趙志青 石春

摘要：區(qū)間矩陣在工程領域，圖像識別和力學中的應用和范圍越來越受到人們的關注，其在處理多維數(shù)據(jù)，尤其在不確定方程的求解中發(fā)揮了重要的作用，該文在在區(qū)間矩陣的基礎之上，給出了閉復區(qū)間矩陣，研究了其性質(zhì)，最后將其應用到復區(qū)間數(shù)值的方程組求解中，為其更深入的研究奠定了扎實的基礎，豐富和發(fā)展了矩陣理論及相關學科。

關鍵詞：區(qū)間數(shù)；復區(qū)間值；區(qū)間矩陣；閉復區(qū)間矩陣；復區(qū)間值方程組

中圖分類號：TP18 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）06-1309-05

1 預備知識

區(qū)間數(shù)

定義1[1] 設[R=-∞，+∞]為實數(shù)空間，稱R上的有限區(qū)間[X=X-，X+]為區(qū)間數(shù)，區(qū)間數(shù)記作[IR]

定義2[1] 任意的[X，Y∈IR]，有：

[X∨Y=X-∨Y-，X+∨Y+][X∧Y=X-∧Y-，X+∧Y+]

[X+Y=X-+Y-，X++Y+][X-Y=X--Y+，X+-Y-]

[X?Y=X-Y-∧X-Y+∧X+Y-∧X+Y+，X-Y-∨X-Y+∨X+Y-∨X+Y+]

[ab=a-b-∧a-b+∧a+b-∧a+b+，a-b-∨a-b+∨a+b-∨a+b+，0?b]

[kX=kX-，kX+0kX+，kX-k?0k=0k?0] [1b=Δ1b-∧1b+，1b-∨1b+]

定義3 設[a=a-，a+，b=b-，b+∈IR].

1）如果[a-≤b-，a+≤b+]，稱a小于或等于b.若[a=a-，a+=0-，0+]，則稱b大余或等于a.

1.2 閉區(qū)間復數(shù)

定義4[1] 設C為復數(shù)域，對任意閉區(qū)間數(shù)

[X=X-，X+，Y=Y-，Y+][∈IR]

稱復有界閉集，

[Z=X+iY=x+iy∈C|x∈X，y∈Y]

為閉復區(qū)間數(shù)，其中[i=-1]，用[IC]表示[C]上閉復區(qū)間數(shù)全體，即[IC=z=x+iy|x，y∈IR].

定義5[1]設*是復數(shù)域C上的二元運算，對于任意的

[Zk=Xk+iYk=X-k，X+k+iY-k，Y+k∈Ic][k=1，2Ic]

上的擴展運算定義為

[Z1*Z2=ΔZ|?Z1，Z2∈Z1×Z2，Z=Z1*Z2]

定義6[1]共軛閉復區(qū)間數(shù)

稱[Z*=X-iY=x-iy|x∈X，y∈Y]為[Z]的共軛閉復區(qū)間數(shù)。

稱[Z=X2+Y212=x2+y212|x∈X，y∈Y]為Z上的模。

定義7[1] 對任意的[Zk=Xk+iYk=X-k，X+k+iY-k，Y+k∈ICk=1，2]

有如下運算：

[Z1+Z2=X-1，X+1+iY-1，Y+1+X-2，X+2+iY-2，Y+2][=X-1+X-2，X+1+X+2+iY-1+Y-2，Y+1+Y+2]

[Z1-Z2=X-1，X+1+iY-1，Y+1-X-2，X+2+iY-2，Y+2][=X-1-X+2，X+1-X-2+iY-1-Y+2，Y+1-Y-2]

[Z1Z2=X1+iY1X2+iY2][=X1X2+iX1Y2+iX2Y1-Y1Y2][=X1X2-Y1Y2+iX1Y2+X2Y1]

（其中，[Xi?Yj=Xi-Yj-∧Xi-Yj+∧Xi+Yj-∧Xi+Yj+，Xi-Yj-∨Xi-Yj+∨Xi+Yj-∨Xi+Yj+，i∈1，2，j∈1，2]）

[kZ=kx+yi=kx+kyi=kx-，kx++ky-，ky+i0kx+，kx-+ky+，ky-ik>0k=0k<0]

1.3 復矩陣

復矩陣指的是元素中含有復數(shù)的矩陣.其中不管這個矩陣中含有多少個復數(shù)，只要這個矩陣中含有復數(shù)，那么這個矩陣就是復矩陣.如果這個矩陣中不含有復數(shù)，那么這個矩陣就不是復矩陣.

2 閉復區(qū)間矩陣

2.1 閉復區(qū)間矩陣的定義

定義1 如果[m×n]個元素均為閉復區(qū)間數(shù)，[Zij∈IC][i=1，2，..........m，j=1，2，.............n]則由[m×n]個元素構成的[m×n]階矩陣

[E=Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn]

記為[EC]，表示C上的所有閉復區(qū)間矩陣.

特別的當[m=n]時，則稱為[n]階閉復區(qū)間矩陣記為[Enc]

定義2 形如

[1+i00...001+i0...0...............00...1+i000...01+i]

的矩陣稱為單位矩陣.這里的[1+i=1-，1++1-，1+i]

形如

[00...0000...00...............00...0000000]

的矩陣稱為零矩陣.這里的[0=0-，0++0-，0+i]

2.2 閉復矩陣的運算

定義3 對任意的C上的閉復區(qū)間矩陣

[E=Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn]

[F=Y11Y12......Y1nY21Y22......Y2n..........Ym1Ym2......Ymn]

則有

[1][E+F=][Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn][±Y11Y12......Y1nY21Y22......Y2n..........Ym1Ym2......Ymn][=Z11±Y11Z12±Y12......Z1n±Y1nZ21±Y21Z22±Y22......Z2n±Y2n..........Zm1±Ym1Zm2±Ym2......Zmn±Ymn]

特別的當E的列數(shù)等于F的行數(shù)時有

[EF=][Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmnm×n][Y11Y12......Y1mY21Y22......Y2m..........Yn1Yn2......Ynmn×m]

[Z11Y11+Z12Y21+...+Z1nYn1Z11Y21+Z12Y22+...+Z1nYn2...Z11Y1n+Z12Y2n+...+Z1nYnm........Zm1Y11+Zm2Y21+...+ZmnYn1Zm1Y12+Zm2Y22+...+ZmnYn2...Zm1Y1n+Zm2Y2n+...+ZmnYnmm×m]

2）對于任意的[k∈IR]有

[kE=kZ11kZ12......kZ1nkZ21kZ22......kZ2n..........kZm1kZm2......kZmn]

2）閉復區(qū)間矩陣的轉(zhuǎn)置

[Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......ZmnT=Z11Z21......Zn1Z12Z22......Zn2..........Z1nZ2m......Znm]

4） 閉復區(qū)間矩陣的共軛矩陣

[Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn為Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn]

定理1 （基本性質(zhì)）

設[E1，E2，E3∈Ec]，[k，l∈IR]，有

1）（加的交換律）[E1+E2=E2+E1]

2） （加的結合律） [E1+E2+E3=E1+E2+E3]

3） （加零）[E1+0=E1]

4）（加負）[E1+-E1=0]

5） （分配律）[k+lE1=kE1+lE2]

6） （分配律）[kE1+E2=kE1+kE2]

7） [Z=Z]，[z1+z2=z1+z2]

8） [z1z2=z1z2]，[z1z2=z1z2][z1≠0]

2.3 閉復區(qū)間矩陣的行列式

定義4 如果[m×n]個元素均為閉復區(qū)間數(shù)，[Zij∈IC][i，j=1，2，..........n]則由[n×n]個元素構成的n階行列式

[Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zn1Zn2......Znn]

是[IC]中唯一確定的數(shù)：

1）當[n=1]時，[Z11=Z11]

2）當[n>1]時，

[Z11Z12...Z1nZ21Z22...Z2n............Zn1Zn2...Znn=Z11Z22...Z2nZ32...Z3n.........Zn2...Znn-Z21Z12...Z1nZ32...Z3n.........Zn2...Znn+......+-1n-1Zn1Z12...Z1nZ22...Z2n.........Zn-12...Zn-1n]

2.4 閉復區(qū)間矩陣的克萊姆法則

定理4 如果線性方程組

[Z11*x1+Z12*x2+......+Z1n*xn=b1Z21*x1+Z22*x2+......+Z2n*xn=b2...Zn1*x1+Zn2*x2+......+Znn*xn=bn]

的系數(shù)行列式

[d=Z11Z12...Z1nZ21Z22...Z2n.........................................................Zn1Zn2...Znn≠0]

則此方程存在唯一解：

[x1=d1d，x2=d2d，......，xn=dnd]

其中

[dj=Z11Z12...Z1j-1b1Z1j+1...Z1nZ21Z22...Z2j-1b2Z2j+1...Z2n.........................................................Zn1Zn2...Znj-1bnZnj+1...Znn，j=1，2，...，n.]

例1 解下列閉復區(qū)間方程組。

[13+25ix1+24+35ix2=57+46i27+36ix1+79+68ix2=810+1112i]

解：

[d=13+25i24+35i27+36i79+68i=13+25i79+68i-24+35i27+36i=1379+1368i+2579i-2568-2427+2436i+3527i-3536]

[=1×7∧1×9∧3×7∧3×9，1×7∨1×9∨3×7∨3×9+1×6∧1×8∧3×6∧3×8，1×6∨1×8∨3×6∨3×8i+2×7∧2×9∧5×7∧5×9，2×7∨2×9∨5×7∨5×9i-2×6∧2×8∧5×6∧5×8，2×6∨2×8∨5×6∨5×8-{2×2∧2×7∧4×2∧4×7，2×2∨2×7∨4×2∨4×7+2×3∧2×6∧4×3∧4×6，2×3∨2×6∨4×3∨4×6i+2×3∧2×6∧4×3∧4×6，2×3∨2×6∨4×3∨4×6i-3×3∧3×6∧5×3∧5×6，3×3∨3×6∨5×3∨5×6}]

[=（7∧9∧21∧27，7∨9∨21∨27+6∧8∧18∧24，6∨8∨18∨24i+14∧18∧35∧45，14∨18∨35∨45i-12∧16∧30∧40，12∨16∨30∨40）-（4∧14∧8∧28，4∨14∨8∨28+6∧12∧12∧24，6∨12∨12∨24i+6∧21∧10∧35，6∨21∨10∨35i-9∧18∧15∧30，9∨18∨15∨30）=727+624i+1445i-1240-428+624i+635i-930]

[=727-1240+624-1445i-428-930+624-635i=7-4027-12+2069i-4-3028-9+6-3524-6i=-3315+2069i--2619+-2918i=-3315--2619+2069--2918i=-33-1915+26+20-1869+29i=-5241+298i]

[d≠0]

[d1=57+46i24+35i810+1112i79+68i]

[=57+46i79+68i-24+35i810+1112i]

[=5779+5768i+4679i-4668-24810+241112i+35810i-351112=（5×7∧5×9∧7×7∧7×9，5×7∨5×9∨7×7∨7×9+5×6∧5×8∧7×6∧7×8，5×6∨5×8∨7×6∨7×8i+4×7∧4×9∧6×7∧6×9，4×7∨4×9∨6×7∨6×9i-4×6∧4×8∧6×6∧6×8，4×6∨4×8∨6×6∨6×8）-（2×8∧2×10∧4×8∧4×10，2×8∨2×10∨4×8∨4×10+2×11∧2×12∧4×11∧4×12，2×11∨2×12∨4×11∨4×12i+3×8∧3×10∧5×8∧5×10，3×8∨3×10∨5×8∨5×10i-3×11∧3×12∧5×11∧5×12，3×11∨3×12∨5×11∨5×12）=-20-5+104208i]

[d2=-5534+-5763i]

[x1=-11.471.984+-4.014.16i]

[x2=-4.243.685+-3.9253.1i]

參考文獻：

[1] 馬生全.模糊復分析理論基礎[M].北京：科學出版社，2010.

[2] 樊惲，錢吉林，岑嘉評，等.代數(shù)學大詞典[M].武漢：華中師范大學出版社，1994.

[3] 鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社，2004

[4] KATARINA C.Eigenvectors of interval matrices over max-plus algebra [J].Discrete Applied Mathematics， 2005， 150 （1/2/3）：2-15.

[5] Jiang， Chungli. Sufficient condition for the asymptotic stability of interval matric es [J]. INT. J. Control.，1987， 46（5）：1803-1810.

[6] SoH Y C， Evans R J. Stability analysis of interval. Matrices-continuous and discrete systems[J]. International Journal of Control， 1988， 47（1）：25-32.

[7] Man Sour M. Simpliyed sufficient Conditions fo the asymptotic Stability of interval Martices[J]. International Journal of Control， 1989， 50（1）：443-444.

[8] Wang jingguo. Necessary and sufficient conditions for stability of a Matrix polytope with Normal Vertex Matrices [J]. Automatic， 1991， 27（5）：887-888.

[9] 川陳景良，陳向暉.特殊矩陣[M].北京：清華大學出版社，2001.