臺(tái)永鵬，李 普, 左萬里

(東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189)

微諧振器是微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的典型器件，廣泛應(yīng)用于高頻和高精度的驅(qū)動(dòng)器和傳感器。為了獲得高性能、高精度，微諧振器件在設(shè)計(jì)和制造的時(shí)候希望能夠有非常小的能量損耗和特別高的質(zhì)量因數(shù)。然而，事實(shí)證明器件尺度的減小必然導(dǎo)致質(zhì)量因數(shù)的減小。因此，研究微型器件中的能量耗散機(jī)理具有重要意義。微諧振器件中有三種主要的能量耗散方式：空氣阻尼[1]，支承阻尼和熱彈性阻尼。其中，前兩種耗散機(jī)理可以通過真空封裝和合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)消除。熱彈性阻尼是系統(tǒng)所固有的能量耗散機(jī)理，不能通過設(shè)計(jì)制造完全消除。這使得熱彈性阻尼經(jīng)常成為MEMS器件主要的能量耗散機(jī)理，決定系統(tǒng)質(zhì)量因數(shù)的上限。近年來，為了設(shè)計(jì)和制造出高性能的MEMS器件，熱彈性阻尼的研究越來越熱門。

熱彈性阻尼是由熱彈性材料中的不可逆熱流引起的。當(dāng)MEMS器件振動(dòng)時(shí)，材料內(nèi)部必然會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變場(chǎng)，其中受擠壓的部分溫度升高，受拉伸的部分溫度降低。產(chǎn)生的溫度梯度使不可逆熱流從溫度高的部分流向溫度低的部分。這種由于不可逆熱流導(dǎo)致的能量耗散就叫做熱彈性阻尼。只要材料的熱膨脹系數(shù)不為零，熱彈性阻尼就必然存在。

在1937年，Zener[2-3]第一次精確計(jì)算出了懸臂梁的熱彈性阻尼。Zener研究了彎曲振動(dòng)的懸臂梁，推導(dǎo)出了只考慮厚度b方向熱傳導(dǎo)的一維熱彈性阻尼解析模型：

(1)

式中:E為楊氏模量，α為熱膨脹系數(shù)，T0為環(huán)境溫度，Cv為定體積熱容，τ為松弛時(shí)間。2000年，Lifshitz和Roukes (LR)[4]精煉了Zener的理論，給出了梁在彎曲振動(dòng)時(shí)一維熱彈性阻尼的LR模型

(2)

式中:ξ=b×sqrt(ω/(2χ))，其中χ為熱擴(kuò)散系數(shù)。Zener模型和LR模型都是計(jì)算熱彈性阻尼的經(jīng)典的解析模型，已經(jīng)得到了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，并廣泛應(yīng)用于MEMS器件熱彈性阻尼的預(yù)測(cè)。這兩種理論在建立的過程中都作了如下假設(shè)：① 器件的質(zhì)量因數(shù)極高，其諧振頻率不受影響；② 應(yīng)變場(chǎng)與溫度場(chǎng)單向耦合，即應(yīng)變場(chǎng)影響溫度場(chǎng)，溫度場(chǎng)不影響應(yīng)變場(chǎng)，因?yàn)闇囟茸兓浅Ｎ⑿。虎?熱傳導(dǎo)是一維的，只發(fā)生在梁厚度方向，寬度和長(zhǎng)度方向因?yàn)闊醾鲗?dǎo)比較微弱而忽略不計(jì)。

MEMS諧振器件一般具有簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，容易得到熱彈性阻尼的閉合的解析表達(dá)式。這些表達(dá)式簡(jiǎn)單而高效，不僅用來預(yù)測(cè)熱彈性阻尼，還可以為數(shù)值計(jì)算結(jié)果提供非常理想的參考和驗(yàn)證模型。比如，一些學(xué)者提出了計(jì)算二維、三維熱彈性阻尼的方法[5，6]，以及層壓復(fù)合結(jié)構(gòu)、矩形板、圓盤、圓環(huán)、碳納米管中的熱彈性阻尼模型。此外，以有限元(FEM)法為主的偏微分方程數(shù)值解法能很好地處理復(fù)雜幾何形狀及邊界條件，求解復(fù)雜形狀器件的熱彈性阻尼。但是，數(shù)值模型的存在局限性也很明顯：① 有限元法不能直接體現(xiàn)器件的幾何參數(shù)與物理性能之間的關(guān)系。數(shù)值法的方程階數(shù)高，計(jì)算效率低，不利于系統(tǒng)級(jí)模擬和優(yōu)化迭代計(jì)算，更適合在校核計(jì)算中使用。② 很難在短時(shí)間內(nèi)學(xué)會(huì)熟練使用ANSYS等商業(yè)有限元軟件。

通常，MEMS諧振器件運(yùn)行在純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)或者純彎曲振動(dòng)模態(tài)。熱彈性阻尼主要是由彎曲振動(dòng)模態(tài)引起的。而純扭轉(zhuǎn)模態(tài)不會(huì)產(chǎn)生體積的變化，沒有熱彈性阻尼。但是，一些MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件在振動(dòng)時(shí)并不是純扭轉(zhuǎn)，而是彎扭耦合振動(dòng)。彎扭耦合不僅影響到器件的動(dòng)力學(xué)特性，而且其彎曲振動(dòng)的部分不可避免產(chǎn)生熱彈性阻尼，影響到器件的性能。目前，在能量耗散方面，MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件的研究主要集中在空氣阻尼，也有少量文獻(xiàn)涉及熱彈性阻尼。然而，在彎扭耦合的MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件中，并沒有文獻(xiàn)討論其熱彈性阻尼的解析模型。同時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明[7-10]，彎扭耦合的單平板和雙平板諧振器的熱彈性阻尼很重要，不能忽略。

本文考慮了MEMS諧振器件中的彎扭耦合現(xiàn)象，利用彎扭耦合的靜態(tài)平衡方程和動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出支承梁的動(dòng)力學(xué)特性，以此為基礎(chǔ)，在假設(shè)微平板為剛體的前提下，根據(jù)熱傳導(dǎo)方程和LR理論推導(dǎo)出熱彈性阻尼的解析模型。將本文所提出的解析模型與有限元仿真結(jié)果相比較，兩者的擬合度很高，誤差較小，證實(shí)了理論的可行性。解析模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較揭示了熱彈性阻尼在內(nèi)部耗散中的重要性。通過對(duì)解析模型特性的研究，本文分析了諧振器件幾何尺寸對(duì)熱彈性阻尼的影響。

1 彎扭耦合MEMS諧振器件的熱彈性阻尼模型

1.1 靜電力作用下的彎扭耦合振動(dòng)模型

圖1 靜電驅(qū)動(dòng)的扭轉(zhuǎn)MEMS諧振器件示意圖

圖1是扭轉(zhuǎn)諧振器件示意圖。靜電力驅(qū)動(dòng)的微平板由兩個(gè)支承梁分別固定在錨定上。電極板放置在基底上，位于微平板的下方。微平板的長(zhǎng)度和寬度分別為L(zhǎng)，a；兩根支承梁的長(zhǎng)度和寬度分別為l，c；器件整體厚度為b。微平板和電極間施加驅(qū)動(dòng)電壓V=V0+v(t)，其中V0是直流偏置分量，v(t)是交流分量，通常V0?v(t)。假設(shè)微平板是剛體，在驅(qū)動(dòng)電壓的作用下，產(chǎn)生縱向位移y(t)=y0+δ(t)，以及繞支承梁旋轉(zhuǎn)的角位移φ(t)=φ0+φ(t)，其中y0和φ0是偏置電壓導(dǎo)致的偏置位移，δ(t)和φ(t)是交流激勵(lì)電壓導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)位移。當(dāng)施加偏置電壓時(shí)，該扭轉(zhuǎn)諧振器件的靜態(tài)平衡方程可表示為[11]

(3)

式中：Ky，Kφ分別表示彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，a1和a2表示電極的位置參數(shù)，ε為真空介電常數(shù)，h為電極與微平板的間距。矩形截面梁的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度可以表示為

(4)

式中：G為剪切模量；I，Ip分別為梁的截面慣性矩和極慣性矩。

當(dāng)器件受靜電力作用，以頻率ω做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，微平板的激勵(lì)電壓和動(dòng)態(tài)位移可表示為

v(t)=v0eiωt,φ(t)=φ0eiωt,δ(t)=δ0eiωt

(5)

忽略其他阻尼的影響，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可表示為[12]

(6)

式中：m為微平板質(zhì)量，Iφ為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，F(xiàn)e，Me分別為驅(qū)動(dòng)電壓V導(dǎo)致的靜電力和靜電力矩。將Fe，Me在(V0,φ0,y0)處一階Taylor展開，然后代入式(6)中，則線性化的動(dòng)力學(xué)方程可以寫成

(7)

求解式(7)，得到微平板動(dòng)態(tài)位移之比

(8)

式中：參數(shù)AB，BB，CB，AT，BT，CT是Taylor展開得到的常數(shù)項(xiàng)；根據(jù)式(3)，它們可以進(jìn)一步用偏置電壓V0作用下微平板的偏置位移表示：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

CT=BB

(14)

式中：g0=h-y0為偏置電壓作用下，電極板與微平板的間距。

1.2 簡(jiǎn)化的微平板動(dòng)態(tài)位移之比

微平板在彎扭耦合振動(dòng)時(shí)會(huì)引起它與電極板之間的間距變化。這種變化導(dǎo)致靜電力與簡(jiǎn)諧激勵(lì)電壓間復(fù)雜的非線性關(guān)系，如式(6)所示。如果微平板在振動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)位移非常小，可以忽略微平板與電極板之間間距的變化所導(dǎo)致的非線性靜電力。這種情況下，F(xiàn)e，Me都可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且

Me=rFe

(15)

其中：r為平板受力點(diǎn)到扭轉(zhuǎn)軸的距離。將式(15)代入式(6)，得到簡(jiǎn)化的微平板動(dòng)態(tài)位移之比為

(16)

從上式可以看出，對(duì)于簡(jiǎn)化的模型，微平板動(dòng)態(tài)位移之比只與受力位置和振動(dòng)頻率有關(guān)。

1.3 熱彈性阻尼計(jì)算

考慮彎扭耦合諧振器件做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于微平板看作是剛體，不存在熱應(yīng)變，所以只需要考慮支承梁的熱彈性阻尼。支承梁的熱傳導(dǎo)方程可以表示為[4]

(17)

式中：θ=θ0eiωt為溫度變化，ΔE=Eα2T0/Cv為楊氏模量的松弛強(qiáng)度，Y(x,t) =Y0(x)eiωt為梁在y方向的位移。假設(shè)用支承梁的撓度曲線近似表示梁的位移。根據(jù)邊界條件：Y(0) = 0，Y(l) =δ(t)，?Y(0)/?x= 0，?Y(l)/?x= 0，則Y(x,t)可以表示為[13]

(18)

根據(jù)LR理論，溫度場(chǎng)方程可以表示為[4]

(19)

通常，材料內(nèi)部由于溫度變化導(dǎo)致的熱應(yīng)力與施加的應(yīng)力場(chǎng)相比可以忽略不計(jì)，所以支承梁x軸方向的應(yīng)力場(chǎng)和熱應(yīng)變分別表示為

(20)

(21)

整個(gè)諧振器件的損失功需要考慮兩根支承梁能量耗散的總和為

(22)

一個(gè)振動(dòng)周期里諧振器件最大存儲(chǔ)彈性能包含扭轉(zhuǎn)彈性能和振動(dòng)彈性能兩部分為

(23)

根據(jù)品質(zhì)因數(shù)Q的定義，利用式(22)和(23)得到熱彈性阻尼解析表達(dá)式

(24)

式中：pf為彎曲振動(dòng)存儲(chǔ)能量與總存儲(chǔ)能量之比。可見，彎扭耦合MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件中的熱彈性阻尼為能量比與LR理論結(jié)果的乘積。將式(8)和式(18)代入式(24)，可得

(25)

式中：系數(shù)D=Kφ/Ky=GIpl2/Eb3c，其數(shù)值與材料屬性和幾何尺寸相關(guān)。

2 解析模型與FEM仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

2.1 FEM仿真結(jié)果比較

為了驗(yàn)證本文解析模型，將解析模型計(jì)算結(jié)果與有限元(FEM)仿真結(jié)果比較。本文采用ANSYS仿真軟件進(jìn)行有限元仿真，其中支承梁利用SOLID226單元建模，這種單元可以仿真三維熱彈性阻尼，而微平板利用SOLID45單元建模。假設(shè)器件為多晶硅制造，其材料特性參數(shù)：E=157 GPa，α=2.6×10-6K-1，泊松比υ= 0.22，密度ρ= 2 330×10-18kg·μm-3，定壓熱容Cp= 699×1012pJ (kg·K)-1，χ=0.55×10-4m2s-1，ε=8.854×10-6pF μm-1，T0=300 K。表1(模型1)給出了器件基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，電極板施加電壓為V0=20 V，v0=2 V。

表1 MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)(單位：μm)

圖2給出了本文解析模型和FEM數(shù)值仿真的比較。如圖所示，解析模型曲線與FEM數(shù)值仿真曲線擬合度比較好。由于有限元仿真計(jì)算的是三維熱彈性阻尼，所以它的數(shù)值通常比一維計(jì)算結(jié)果要大，而且計(jì)算精度更高。從圖中可以看出，在特征頻率F0附近，兩者相對(duì)誤差小于10 %；在低頻段，兩者相對(duì)誤差甚至小于5 %；在高頻段兩者誤差較大。

圖2 熱彈性阻尼解析模型計(jì)算結(jié)果與FEM數(shù)值仿真結(jié)果比較

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明[7-10]，彎扭耦合的單平板和雙平板諧振器的熱彈性阻尼很重要，不能忽略。Liu等[9]測(cè)量了單平板MEMS諧振器在不同溫度、1-1模態(tài)(470 kHz)下的內(nèi)部耗散(主要為熱彈性阻尼)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)是在微平板底部放置壓電激勵(lì)器驅(qū)動(dòng)微平板做彎扭耦合簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并給出了激光退火后諧振器件的內(nèi)部耗散與溫度的關(guān)系。該器件由單晶硅制造，基本尺寸見表1(模型2)，材料特性參數(shù)：E=169 GPa，α=2.6×10-6K-1，ρ=2 30 ×10-18kg μm-3，Cp=699×1012pJ (kg·K)-1，χ=0.86×10-4m2s-1，ε=8.854×10-6pF μm-1。

圖3給出了該諧振器內(nèi)部耗散隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及熱彈性阻尼解析模型計(jì)算結(jié)果。為了方便計(jì)算，解析模型利用了簡(jiǎn)化的微平板動(dòng)態(tài)位移比βs，并假設(shè)受力位置r=a/2。如圖所示，解析模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)接近并具有相同的趨勢(shì)。在室溫下，熱彈性阻尼在內(nèi)部耗散中占重要比例。值得注意的是，在高階模態(tài)下，微平板內(nèi)部也會(huì)產(chǎn)生可觀的熱彈性阻尼，但是解析模型將微平板看成剛體，從而忽略了這部分由微平板產(chǎn)生的熱彈性阻尼。相反，在相對(duì)較低的振動(dòng)頻率，微平板內(nèi)部產(chǎn)生的熱彈性阻尼可以忽略。

圖3 不同溫度下熱彈性阻尼解析模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

3 器件幾何尺寸對(duì)熱彈性阻尼的影響

假設(shè)研究的MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件為多晶硅制造，真空封裝，并且忽略其他外部阻尼的影響。器件的材料特性參數(shù)與FEM仿真所使用的相同。本文從兩個(gè)方面研究器件的幾何尺寸對(duì)熱彈性阻尼的影響：① 支承梁長(zhǎng)度l不變，梁的厚度寬度之比b/c對(duì)熱彈性阻尼的影響；② 支承梁厚度b不變，梁的長(zhǎng)寬比l/c對(duì)熱彈性阻尼的影響。改變幾何尺寸時(shí)，我們保持扭轉(zhuǎn)剛度不變Kφ，盡量不影響該器件的扭轉(zhuǎn)特性；并且微平板的厚度為定值2 μm。

圖4給出了支承梁的厚度寬度之比b/c對(duì)pf的影響。梁的長(zhǎng)度l=50 μm，偏置電壓V0=20 V，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1(模型1)。如圖所示，在低頻段，pf隨b/c的增大而減??；在高頻段，pf隨b/c的增大而增大。pf最小值(≈0)和最大值(≈1)分別出現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)共振頻率ftorsion和彎曲共振頻率fbending。表2給出了550 kHz(>fbending)時(shí)，不同的b/c對(duì)熱彈性阻尼的影響。從表中可見，熱彈性阻尼隨b/c的增大而增大，解析模型與FEM仿真結(jié)果相差很小。

圖5給出了支承梁的長(zhǎng)寬比l/c對(duì)pf的影響。梁的厚度b=2 μm，偏置電壓V0=20 V，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1(模型1)。如圖所示，在低頻段，pf隨l/c的增大而增大；在高頻段，pf隨l/c的增大而減小。pf最小值和最大值分別對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)共振頻率ftorsion和彎曲共振頻率fbending。表3給出了550 kHz(>fbending)時(shí)，不同的l/c對(duì)熱彈性阻尼的影響。從表中可見，熱彈性阻尼隨l/c的增大而減??；解析模型與FEM仿真結(jié)果很接近。

圖5 支承梁不同幾何尺寸l/c對(duì)應(yīng)的能量比pf曲線

表2 不同b/c對(duì)應(yīng)的熱彈性阻尼

表3 不同l/c對(duì)應(yīng)的熱彈性阻尼

4 結(jié) 論

本文首先研究了彎扭耦合MEMS諧振器件的靜態(tài)平衡方程和動(dòng)力學(xué)方程，以此為基礎(chǔ)，在假設(shè)微平板為剛體的前提下，推導(dǎo)出熱彈性阻尼的解析模型。從而解決了Zener和LR等經(jīng)典理論不能計(jì)算彎扭耦合MEMS扭轉(zhuǎn)諧振器件的熱彈性阻尼的問題。通過對(duì)解析模型特性的研究，本文發(fā)現(xiàn)熱彈性阻尼受器件幾何尺寸影響較大，尤其是器件厚度的影響最明顯。本文推導(dǎo)的解析模型與FEM數(shù)值仿真結(jié)果作比較，結(jié)果說明解析模型與數(shù)值仿真擬合度很高，誤差很小。通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，說明熱彈性阻尼在彎扭耦合MEMS扭轉(zhuǎn)器件的內(nèi)部耗散中占重要比例。該解析模型在熱彈性阻尼的計(jì)算中效率更高，對(duì)于同類器件的設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有很高的參考價(jià)值。

[1] 李普, 方玉明. 考慮直流偏置電壓影響的彈性懸臂微梁擠壓膜阻尼新模型[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2009, 22(2): 123-127.

LI Pu, FANG Yu-ming. A squeeze-film damping model for flexible cantilever microbeam under the effect of DC bias voltage[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009, 22(2): 123-127.

[2] Zener C. Internal friction in solids. Ⅰ. Theory of internal friction in reeds [J]. Physical Review, 1937, 52(3):230-235.

[3] Zener C. Internal friction in solids Ⅱ. General theory of thermoelastic internal friction [J]. Physical Review, 1938, 53(1): 90-99.

[4] Lifshitz R, Roukes M L. Thermoelastic damping in micro-and nanomechanical systems [J]. Physical Review B, 2000, 61(8): 5600-5609.

[5] Prabhakar S, Vengallatore S. Theory of thermoelastic damping in micromechanical resonators with two-dimensional heat conduction [J]. Journal of Microelectromechanical Systems, 2008, 17(2): 494-502.

[6] Chandorkar S A, Candler R N, Duwel A, et al. Multimode thermoelastic dissipation [J]. Journal of Applied Physics, 2009,105(4): 043505-1-12.

[7] Liu X, Morse S F, Vignola J F, et al. On the modes and loss mechanisms of a high Q mechanical oscillator [J]. Applied Physics Letters, 2001 78: 1346-1348.

[8] Houston B H, Photiadis D M, Vignola J F, et al. Loss due to transverse thermoelastic currents in microscale resonators [J]. Materials Science and Engineering a-Structural Materials Properties Microstructure and Processing, 2004, 370: 407-411.

[9] Liu X, Haucke H, Vignola J F, et al. Understanding the internal friction of a silicon micro-mechanical oscillator [J]. Materials Science and Engineering a-Structural Materials Properties Microstructure and Processing, 2009, 521(22): 389-392.

[10] Houston B H, Photiadis D M, Marcus M H, et al. Thermoelastic loss in microscale oscillators [J]. Applied Physics Letters, 2002, 80: 1300-1302.

[11] Huang J M, Liu A Q, Deng Z L, et al. An approach to the coupling effect between torsion and bending for electrostatic torsional micromirrors [J]. Sensors and Actuators A, 2004, 115(1): 159-167.

[12] Zhao J P, Chen H L, Huang H M, et al. A study of dynamic characteristics and simulation of MEMS torsional micromirrors [J]. Sensors and Actuators A, 2005, 120(1): 199-210.

[13] Li P, Hu R F. Thermoelastic damping in micromechanical resonators with a proof mass and a network of suspension beams [J]. Japanese Journal of Applied Physics, 2011, 50(7): 077202(1-10).