黃 維，錢 江，周 知

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

豎向混合結構由采用不同材料的子結構豎向串聯(lián)組成，其沿豎向變化的抗側剛度能較好的適應結構的變形需求。例如上海環(huán)球金融中心大廈內部的核心筒采用了豎向混合的方案，其79層以下核心筒為鋼筋混凝土筒體，為減輕結構自重、增加延性，79層以上核心筒用內置鋼框架的鋼筋混凝土筒體，而在95層以上則改變?yōu)榭臻g鋼桁架筒體形式，如圖1所示[1]。在這類結構中，上、下部分采用不同材料，各部分振動阻尼機理和特性不同，這使得整體結構的阻尼性能難以估計。當前的建筑抗震設計規(guī)范(GB50011-2010)[2]沒有關于該類結構的分析建議，而工程師進行結構抗震設計時常采用兩種簡化方法：① 對上下部結構人為分開計算(如圖2所示)，此方法忽略了結構的變形協(xié)調，理論和實驗都證明存在缺陷；② 采用包絡的思路進行結構設計，分別把結構當成鋼結構和混凝土結構進行結構設計，然后求得一個折算的等效阻尼比，但其合理性有待進一步驗證[3]。

圖1 環(huán)球金融中心

圖2 計算模型

對于采用兩種或兩種以上的不同材料串聯(lián)組成的豎向混合結構，由于不同材料在結構的不同部分提供的能量損失機制差別很大，導致結構的整體阻尼矩陣為非比例阻尼矩陣。Clough等[4-5]基于Rayleigh模型從理論上構造了適合混合結構的阻尼矩陣，整體阻尼矩陣可由分塊阻尼矩陣合成，各子塊阻尼矩陣可按不同模型確定。

非比例阻尼矩陣構造如下：

式中:[cs]=αs[ms]+βs[ks]為上部子結構的阻尼矩陣；[cc]=αc[mc]+βc[kc]為下部子結構的阻尼矩陣。αs,αc,βs,βc可由Rayleigh模型計算。

X為結構兩部分的公共邊界，即先將豎向混合結構構造成兩個獨立的子結構(上部鋼結構和下部混凝土結構)，公共邊界部分可仿造有限元整體剛度矩陣的集成方法處理[6]；ωm,ωn為整體結構的自振頻率；ξs,ξc分別為上部子結構和下部子結構的阻尼比。

目前，對于非比例阻尼結構的分析方法主要有：直接積分法、強迫解耦法、等效阻尼法及復模態(tài)分析方法等[7-9]。直接積分法避開了模態(tài)阻尼矩陣[C]的解耦問題，直接進行迭代求解，計算精度高。在復模態(tài)空間中，非比例阻尼體系是解耦的，是一種比較精確的方法[10]。對于一般工程結構而言，這兩種方法計算量大，特別是后者難以為廣大工程設計人員接受。強迫解耦法就是人為地忽略掉模態(tài)阻尼矩陣[C]中的非對角元素，將非比例阻尼問題轉化為比例阻尼問題。方法簡單便捷，但是對于非比例阻尼體系，由于人為地忽略了模態(tài)阻尼矩陣中的非對角元素，當這些元素對計算影響較大時，將會使計算結果產生較大的誤差[6]。等效阻尼比實質是將非經典阻尼簡化為經典阻尼的不同于強迫解耦的另一種近似方法。倘若采用模態(tài)疊加法進行分析，采用所謂的“等效阻尼比”的概念是合理和簡便的。

國內外許多學者對等效阻尼比進行了研究，Roesset等[11]提出了等效阻尼比為損耗能量和總儲存能量的比值，該表述是基于能量的阻尼性能宏觀描述，其物理意義明確。Hwang等[12]提出了模態(tài)應變能比(MSE)，如式(1)，其將能量的形式特指為結構的彈性應變能，即結構損耗的彈性應變能與儲存的彈性應變能的比值，該表達式物理意義清楚且形式簡單，因此被廣泛的應用[13-14]。模態(tài)應變能模型反映了耗能相等的物理本質，該模型被美國、日本的規(guī)范建議用于隔震結構等效阻尼比的確定[15-16]。

(1)

式中:ξeq,j為第j階模態(tài)的模態(tài)阻尼比;ξi為第i個單元的阻尼比; {φ}j表示第j階模態(tài)的位移向量;[k]i表示第i個單元的抗側剛度。

雖然基于模態(tài)應變能模型能較好的反映結構的能量消耗，但是其計算過程較為繁瑣。尋求簡便的方法得到該類豎向混合結構的模態(tài)阻尼比，為該類結構分析提供一個可靠的工具。

1 基于復阻尼理論的模態(tài)阻尼比

復阻尼又稱“滯變阻尼”，是一種與速度同相而與位移成比例的阻尼力，滯變阻尼力可表示為：

fD(t)=iζku(t)

(2)

式中：虛數(shù)單位i表示與力具有速度的相位，ζ是滯變阻尼系數(shù)或復阻尼系數(shù)。對于小阻尼材料，材料復阻尼系數(shù)ζ近似為其臨界阻尼比ξ的2倍[4-5]。

一般豎向混合結構阻尼系統(tǒng)的運動方程可寫成：

(3)

式中：M、K分別為多自由度體系的質量和剛度，D′代表豎向混合結構的滯后阻尼矩陣，可以表達為：

(4)

式中：Kc、Ks分別為上下子結構的剛度矩陣，kc、ks分別為上下子結構耦合邊界的剛度，ζc、ζs分別為上下子結構對應的材料復阻尼系數(shù)。D′為非比例阻尼矩陣，因此方程(3)不能在模態(tài)坐標系中解耦，但該方程可以直接由坐標變換解耦[17]。

式(3)的特征方程為：

(5)

可以解得n個互異的復特征值λ2，假設λ2=(α+iβ)2，并代入方程(5)中，令實部和虛部為0，得：

(6)

式(6)可以分別看作質量為M，剛度矩陣為K的結構1和質量為M，剛度矩陣為D′的結構2的無阻尼特征方程，其結構1和結構2的第j階無阻尼自振頻率ω0,j和ωd,j分別為：

(7)

現(xiàn)若假設該類結構的等效材料復阻尼比系數(shù)為ζeq，則運動方程(3)的特征方程可以表示為：

(8)

設該方程的n個互異的復特征值為λ′2=(α′+iβ′)2，代入方程(8)中，令實部和虛部為0，得：

(9)

式(9)也可以看作兩個特征方程，其第j階無阻尼自振頻率分別為：

(10)

在復阻尼理論中，結構在諧振荷載作用下一周能量的損失不依賴于激振頻率，而與結構特性有關[4]。如果采用“等效阻尼”的概念來得到結構耗能情況，那么在特征方程(8)和特征方程(5)中，結構阻尼系統(tǒng)特征值應具有相同的特征意義[17]，即有λ≈λ′;α≈α′;β≈β′，代入式(7)和式(10)可得：

(11)

即可得豎向混合結構的第j階模態(tài)阻尼比為：

(12)

2 豎向混合結構模態(tài)阻尼比計算和評價

2.1 模態(tài)阻尼比計算

本文基于同濟大學進行的12層S/RC豎向混合結構實驗[14,18]，驗證該模態(tài)阻尼比的計算公式。12層S/RC框架包括上部4層鋼框架，中間1層鋼骨混凝土框架，下部7層RC框架，而樓蓋部分采用現(xiàn)澆混凝土樓蓋，結構尺寸和配筋如圖3所示。本文采用有限元軟件ANSYS按照實驗尺寸建立該12層S/RC框架有限元模型，模型結構自振頻率的計算值與實驗值列于表1中。從前3階X向頻率的對比可見，計算頻率與模型實測頻率差別不大，誤差在10%以內，這表明該有限元模型在宏觀上反應結構的動力特性，采用該模型對12層S/RC結構進行數(shù)值模擬具有一定的可靠性。

圖3 12層S-RC框架結構尺寸和配筋

實驗測得下部混凝土結構和上部鋼結構阻尼比分別為4.91%和3.24%，采用本文提出的求解模態(tài)阻尼比的方法求得整體結構X向的前兩階模態(tài)阻尼比，如表2所示，為了說明該方法的有效性，本文還按照模態(tài)應變能比方法計算的模態(tài)阻尼比。由表2的結果看出，兩種途徑所獲得的模態(tài)阻尼比接近真實測量的結果。

表1 X向結構模態(tài)頻率(Hz)

表2 S/RC結構整體阻尼比(%)

2.2 模態(tài)阻尼比評價

為了驗證本文提出計算模態(tài)阻尼比方法的有效性，本文分別采用直接積分法、整體結構等效阻尼分別取為2%和5%、以及本文提出計算的模態(tài)阻尼比的等效法對該12層S/RC豎向混合框架結構進行的地震作用下的彈性時程分析。

時程分析中采用EI-Centro波、Kobe波以及SHW2波，從頻譜特性可知，該3條波分別代表了Ⅱ類、Ⅲ類和Ⅳ類場地的頻譜特征，因此采用這3條地震記錄進行分析能夠對結構的阻尼模型的適用性進行較為全面的評價。由于該豎向混合框架兩個水平方向基本對稱(X向略弱)，兩個水平方向地震響應性態(tài)相似，故以下僅以X方向輸入的時程分析為例進行討論，由結構實驗的相似關系，輸入地震動峰值取0.09 g。

圖4和圖5分別為結構的最大樓層位移變形和對應的層間位移角?？梢钥吹皆诓煌卣饎幼饔孟拢捎诮Y構在第八層有明顯的剛度突變，結構樓層位移變形出現(xiàn)了顯著地變化，因為鋼結構較混凝土結構柔，其變形幅值較明顯。設計分析中對該類豎向混合結構取阻尼比為2%或5%會低估或高估結構的耗能情況，而采用本文方法計算得到的模態(tài)阻尼比能較合理的反映該類結構的地震響應。而取不同阻尼比對下部鋼筋混凝土結構的樓層位移變形影響較小，對上部鋼結構的樓層位移變形影響較大；這說明阻尼比的取值對材料阻尼比較小的鋼結構的影響明顯大于材料阻尼比較大的混凝土結構，這與各子結構的耗能性能有關。下部鋼筋混凝土結構最大層間位移角出現(xiàn)在第2層，而上部鋼結構最大層間位移角出現(xiàn)在第10層，《建筑抗震設計規(guī)范GB50011-2010》中規(guī)定，鋼筋混凝土框架彈性層間位移角限值為1/550，而多、高層鋼結構限值為1/250。由于上部和下部結構的抗震性能評定標準不同，如何對該類結構進行抗震評估，現(xiàn)在還沒有統(tǒng)一的規(guī)定，需要進行進一步的研究。

圖4 最大位移響應圖

圖5 層間位移角

3 結構各部分對模態(tài)阻尼比的影響

為了研究豎向混合結構上、下兩子結構各自特性對整體阻尼比的影響情況，本文采用基于復阻尼理論的模態(tài)阻尼比和基于應變能模態(tài)阻尼比對此進行分析。將豎向組合結構等效為兩自由度結構模型，如圖6所示。

圖6 等效兩自由度結構模型

分別定義頻率比Rω和質量比Rm為下式：

(13)

式中:ωc和ω0,j分別為上、下部子結構的頻率，Ms和Mc分別為上、下部子結構的質量。

圖7～圖10為各子結構取固定阻尼比時，對應不同Rω-Rm時結構模態(tài)阻尼比等高線圖；圖7，圖9和圖10采用本文提出的方法計算，圖8采用應變能模態(tài)阻尼比方法。從圖7和圖8可以看出，本文方法計算的模態(tài)阻尼比在整體分布上與于應變能計算的模態(tài)阻尼比分布相似，且模態(tài)阻尼比的范圍在ξc和ξs之間；本文方法的等高線起點集中在Rω=1.25左右，而應變能法的等高線起點集中在Rω=1.00左右。在頻率比Rω較高時(Rω>1.5)，整體結構的第一階模態(tài)阻尼比與ξc較接近，而第二階模態(tài)阻尼比與ξs較接近。當Rω為定值時，質量比Rm在大于0.5時，整體結構模態(tài)阻尼比幾乎不隨Rm的增大而變化，在圖中出現(xiàn)水平等高線趨勢；而當Rm為定值時，整體結構模態(tài)阻尼比隨Rω的增大而增大。

圖7 本文方法的模態(tài)阻尼比等高線圖(ξc=5%、ξs=2%)

圖9 本文方法的模態(tài)阻尼比等高線圖(ξc=5%、ξs=4%)

取不同的ξc和ξs值，從圖7、圖9和圖10可以看到，隨著ξc和ξs的增大，整體結構的阻尼比增大趨勢明顯，頻率比Rω在1.00～1.50的范圍內，結構模態(tài)阻尼比受ξc和ξs取值影響較大。顯然本文提出的基于頻率特性計算的阻尼比方法比基于應變能計算的模態(tài)阻尼比方法更較為方便，且吻合度較好。

4 結 論

本文基于復阻尼理論，推導了豎向混合結構的模態(tài)阻尼比簡便計算方法。將該方法計算得到的結構模態(tài)阻尼比與一12層豎向混合框架試驗實測阻尼比結果進行對比；然后采用不同阻尼比對該混合結構進行了彈性時程分析，對該方法的有效性進行檢驗。最后用該方法和基于應變能計算的等效阻尼比研究了豎向混合結構上、下兩子結構各自特性對整體阻尼比的影響情況，其主要結論如下:

(1) 設計中對該類豎向混合結構取阻尼比為2%或5%會低估或高估結構的耗能情況，而采用本文的方法計算的模態(tài)阻尼比能較合理的反映該類結構的地震響應；

(2) 本文提出的計算模態(tài)阻尼比的方法與實測結果誤差在10%以內，而本文方法計算簡便，效率高，為該類結構設計時阻尼比的取值提出了一個簡便的方法；

(3) 整體結構的模態(tài)阻尼比處于上、下部結構各自阻尼比之間，在頻率比較高時，整體結構的第一階模態(tài)阻尼比與下部結構阻尼比較接近，而第二階模態(tài)阻尼比與上部結構阻尼比較接近。

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