry，the authors investigate the issue——Study on the Deformation of an Ancient Pagoda from the C problems of China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling 2013 ，and get the quantitative model about the tilted deformation，bent deformation and twisted deformation of an ancient pagoda.The model is simple but effective and reliable.It has a positive meaning for the trend of deformation study and the development of protection countermeasures for ancient buildings.

ancient pagoda;Mathematical Modeling;deformtion;tilted deformation;bent deformation;twisted deformation;least square method;fitting

O29

A

2095-5383(2014)02-0063-02

10.13542/j.cnki.51-1747/tn.2014.02.021

2014-04-11

鄭茂波(1984-)，男(漢族)，四川營(yíng)山人，講師，碩士，研究方向:微分方程數(shù)值解，通信作者郵箱:377178554@qq.com。