吳慶雄，余印根，陳寶春

(福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350108)

中、下承式拱橋由主拱肋(拱圈)、吊桿、橋道系等構(gòu)件組成。其中，作為中、下承式拱橋的重要承重構(gòu)件，吊桿起著連接拱肋和橋道系的作用，作用于橋面上的恒載、活載通過橋道系傳遞給吊桿，并最終作用在拱肋上[1]。因此，吊桿的可靠性、耐久性關(guān)系到中、下承式拱橋的安全和正常使用。

然而，吊桿這種索結(jié)構(gòu)對外界的侵害比較敏感，在遭遇突發(fā)事件(如爆炸、撞擊、火災(zāi)、雷擊等)、疲勞損傷及銹蝕等作用下，可能出現(xiàn)吊桿斷裂，吊桿斷裂可能導(dǎo)致橋道系的垮塌，甚至拱肋的局部破壞或整體破壞[2]。2001年11月7日，四川(宜賓市金沙江小南門大橋吊桿發(fā)生斷裂，導(dǎo)致兩端共計(jì)長約30 m的橋道系坍塌[3]。2011年4月12日凌晨，新疆庫爾勒孔雀河大橋主跨第二根吊桿斷裂，造成主跨第三、四、五道主梁掉入河中，長約10 m、寬約12 m橋面發(fā)生坍塌[4]。僅事隔三個(gè)月，2011年7月14日8時(shí)50分，福建武夷山市公館大橋由于吊桿斷裂再度發(fā)生連續(xù)板垮塌[5]。

如何防止結(jié)構(gòu)因局部破壞引起連續(xù)性倒塌問題引起了高度關(guān)注。房建領(lǐng)域的學(xué)者們提出了很多分析方法和設(shè)計(jì)建議，并形成了規(guī)范或規(guī)程，如英國規(guī)范[6]、歐洲規(guī)范[7]、美國GSA和DoD發(fā)布的規(guī)程[8-9]。在橋梁工程方面，對于斜拉橋設(shè)計(jì)計(jì)算中考慮了拉索斷裂工況，采用去除該斜拉索進(jìn)行全橋分析，并對主梁的內(nèi)力和變形進(jìn)行了限制[10]。但是，對于拱橋，沒有相應(yīng)的去除吊桿進(jìn)行全橋分析的做法，也沒有對橋道系和拱肋的內(nèi)力和變形進(jìn)行限制。同時(shí)，在計(jì)算拉索斷裂工況時(shí)，只進(jìn)行靜力分析，沒有考慮由于吊桿斷裂過程中產(chǎn)生的大于靜力響應(yīng)的動(dòng)力作用。

本文以一座下承式鋼管混凝土剛架系桿拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，采用有限元軟件ANSYS/LS-DYNA對吊桿斷裂過程進(jìn)行動(dòng)力模擬，選取短吊桿斷裂和長吊桿斷裂兩種工況，分析了吊桿斷裂前后拱橋各主要承重構(gòu)件受力狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化，并對拱橋可能發(fā)生的破壞形態(tài)進(jìn)行了討論。

1 工程簡介及有限元模型

1.1 工程簡介

某下承式鋼管混凝土剛架系桿拱橋的計(jì)算跨徑150 m，矢跨比1/4.5，拱軸線采用拱軸系數(shù)1.167的懸鏈線，見圖1[11]。全橋2片拱肋，拱肋截面為4根上下弦鋼管(Φ750×12 mm)和上下平聯(lián)(1Φ400×10 mm)、腹桿(Φ245×10 mm)焊接成的四肢格構(gòu)桁式截面，截面高度3 m，寬度2 m，拱腳實(shí)腹腔內(nèi)泵送50號微膨脹混凝土。吊桿采用34對2(61Φ7)雙吊桿構(gòu)造，材料為高強(qiáng)鋼絲。橋道系采用以橫梁受力為主的橋道系，橫梁之間用加勁縱梁連續(xù)貫通，全橋共有17片預(yù)應(yīng)力混凝土箱形截面橫梁，36片箱型截面加勁鋼縱梁。橋面板采用先簡支后連續(xù)的體系，橋面板與橫梁之間采用剪力鍵連接。

圖1 某下承式鋼管混凝土剛架系桿拱橋總體布置圖

1.2 有限元模型

采用有限元軟件ANSYS/LS-DYNA建立全橋三維有限元模型，如圖2所示。

圖2 ANSYS/LS-DYNA建立的橋梁空間有限元模型

拱肋采用Beam161空間梁單元來模擬，鋼管混凝土拱肋的模擬采用了雙單元法[12]，拱肋共688個(gè)單元。橫梁、縱梁、橫撐、拱肋腹桿及上下平聯(lián)也采用Beam161單元模擬，全橋端橫梁共66個(gè)單元，內(nèi)橫梁425個(gè)單元，縱梁單元共36個(gè)單元，橫撐共230個(gè)單元，拱肋腹桿528個(gè)單元，上下平聯(lián)352個(gè)單元。

吊桿、系桿采用link167模擬，設(shè)置桿單元只受拉不受壓，每根吊桿或系桿為一個(gè)單元，全橋吊桿共68個(gè)單元，系桿共8個(gè)單元。吊桿編號按照吊桿的位置從一端至另一端依次編為上游側(cè)1#、2#、3#、……33#、34#，下游側(cè)D1#、D2#、D3#、…D33#、D34#。

橋面板為預(yù)制空心板，在建模時(shí)將整個(gè)橋面系模擬為梁格系。橋面板通過有效寬度將其剛度分布于縱梁和橫梁上，通過集中質(zhì)量把其質(zhì)量分布于橋面節(jié)點(diǎn)，不考慮橋面鋪裝剛度貢獻(xiàn)，只將其重量計(jì)入橋面板中。采用Beam161單元模擬，全橋橋面板共396個(gè)單元。

吊桿下端節(jié)點(diǎn)與縱梁節(jié)點(diǎn)以及拱腳實(shí)心段和桁架式拱肋通過節(jié)點(diǎn)耦合功能處理它們之間的主從關(guān)系。邊界條件根據(jù)實(shí)橋支承條件進(jìn)行設(shè)置，四個(gè)拱腳處為剛接。由于縱梁、橫梁和吊桿組成一漂浮體系，將縱梁與帽梁連接處縱橋向約束釋放，以使橋面系不承受拉力，也使拱肋產(chǎn)生的推力全部由系桿承受。

1.3 有限元模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證建立的計(jì)算模型的正確性，采用文獻(xiàn)[11]的靜載和動(dòng)載試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行校核。取有關(guān)拱肋的試驗(yàn)工況(工況1、2和3)進(jìn)行討論，其中工況1、2為南側(cè)拱肋1/4截面最大正彎矩和拱腳截面最大負(fù)彎矩布載、工況3為南側(cè)拱肋拱頂最大正彎矩布載。

表1 拱肋應(yīng)變結(jié)果對比表(單位：με)

表1為各控制截面上拱肋頂面和下拱肋底面的應(yīng)變?？梢钥闯觯邢拊Y(jié)果與實(shí)測結(jié)果大部分差值不超過15%。圖3為拱肋撓度曲線?？梢钥闯?，有限元計(jì)算撓度的變化趨勢與實(shí)測結(jié)果一致，撓度計(jì)算值與實(shí)測值的差值不超過15%。表2為該橋的面外、面內(nèi)基頻，有限元計(jì)算基頻與實(shí)測結(jié)果差別不大。因此，通過對靜動(dòng)載試驗(yàn)下有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)測結(jié)果的比較可知，荷載試驗(yàn)現(xiàn)場測試結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果比較接近，從而證明了本文建立的有限元模型的可靠性。

圖3 拱肋撓度曲線

表2 主要模態(tài)對比表

2 吊桿斷裂動(dòng)力分析方法

2.1 吊桿斷裂模擬方法

吊桿斷裂可能引起橋梁結(jié)構(gòu)的連續(xù)性倒塌，在結(jié)構(gòu)的連續(xù)性倒塌研究中，需要考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，但是這個(gè)響應(yīng)并不是由結(jié)構(gòu)所承受的動(dòng)力荷載引起的。事實(shí)上，在結(jié)構(gòu)連續(xù)性倒塌的過程中，結(jié)構(gòu)并沒有承受具體的動(dòng)力荷載(構(gòu)件倒塌墜落的沖擊荷載除外)，結(jié)構(gòu)的初始動(dòng)力響應(yīng)是由于幾何突變所引起的構(gòu)件振動(dòng)造成的。這是連續(xù)性倒塌分析的動(dòng)力計(jì)算與常規(guī)動(dòng)力計(jì)算的本質(zhì)區(qū)別[13]。因此，吊桿斷裂引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的關(guān)鍵在于如何恰當(dāng)?shù)哪M吊桿的失效，以獲得最接近實(shí)際情況的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。

本文主要采用接觸—碰撞界面的處理算法來進(jìn)行吊桿斷裂的動(dòng)力過程模擬，主要利用ANSYS/LS-DYNA中的接觸碰撞處理功能。接觸碰撞處理是該軟件最主要的功能，被廣泛運(yùn)用于接觸碰撞計(jì)算。當(dāng)柔性吊桿受到橫向碰撞時(shí)，吊桿力將會(huì)增大，通過控制碰撞體的速度，可以使吊桿力在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到某一個(gè)較大值。吊桿力的增大將對拱肋和橋道系產(chǎn)生擾動(dòng)并產(chǎn)生豎向沖擊的作用，如果吊桿在碰撞過程中內(nèi)力達(dá)到某一個(gè)值時(shí)斷裂，則相當(dāng)于在該吊桿處施加了一個(gè)相應(yīng)的斷索沖擊作用[14]。

碰撞體采用實(shí)體單元建模，主要考慮其在碰撞過程中動(dòng)能的貢獻(xiàn)，而不考慮與橋面板的相互作用。在模擬時(shí)，碰撞體質(zhì)量及速度的控制以能使吊桿達(dá)到相應(yīng)的內(nèi)力值為標(biāo)準(zhǔn)。

在碰撞過程中，碰撞體與吊桿的接觸采用單面接觸的方式。采用這種方式，在程序中將自動(dòng)判定模型中發(fā)生接觸的表面。在模擬過程中主要采用的計(jì)算方式是重啟動(dòng)的方式，本文在模擬時(shí)使用的重啟動(dòng)方式有以下兩種：

(1) 小型重啟動(dòng)：在程序運(yùn)行時(shí)能對K文件(求解文件)進(jìn)行某些小程度改動(dòng)的一種分析。通過它可以更改結(jié)果文件輸出時(shí)間間隔，重新設(shè)置求解時(shí)間，刪除某些接觸和單元，更改某些速度、邊界和荷載條件，進(jìn)行剛體和變形體的轉(zhuǎn)換，更改某些控制參數(shù)等。

(2) 完全重啟動(dòng)：對原來計(jì)算模型K文件(求解文件)進(jìn)行大量修改時(shí)進(jìn)行的一種分析。通過它可以增加新的材料和PART，增加新的接觸定義，更改曲線、阻尼的定義和一些控制參數(shù)等。完全重啟動(dòng)可以說是一種全新的分析，只不過這種分析希望繼承原來分析中相關(guān)PART的變形和應(yīng)力情況，將其作為完全重啟動(dòng)時(shí)的初始條件。

本文運(yùn)用小型重啟動(dòng)對碰撞體施加初始速度、刪除某些單元等，使用完全重啟動(dòng)來對模型進(jìn)行修改后對模型進(jìn)行變形及應(yīng)力的初始化，兩種重啟動(dòng)交替使用，從而完成整個(gè)過程的模擬。吊桿斷裂模擬的整個(gè)過程可以表示為圖4所示過程。

圖4 吊桿斷裂模擬過程

由于要考慮吊桿的斷裂，模擬吊桿的本構(gòu)模型采用ANSYS/LS-DYNA中的材料Material 3，采用Plastic Kinematic模型，如圖5所示，該模型的基本公式為：

圖5 Plastic Kinematic模型本構(gòu)關(guān)系

Plastic Kinematic模型可以設(shè)置失效應(yīng)變來考慮構(gòu)件是否失效退出工作。通過設(shè)置吊桿的失效應(yīng)變，可以使吊桿力達(dá)到一定值時(shí)吊桿即發(fā)生破斷，從而產(chǎn)生相應(yīng)的斷索沖擊的效果。吊桿受到碰撞時(shí)，相應(yīng)的吊桿力時(shí)程曲線見圖6。

圖6 受碰撞的吊桿力時(shí)程曲線

在動(dòng)力分析中，塑性阻尼矩陣按Rayleigh阻尼矩陣考慮，阻尼比均取為0.05。

2.2 斷裂吊桿的選取

在恒載作用下，長吊桿和短吊桿的受力情形是一樣的，但短吊桿處于懸吊橋面與支承橋面交接處附近，該處集中了拱肋的受力變位和受溫度作用的變位，以及橋道系溫度變化時(shí)的變位，使得短吊桿比長吊桿更為不利。因此，本文重點(diǎn)對短吊桿斷裂工況進(jìn)行了分析討論。

通過對不同荷載組合下該橋各吊桿力進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)最不利受力情況來確定吊桿斷裂對象。根據(jù)最不利荷載基本組合(1.2恒載+1.4掛車荷載)進(jìn)行承載能力極限狀態(tài)分析，得到的各吊桿力分布示于圖7(由于結(jié)構(gòu)的對稱性，僅列出單側(cè)17根吊桿)?？梢钥闯觯?#和4#吊桿的吊桿力最大，故選取雙短吊桿(3#和4#吊桿)作為短吊桿斷裂的研究對象。

圖7 最不利荷載基本組合下吊桿力

同時(shí)，為了考察長吊桿斷裂時(shí)拱橋受力情況的變化，選取跨中附近且吊桿力相對較大的13#和14#吊桿作為長吊桿斷裂的研究對象。

3 短吊桿斷裂時(shí)全橋受力狀態(tài)

3.1 吊桿

當(dāng)短吊桿(3#和4#)斷裂過程中，其余吊桿的軸力時(shí)程曲線分析可以得到，與3#和4#吊桿相鄰的1#、2#吊桿和5#、6#吊桿的軸力變化最明顯。圖8給出了1#、2#、5#和6#吊桿力時(shí)程曲線。在3#、4#吊桿斷裂沖擊作用下，1#吊桿力最大為1421 kN，2#吊桿力最大為1546kN，均發(fā)生在吊桿斷裂后約0.13 s；5#吊桿力最大為1225 kN，6#吊桿力最大為1 143 kN，均發(fā)生在吊桿斷裂后約0.11 s。由于3#和4#吊桿斷裂，與3#和4#吊桿相鄰的左右吊桿的軸力變化量為初始軸力的3倍以上，因此需要考慮由于吊桿斷裂過程中產(chǎn)生的大于靜力響應(yīng)的動(dòng)力作用。

同時(shí)，與3#、4#吊桿橫橋向?qū)ΨQ的D3#、D4#吊桿處的橋面也因?yàn)閿嗨鳑_擊的作用而發(fā)生了較大的位移，D3#、D4#吊桿軸力最大值達(dá)到900 kN，且由于斷索沖擊作用產(chǎn)生的拱肋和橋面的振動(dòng)向遠(yuǎn)處傳播，使得離斷裂吊桿較遠(yuǎn)處的吊桿軸力也發(fā)生了一定的變化，但變化量較小，最大軸力均小于700 kN。

圖8 雙短吊桿斷裂時(shí)相鄰吊桿軸力時(shí)程曲線

圖9 短吊桿斷裂時(shí)斷裂吊桿處拱肋和主梁的位移時(shí)程曲線

3.2 鋼管混凝土拱肋

當(dāng)短吊桿(3#和4#吊桿)斷裂時(shí)，相應(yīng)吊點(diǎn)處的拱肋和主梁位移時(shí)程曲線示于圖9。可以看出，短吊桿斷裂時(shí)拱肋位移變化較小，而主梁位移變化十分大，因此，短吊桿斷裂對主梁產(chǎn)生的影響遠(yuǎn)大于拱肋。

以斷裂吊桿吊點(diǎn)處達(dá)到最大位移為準(zhǔn)，考察上下游側(cè)拱肋拱腳截面、L/4截面和跨中截面拱肋內(nèi)力變化情況。圖10給出了吊桿斷裂側(cè)拱肋L/4截面弦桿內(nèi)力時(shí)程曲線。在斷裂吊桿吊點(diǎn)處位移達(dá)到最大時(shí)(t=1.08 s)，拱肋截面軸力略有增大，彎矩未發(fā)生變化。L/4截面處上弦桿先減小后增大，下弦桿先增大后減小，上下弦桿彎矩變化規(guī)律相同?？缰泄袄咴跀嗨鳑_擊作用下內(nèi)力變化趨勢一樣。

短吊桿斷裂前后拱肋內(nèi)力變化見表3?？梢钥闯?，拱肋內(nèi)力變化較小，通過拱肋承載力分析可知吊桿斷裂后拱肋各截面均不會(huì)超過截面承載力。

表3 短吊桿斷裂前后拱肋內(nèi)力

3.3 橋道系

該橋橋道系的縱梁與橫梁連接采用焊接，縱梁為Q345鋼，頂板和底板厚10 mm，縱梁與橫梁連接處采用一級焊縫。由于焊縫連接是鋼結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)，本文主要考察吊桿斷裂時(shí)縱梁處焊縫的內(nèi)力變化情況。焊縫編號見圖11。

圖11 縱梁焊縫編號示意圖

圖12為3#、4#吊桿斷裂后②、 ③焊縫處彎矩和剪力時(shí)程曲線?？梢钥闯觯跀嗨鳑_擊力作用下，②、 ③焊縫處彎矩和剪力突然劇烈增加，②處彎矩和剪力達(dá)3 204 kN.m和1 500 kN，③處彎矩和剪力達(dá)3 118 kN.m和-1 500 kN。 ①、④焊縫在斷索沖擊作用下內(nèi)力變化約為②、 ③焊縫處內(nèi)力的一半，焊縫①處彎矩和剪力為1 823 kN.m和645 kN，焊縫④處彎矩和剪力為1 429 kN·m和554 kN。

根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50017-2003)[15]確定焊縫的抗力，示于表4。可以看出，在短吊桿斷裂后②、 ③焊縫應(yīng)力已超過抗力值，即縱梁可能會(huì)因焊縫強(qiáng)度不足而發(fā)生破壞，導(dǎo)致橫梁及橋面板可能發(fā)生較大的豎向位移，使橋面板出現(xiàn)局部坍塌。

圖12 短吊桿斷裂時(shí)縱梁在②、③焊縫處的內(nèi)力時(shí)程曲線

表4 短吊桿斷裂時(shí)①～④焊縫應(yīng)力和抗力

3.4 破壞形態(tài)

從前面的分析可知，在雙短吊桿斷裂后其他吊桿軸力均未超過容許值，不會(huì)發(fā)生破壞；拱肋內(nèi)力變化較小，吊桿斷裂后拱肋各截面承載力均滿足要求；吊桿斷裂處橫梁兩側(cè)與縱梁連接處有可能因焊縫強(qiáng)度不足發(fā)生破壞，導(dǎo)致橫梁及橋面板可能發(fā)生較大的豎向位移。因此，可能出現(xiàn)的破壞形態(tài)如圖13所示，即橋道系出現(xiàn)局部坍塌的現(xiàn)象。

圖13 短吊桿斷裂時(shí)拱橋破壞形態(tài)

4 長吊桿斷裂時(shí)全橋受力狀態(tài)

圖14 長吊桿斷裂時(shí)拱橋破壞形態(tài)

通過同樣的計(jì)算方法對長吊桿斷裂時(shí)全橋受力狀態(tài)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，在長吊桿斷裂后橋梁結(jié)構(gòu)破壞形態(tài)與短吊桿斷裂后的破壞形態(tài)類似。其他吊桿和拱肋均不會(huì)發(fā)生破壞，吊桿斷裂處橫梁兩側(cè)與縱梁連接處有可能因焊縫強(qiáng)度不足發(fā)生破壞，導(dǎo)致橫梁及橋面板可能發(fā)生較大的豎向位移而發(fā)生橋道系局部坍塌。因此，在13#、14#吊桿斷裂后，拱橋可能的破壞情況如圖14所示。

5 結(jié) 論

采用ANSYS/LS-DYNA建立一座下承式鋼管混凝土剛架系桿拱橋的有限元模型，通過與實(shí)橋靜動(dòng)載試驗(yàn)進(jìn)行的比較驗(yàn)證了建立的計(jì)算模型的正確性。

通過接觸碰撞的方式進(jìn)行吊桿斷裂的模擬，分別選取最不利的同一截面雙吊桿3#、4#兩根短吊桿和跨中位置附近且內(nèi)力相對較大的13#、14#兩根長吊桿，進(jìn)行了吊桿斷裂前后全橋動(dòng)力分析。分析結(jié)果表明，與斷裂吊桿相鄰的吊桿受到斷索沖擊的作用最大，其軸力變化量為初始軸力的3倍以上，需要考慮由于吊桿斷裂過程中產(chǎn)生的大于靜力響應(yīng)的動(dòng)力作用；吊桿斷裂對主梁產(chǎn)生的影響遠(yuǎn)大于拱肋，拱肋內(nèi)力變化較??；由于橫梁兩側(cè)與縱梁連接處焊縫強(qiáng)度不足發(fā)生破壞可能導(dǎo)致橋道系局部坍塌。

本文研究了吊桿斷裂的模擬算法及吊桿斷裂引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，為鋼管混凝土拱橋安全可靠性設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。如何將吊桿斷裂時(shí)的動(dòng)力效應(yīng)簡化為靜力計(jì)算方式，如何通過橋梁結(jié)構(gòu)構(gòu)造設(shè)計(jì)提高結(jié)構(gòu)抗連續(xù)性倒塌的能力有待進(jìn)一步研究。

[1]陳寶春. 鋼管混凝土拱橋(第二版)[M]. 北京:人民交通出版社，2007.

[2]郭志良. 拱橋吊桿斷裂過程分析及對策研究[D]. 福州：福州大學(xué)碩士論文，2010.

[3]張秀成. 淺析“宜賓市小南門金沙江大橋”橋塌原因與修繕方案[J]. 河南城建高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2002，11(2)：15-17.

ZHANG Xiu-cheng. Analying the reason and renovating project of “l(fā)ittle south door Jinsha River bridge of Yibin City”collapsing[J]. Journal of Henan Urban Construction Junior College. 2002, 11(2): 15-17.

[4]網(wǎng)易新聞. 新疆庫爾勒孔雀河大橋部分垮塌[EB/OL]. http://news.163.com/photoview/00AN0001/14026.html/, 2011.

[5]百度百科. 武夷山公館大橋[EB/OL]. http://baike.baidu.com/view/6108695.htm/, 2011.

[6]British Standard Institute. Structural Use of Concrete：(Part 1): Code of Practice for Design and Construction[S]. 1997.

[7]European committee for standardization. Euro code 1：Actions on Structures[S]. 2002.

[8]General Service Administration (GSA)．Progressive Collapse Analysis and Design Guidelines for New Federal Office Buildings and Major Modernization Projects[S]. 2008.

[9]Department of Defense. Design of Buildings to Resist Progressive Collapse[S]. 2005.

[10]JTG D65-01-2007,《公路斜拉橋設(shè)計(jì)細(xì)則》[S].

[11]何曉暉，劉冰，李勇. 深圳北站大橋設(shè)計(jì)及施工簡介[J]. 華東公路,2001,(06):28-31.

[12]韋建剛, 陳寶春. 鋼管混凝土拱材料非線性有限元分析方法[J]. 福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，32(3)：344-348.

WEI Jian-gang, CHEN Bao-chun. Finite element methods for analysis on material nonlinearity of concrete-filled steel tubular arch[J]. Journal of Fuzhou University (Natural Science), 2004, 32(3): 344-348.

[13]蔡建國，王蜂嵐，馮健，等. 大跨空間結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌分析若干問題探討[J]. 工程力學(xué)，2012，29(3)：143-149.

CAI Jian-guo, Wang Feng-lan, Feng Jian, et al. Discussion on theprogressive collapse analysis of long-span space structures[J]. Engineering mechanics, 2012, 29(3)：143-149.

[14]Wolff M, Starossek U. Cable-loss analyses and collapse behavior of cable-stayed bridges[C]. IABMAS2010, The Fifth International Conference on Bridge Maintenance, Safety and Management, July 11-15, 2010, Philadelphia, USA.

[15]GB50017-2003，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].